第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4-9b1

地圖投影學(xué)習(xí)要求1.有關(guān)地圖投影的基本概念2.常見地圖投影的經(jīng)緯網(wǎng)特征3.常見地圖投影的經(jīng)緯距變化規(guī)律4.常見地圖投影的變形規(guī)律5.判別地圖投影的一般方法第4節(jié)地圖投影的分類按變形性質(zhì)分為：等積投影、等角投影、任意投影按承影面的形狀分為：方位投影（平面投影）、圓錐投影、圓柱投影按承影面與地軸的關(guān)系分為：正軸投影、橫軸投影、斜軸投影按承影面與地表的關(guān)系分為：切投影、割投影等積投影、等角投影、等距投影形狀不變面積不變特定方向距離不變投影分類示意圖NSNSNS正軸(切)園柱投影橫軸割園錐投影斜軸(切)方位投影

地圖投影的命名例:橫軸等積方位投影正軸等角割圓錐投影正軸等角(切)圓柱投影（墨卡托Mercator投影）

一、按變形性質(zhì)分類

根據(jù)變形特征可分為：等角投影、等積投影和任意投影三種。（一）等角投影（正形投影）①定義:投影以后角度沒有變形的投影。②投影條件：w=0或a=b，m=n③變形橢圓

見右圖④投影特點(diǎn)：面積變形大。等角投影在同一點(diǎn)任何方向的長(zhǎng)度比都相等，但在不同地點(diǎn)長(zhǎng)度比是不同的。⑤用途：多用于編制航海圖、洋流圖、風(fēng)向圖等地圖。（二）等積投影

①定義:投影以后面積沒有變形的投影。②投影條件：Vp=p―１＝０p=1或a=1/b或b=1/a③變形橢圓

見右圖④投影特點(diǎn)：角度變形大。這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進(jìn)行面積對(duì)比。⑤用途：一般用于繪制對(duì)面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟(jì)地圖。（三）任意投影①定義:既不等角也不等積的投影。其中，等距投影是在特定方向上沒有長(zhǎng)度變形的任意投影。②投影條件：a=1或b=1或m=1③變形橢圓

見右圖④投影特點(diǎn)：面積變形、角度變形都不大（面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影）。⑤用途：用于教學(xué)地圖、交通地圖。

等角投影等積投影等距投影任意投影通過比較可以看出：①等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。②任意投影不能保持等積、等角特性。③等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。

二、按構(gòu)成方法分類（一）幾何投影

根據(jù)幾何面的形狀，可進(jìn)一步分為如下幾類：方位投影，圓柱投影和圓錐投影。1、方位投影

以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。2、圓柱投影

以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。

3、圓錐投影

以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。（二）非幾何投影

按照經(jīng)緯線性質(zhì)，可將非幾何投影分為偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影、多圓錐投影。1、偽方位投影特征:(1）緯線為同心圓;

（2）除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。

2、偽圓柱投影特征：（1）經(jīng)線為任意曲線，緯線為平行直線。（2）無等角投影，只有等積投影和任意投影。因?yàn)?，?jīng)線和緯線不正交。（3）除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線

用途：主要應(yīng)用于編制沿緯線分布的某些世界自然地圖。等面積偽圓柱投影

3、偽圓錐投影

特征：（1）緯線形狀類似于同心圓弧，圓心位于中央經(jīng)線上（2）除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。

（3）無等角投影，只有等積和任意投影。因?yàn)榻?jīng)緯不正交。等積偽圓錐投影（又叫彭納投影BonneProjection)投影條件:（1）中央經(jīng)線為直線并且長(zhǎng)度沒有變形（m=1);（2）緯線為同心圓弧，長(zhǎng)度保持不變（n=1)；（3）圖上面積與實(shí)地面積相等（P=1)特征：（1）在每條緯線上的經(jīng)線間隔和在中央經(jīng)線上的緯線間隔均相等；

（2）中央經(jīng)線與所有緯線正交，中央緯線與所有的經(jīng)線正交。

（3）中央經(jīng)線和中央緯線是兩條沒有變形的線離開這兩條線愈遠(yuǎn)，變形越大。用途：編制大洲圖，如亞洲、歐洲地圖等。4、多圓錐投影特征（1）緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長(zhǎng)線上。

（2）中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線

第5節(jié)方位投影一、方位投影的概念和種類

方位投影是以平面作為投影面，使平面與地球表面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上所得到的圖形。

二、正軸方位投影

投影中心為極點(diǎn)，緯線為同心圓，經(jīng)線為同心圓的半徑，兩條經(jīng)線間的夾角與實(shí)地相等。等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓。包括等角、等積、等距三種變形性質(zhì)主要用于制作兩極地區(qū)圖。（一）等角正軸方位投影

①投影條件：投影面---平面w=0Ψ0=90o

②經(jīng)緯線形式：緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。經(jīng)線夾角等于相應(yīng)的經(jīng)差.

