第三講 期望值法

回顧舊知

一個(gè)事件的概率越大，它發(fā)生的可能性就越大.當(dāng)面對(duì)未來(lái)情況的各種狀態(tài)時(shí)，由于已經(jīng)知道它們出現(xiàn)的概率，或者這些概率可以估算出來(lái)，決策者就可以挑選其中概率最大狀態(tài)作為考慮問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，然后再挑選對(duì)自己最有利的行動(dòng)方案.最大可能法：第一步明確問(wèn)題的決策目標(biāo)；第二步明確未來(lái)狀態(tài)x1，x2，…及其概率，確定可供選擇的方案a1，a2，…；第三步明確損益函數(shù)R（a，x）或損益函數(shù)R；第四步由未來(lái)狀態(tài)的概率與R（a，x）（或R）從a1，a2，…中選出最佳行動(dòng)方案.最大可能法進(jìn)行決策的步驟課前導(dǎo)入

在做風(fēng)險(xiǎn)決策時(shí)，我們通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)知道，在進(jìn)行決策時(shí)，未來(lái)狀態(tài)出現(xiàn)的概率與之有很大的關(guān)系.而通過(guò)以前的學(xué)習(xí)，我們了解到，每個(gè)可行方案期望損益值的計(jì)算都與未來(lái)出現(xiàn)的狀態(tài)有關(guān).所以，我們可以從期望的角度來(lái)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策.這就是我們今天將要講到的期望值法.第三講期望值法

1.在理解最大可能法的基礎(chǔ)上，對(duì)比學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容——期望值法；

2.熟悉并掌握期望值法的方法，并能靈活應(yīng)用它解決實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)與能力教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)期望值法的學(xué)習(xí)，理解和掌握另外一種風(fēng)險(xiǎn)與決策方法的應(yīng)用；

2.通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，復(fù)習(xí)再學(xué)習(xí)期望值這個(gè)概念，并了解它應(yīng)用；

3.掌握期望值法的基本過(guò)程，了解它的原理，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.過(guò)程與方法

1.通過(guò)對(duì)另外一種風(fēng)險(xiǎn)與決策方法的具體了解，能夠更加深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)中的聯(lián)系與結(jié)合，有利于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)與決策這一概念的理解和掌握.2.在本節(jié)課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)敢于結(jié)合以前所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)出新的知識(shí)或性質(zhì)，有利于對(duì)以前知識(shí)的深刻理解.情感態(tài)度與價(jià)值觀對(duì)比上一講最大可能法，初步了解期望值法，并掌握其初步應(yīng)用.重點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)深刻準(zhǔn)確地理解期望值法的應(yīng)用，掌握其與最大可能法的區(qū)別和聯(lián)系，并能利用它分析并解決實(shí)際問(wèn)題.難點(diǎn)

在風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題中，當(dāng)決策目標(biāo)確定后，可以考慮用離散型隨機(jī)變量來(lái)描述面臨的各個(gè)行動(dòng)方案，通過(guò)計(jì)算期望求出決策目標(biāo)的期望所得，然后比較這些期望值，得到最優(yōu)期望值，相應(yīng)的備選方案就是決策者應(yīng)采納的最佳行動(dòng)方案.這種方法被稱為期望值法.提示和上一講的最大值法相比較，他們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？實(shí)際問(wèn)題

為生產(chǎn)某種產(chǎn)品，投資方有兩種投資方案，一個(gè)是建設(shè)大工廠，另一個(gè)是建設(shè)小工廠.大工廠需要投資300萬(wàn)元，小工廠需要投資150萬(wàn)元，兩者的使用期限都是10年.估計(jì)在此期間，產(chǎn)品暢銷的概率是0.7，產(chǎn)品滯銷的概率是0.3.兩個(gè)方案的年度收益情況如下表所示.投資方應(yīng)該做出怎樣的決策呢？