③變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)面積、長(zhǎng)度變形增大。ⅱ沒有角度變形，但面積變形較大。ⅲ面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。（二）等積正軸方位投影①投影條件：投影面---平面p=1Ψ0=90o

②經(jīng)緯線形式：緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。③變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長(zhǎng)度變形增大。ⅱ沒有面積變形，但角度變形較大。ⅲ角度等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。（三）等距正軸方位投影（Postel’sProjection）

①投影條件：投影面---平面μ1=1Ψ0=90o

②經(jīng)緯線形式：緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外不變即相等。③變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、面積變形增大。ⅱ角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。ⅲ面積變形、角度變形都不大。三、橫軸方位投影

平面與球面相切，其切點(diǎn)位于赤道上。

特點(diǎn)：通過投影中心的中央經(jīng)線和赤道為直線，其他經(jīng)緯線投影后都是對(duì)稱于中央經(jīng)線和赤道的曲線。（一）等角橫軸方位投影（TransverseAzimuthalOrthomorphicProjection）又名球面投影、平射投影①投影條件：投影面---平面w=0Ψ0=0o

②經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對(duì)稱于中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸增大。③變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)面積、長(zhǎng)度變形增大，，面積等變形線呈同心圓。ⅱ沒有角度變形，但面積變形較大。（二）等積橫軸方位投影（Lambert，sAzimuthalEquivalentProjection）

①投影條件：投影面---平面p=1Ψ0=0o

②經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對(duì)稱于中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸減小。

③變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長(zhǎng)度變形增大，，角度等變形線呈同心圓。ⅱ沒有面積變形，但角度變形較大。（三）等距橫軸方位投影

①投影條件：投影面---平面μ1=1Ψ0=0o

②經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對(duì)稱于中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔相等。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向經(jīng)線間隔相等。

③變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、面積變形增大，角度、面積等變形線呈同心圓。ⅱ面積變形、角度變形都不大。四、斜軸方位投影投影面切于兩極和赤道間的任意一點(diǎn)上。在這種投影中，中央經(jīng)線投影為直線，其他經(jīng)線投影為凹向?qū)ΨQ于中央經(jīng)線的曲線，緯線投影為凹向極地的曲線。中國(guó)地圖全圖采用該類投影，投影中心位于（105oE,30oN)（一）等角斜軸方位投影

①投影條件：投影面---平面

w=00o<Ψ0<90o

②經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。③變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)面積、長(zhǎng)度變形增大,面積等變形呈同心圓。ⅱ沒有角度變形，但面積變形較大。（二）等積斜軸方位投影（ObliqueEqual-areaProjection）

①投影條件：投影面--平面p=10o<Ψ0<90o

②經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線；其余經(jīng)線為凹向?qū)ΨQ于中央經(jīng)線的曲線；緯線為凹向極地的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。

③變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、長(zhǎng)度變形增大,角度等變形呈同心圓。。ⅱ沒有面積變形，但角度變形較大。（三）等距斜軸方位投影

等距方位投影屬于任意投影，它既不等積也不等角。①投影條件：投影面---平面μ1=10o<Ψ0<90o

②經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔相等。

③變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠(yuǎn)角度、面積變形增大。ⅱ角度、面積等變形線與等高圈一致。ⅲ面積變形、角度變形都不大五、幾種方位投影變形性質(zhì)的圖形判別

①方位投影經(jīng)緯線形式具有共同的特征，判別時(shí)先看構(gòu)成形式（經(jīng)緯線網(wǎng)），判別是正軸、橫軸、斜軸方位投影。

正軸投影，其緯線為以投影中心為圓心的同心圓，經(jīng)線為交于投影中心的放射狀直線，夾角相等。橫軸投影，赤道與中央經(jīng)線為垂直的直線，其他經(jīng)緯線為曲線。斜軸投影，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)緯線均為曲線。

②然后根據(jù)中央經(jīng)線上經(jīng)緯線間隔的變化，判別變形性質(zhì)。等角方位投影，在中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐漸增大；等積方位投影，逐漸縮小；等距方位投影，間隔相等。如上可判斷方位投影的變形性質(zhì)及推斷出投影的名稱。常見投影及其用途正軸等積方位投影：南北半球圖，南北兩極區(qū)域地圖橫軸等積方位投影：東西半球圖，大洲地圖斜軸等積方位投影：水陸半球圖，非洲、南極洲（桑遜投影）外的各洲地圖，中國(guó)地圖

第6節(jié)圓柱投影一、圓柱投影的概念和種類假定以圓柱面作為投影面，把地球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到圓柱面上，然后沿圓柱面的母線把圓柱切開展成平面，就得到圓柱投影。當(dāng)圓柱面和地球體相切時(shí)，稱為切圓柱投影，和地球體相割時(shí)稱為割圓柱投影。由于圓柱和地球體相切相割的位置不同，圓柱投影又分為正軸、橫軸和斜軸圓柱投影三種。正軸圓柱投影——圓柱的軸和地球的地軸一致；橫軸圓柱投影——圓柱的軸和地軸垂直并通過地心；斜軸圓柱投影——圓柱的軸通過地心，和地軸不垂直不重合。

1、經(jīng)線投影為平行直線，平行線間的距離和經(jīng)差成正比。2、緯線投影成為一組與經(jīng)線正交的平行直線，平行線間的距離視投影條件而異。3、和圓柱面相切的赤道弧長(zhǎng)或相割的兩條緯線的弧長(zhǎng)為正長(zhǎng)無變形。圓柱投影按變形性質(zhì)可分為等角圓柱投影、等積圓柱投影和任意圓柱投影。在上述三種投影方式中，最常用的是正軸圓柱投影，假定視點(diǎn)在球心，正軸圓柱投影中，經(jīng)緯線網(wǎng)的特點(diǎn)是：二、等角正軸(切)圓柱投影（墨卡托投影）

等角正軸切圓柱投影是荷蘭地圖學(xué)家墨卡托于1569年所創(chuàng)，所以又稱墨卡托投影。

1.投影條件：投影面---圓柱面w=0

nψ0=1其它n>12.經(jīng)緯線形式：經(jīng)線是一組間隔相等的平行線，緯線是與經(jīng)線垂直的一組平行線，且在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向南北兩極逐漸增大。3.投影特點(diǎn)：①在墨卡托投影中，面積變形最大。

在緯度60度地區(qū)，經(jīng)線和緯線比都擴(kuò)大了2倍，面積比P=m*n=2*2=4，擴(kuò)大了4倍，愈接近兩極，經(jīng)緯線擴(kuò)大的越多，在φ=80度時(shí)，經(jīng)緯線都擴(kuò)大了近6倍，面積比擴(kuò)大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高緯地區(qū)通常就不繪出來了。

②在墨卡托投影上等角航線表現(xiàn)為直線，在地球表面上表現(xiàn)為以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的螺旋曲線（除經(jīng)線和緯線以外）；在球心投影上大圓航線表現(xiàn)為直線，而在墨卡托投影上表現(xiàn)為曲線。 等角航線在墨卡托投影圖上表現(xiàn)為直線，這一點(diǎn)對(duì)于航海航空具有重要意義。船只要按照等角航向航行，不用改變方位角就能從起點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)。

航行時(shí)，在墨卡托投影圖上只要將出發(fā)地和目的地連一直線，用量角器測(cè)出直線與經(jīng)線的夾角，船上的航海羅盤按照這個(gè)角度指示船只航行，就能達(dá)到目的地。

但是等角航線不是地球上兩點(diǎn)間的最短距離，地球上兩點(diǎn)間的最短距離是通過兩點(diǎn)的大圓弧，（又稱大圓航線或正航線）。大圓航線與各經(jīng)線的夾角是不等的，因此它在墨卡托投影圖上為曲線。4.用途及意義：