這個(gè)問(wèn)題我們?cè)谏弦恢v是講過(guò)的，而現(xiàn)在我們要試著用期望值法來(lái)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策.方案a1：造大工廠a2：造小工廠x1：產(chǎn)品暢銷x2：產(chǎn)品滯銷0.70.310040-2020

兩個(gè)方案的10年收益情況單位：萬(wàn)元期望640340

設(shè)離散隨機(jī)變量X1，X2分別表示造大工廠和造小工廠投產(chǎn)10年的收益值，由上表可知，我們已知道X1，X2的概率分布如下:X11000-200P0.70.3X2400200P0.70.3算出它們的期望為E（X1）=1000×0.7+（-200）×0.3=640E（X2）=400×0.7+200×0.3=340

以上這兩個(gè)值反映了投資方案采納不同基建方案時(shí)可能得到的收益值，通常稱為收益的期望或期望收益，所以可以把它們填在表的最后一列中.投資方案采納大工廠的利潤(rùn)預(yù)測(cè)為E（X1)——造大工廠投資=640-300=340（萬(wàn)元）;E（X2)——造大小廠投資=340-150=190（萬(wàn)元）.注意

兩者比較，應(yīng)該認(rèn)為造大工廠的基建方案對(duì)投資方案更為有利，這一結(jié)果和最大可能法得到的結(jié)果是一致的.練一練

某公司準(zhǔn)備進(jìn)口一種新產(chǎn)品，根據(jù)國(guó)內(nèi)市場(chǎng)以往同類產(chǎn)品的銷售情況，具有銷售差、銷路一般以及銷售好三種銷售狀態(tài)，相應(yīng)的概率分別是0.4，0.55以及0.05.如果進(jìn)口并投入市場(chǎng)，在三種狀態(tài)銷售下的相應(yīng)結(jié)果是：虧80萬(wàn)元，盈50萬(wàn)元以及盈200萬(wàn)元.當(dāng)然也可以不進(jìn)口這種產(chǎn)品，這樣公司既不虧損也不盈利.公司應(yīng)該使用期望值法進(jìn)行決策呢？

解：設(shè)離散型隨機(jī)變量X表示進(jìn)口這種產(chǎn)品并投入市場(chǎng)的收益值（單位：萬(wàn)元），由題意容易得到X的概率分布列如下:X-8050200P0.40.550.05X的期望為E（x）=（-80）×0.4+50×0.55+200×0.05=505.還記得他是什么嗎?

上面的期望反映了銷售這種產(chǎn)品的期望收益.如果不進(jìn)口這種產(chǎn)品，公司既不虧也不盈，期望值應(yīng)該是0.兩者相比，公司可以采納進(jìn)口并銷售這種產(chǎn)品的方案.

注意

這里需要特別指出，今后為了敘述起來(lái)方便，我們常常不再設(shè)離散變量，而直接寫成求各個(gè)備選方案損益的期望值，作為比較各方案優(yōu)劣的基礎(chǔ).

當(dāng)然，作出這樣決策后，應(yīng)該受面臨的風(fēng)險(xiǎn)不小，因?yàn)橛邪俜种氖目赡軙?huì)虧損80萬(wàn)元.實(shí)際問(wèn)題

長(zhǎng)江沿岸的某市為了防止洪水對(duì)該市的襲擊，決定整修一段防護(hù)堤，當(dāng)?shù)赜杏涗浀暮樗Y料可得，一般洪水發(fā)生的可能性為70%，他不會(huì)對(duì)防護(hù)堤氣破壞作用；較大洪水發(fā)生的可能性為25%，他和對(duì)防護(hù)堤造成輕微破壞；特大洪水發(fā)生的可能性為5%，它能對(duì)防護(hù)堤造成嚴(yán)重破壞.工程技術(shù)人員經(jīng)過(guò)反復(fù)研究，提出了三個(gè)可行方案：整修堤岸，增高并加固堤岸，修建混凝土防水墻.每個(gè)方案的實(shí)施所需費(fèi)用（包括修建費(fèi)用和洪水發(fā)生后造成的損失）如下表所示.該市如可進(jìn)行決策呢?X1：一般洪水X2：較大洪水X3：特大洪水0.700.250.05方案a1：整修堤岸a2：增高并加固堤岸a3：修建混凝土防水墻303540403840504245期望值33.536.140.25三個(gè)防洪方案的費(fèi)用情況單位：千萬(wàn)元