遠(yuǎn)航時(shí)，完全沿著等角航線航行，走的是一條較遠(yuǎn)路線，是不經(jīng)濟(jì)的，但船只不必時(shí)常改變方向，大圓航線是一條最近的路線，但船只航行時(shí)要不斷改變方向。實(shí)際遠(yuǎn)洋航行時(shí)，一般把大圓航線展繪到墨卡托投影的海圖上，然后把大圓航線分成幾段，每一段連成直線，就是等角航線。船只航行時(shí)，總的情況來說，大致是沿大圓航線航行。因而,走的是一條較近路線，但就每一段來說，走的又是等角航線，不用隨時(shí)改變航向，從而領(lǐng)航十分方便。編制航海圖、航空?qǐng)D、赤道附近國(guó)家和地區(qū)地圖從非洲的好望角到澳大利亞的墨爾本，沿等角航線航行，航程是6020海里，沿大圓航線航行5450海里，二者相差570海里（約1000公里）三、等距正軸圓柱投影（一）投影條件圓柱面切于赤道，故赤道的投影為正長(zhǎng)，經(jīng)線投影后的長(zhǎng)度為正長(zhǎng)。（二）特點(diǎn)及誤差分析赤道投影后為正長(zhǎng)無變形，緯線投影后，均變成與赤道等長(zhǎng)的平行線段，因此離赤道越遠(yuǎn)，緯線投影后產(chǎn)生的誤差也就越大;經(jīng)線投影后為正長(zhǎng)，為垂直于緯線的一組平行線，經(jīng)線方向長(zhǎng)度比為1，經(jīng)線上緯線間隔相等，該投影的主方向就是經(jīng)緯線方向。

等距正軸切圓柱投影用誤差橢圓來分析等距正軸切圓柱投影誤差規(guī)律和特點(diǎn)，誤差橢圓的短半徑和經(jīng)線方向一致，且等于球面微圓的半徑，長(zhǎng)半徑和緯線方向一致，且離開赤道越遠(yuǎn)伸長(zhǎng)的就越多，誤差越大。面積變形、角度變形是離開赤道逐漸增大的。當(dāng)規(guī)定的經(jīng)差和緯差相等時(shí)，經(jīng)緯線網(wǎng)投影呈正方形網(wǎng)格，因此等距正軸切圓柱投影又簡(jiǎn)稱圓柱投影或方格投影。等積正軸圓柱投影

四、高斯-克呂格投影（橫軸等角切橢圓柱投影）（Gauss-KrugerProjection）（一）定義以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。由德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地測(cè)量學(xué)家克呂格（J.Krüger，1857—1923）共同創(chuàng)建。

各國(guó)地形圖所采用的投影很不統(tǒng)一。在我國(guó)8種國(guó)家基本比例尺地形圖中，除1：100萬地形圖采用等角圓錐投影外，其余都采用高斯-克呂格投影。

（二）經(jīng)緯線形式

（1）中央經(jīng)線和赤道為垂直相交的直線，作為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，也是經(jīng)緯網(wǎng)圖形的對(duì)稱軸。（2）經(jīng)線是凹向?qū)ΨQ于中央經(jīng)線的曲線，中央緯線為直線，緯線是凸向?qū)ΨQ于赤道的曲線，且與經(jīng)線曲線正交，沒有角度變量。（3）中央經(jīng)線上緯距相等；赤道上間距從中央經(jīng)線向東西擴(kuò)大。似乎與等角橫軸方位投影相同?（三）變形分布規(guī)律（1）此投影無角度變形，中央經(jīng)線無長(zhǎng)度變形，其他經(jīng)線長(zhǎng)度比大于1。（2）中央經(jīng)線附近變形小，向東、向西方向變形逐漸增大，因?yàn)闄E圓柱面和橢球面越不接觸。長(zhǎng)度、面積變形均不大，其中長(zhǎng)度變形≤0.14%，面積變形≤0.27%。

為保證精度，采用分帶投影方法：規(guī)定1：2.5萬—1：50萬地形圖采用按經(jīng)差6°分帶；1：1萬及更大比例尺地形圖采用3°分帶。

6°分帶：從格林威治0經(jīng)線起，自西向東每隔經(jīng)差6°分成一帶，全球共60帶。我國(guó)位于東經(jīng)72—136°之間，共包括11個(gè)投影帶，即13—23帶各帶中央經(jīng)線分為為75°，81°，…，135°。河南位于東