解：由題意可知，該市的決策目標(biāo)應(yīng)該是所需的費(fèi)用最少.由上表可知，方案a1（整修堤岸）所需的費(fèi)用的期望值為30×0.70+40×0.25+50×0.05=33.5（千萬(wàn)元）；方案a2（增高并加固堤岸）所需費(fèi)用的期望值為35×0.70+38×0.25+42×0.05=36.1（千萬(wàn)元）;方案a3（修建混凝土防水墻)所需費(fèi)用的期望為40×0.70+40×0.25+45×0.05=40.25（千萬(wàn)元）.本例的損益矩陣是

把計(jì)算結(jié)果填入上表的最后一列，經(jīng)比較大小，容易看出，整修堤壩的方案所需的方案所需要期望費(fèi)用33.5千萬(wàn)元最小，方案a1應(yīng)該作為最佳方案被采納.這和原來(lái)的做法有什么不同？課堂小結(jié)1.期望值法：在風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題中，當(dāng)決策目標(biāo)確定后，可以考慮用離散型隨機(jī)變量來(lái)描述面臨的各個(gè)行動(dòng)方案，通過(guò)計(jì)算期望求出決策目標(biāo)的期望所得，然后比較這些期望值，得到最優(yōu)期望值，相應(yīng)的備選方案就是決策者應(yīng)采納的最佳行動(dòng)方案.這種方法被稱為期望值法.2.用期望值進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)型決策的步驟如下：第一步明確問(wèn)題的決策目標(biāo)；第二步確定未來(lái)狀態(tài)x1，x2，…及其概率，確定可供選擇的各個(gè)方案a1，a2，…；第三步確定損益函數(shù)R（a，x）或損益函數(shù)R；第四步求出各個(gè)方案a1，a2，…的損益期望值，根據(jù)決策目標(biāo)求出最佳行動(dòng)方案.習(xí)題答案習(xí)題三參考解答.1.用期望值法.(1)決策目標(biāo)：得分最大.(2)未來(lái)狀態(tài)及其概率：P（普通硬幣）=2/3，P(特制硬幣）=1/3.備選方案：a1:判斷為普通硬幣，a2：判斷為特制硬幣.(3)損益矩陣R：(4)方案a1：設(shè)X1為采納a1的得分值，它是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，分布列為X19-12P2/31/3方案a1的得分期望值為E（X1）=2;同理得，方案a2的得分期望值為1.

因?yàn)镋（X1）〉E（X2），所以應(yīng)該采納方案a1，即判斷取出的一枚硬幣為普通硬幣，這時(shí)得分的期望值是2.2.用期望值法.決策目標(biāo)：利潤(rùn)最大.

損益矩陣，(3)計(jì)算方案的期望值.方案a1的期望收益：9000元；方案a2的期望收益：10400元.

作比較，由于10400〉9000，所以最優(yōu)決策方案a2，即應(yīng)去采購(gòu)哈密瓜.3.用期望值法.

我們注意到，用期望值法的風(fēng)險(xiǎn)決策結(jié)果與最大可能法的結(jié)果不同.期望值法考慮到三點(diǎn)未來(lái)天氣的狀態(tài)，而最大可能法只考慮未來(lái)天晴狀態(tài)比較方案a1與a2的優(yōu)劣.考慮問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不同，得到的結(jié)果就有可能不同.第一個(gè)決策目標(biāo)：收益最大.狀態(tài)：x1——新設(shè)備暢銷；

x2——新設(shè)備滯銷.(2)益損矩陣為(3)方案a1的期望收益為15萬(wàn)元；方案a2的期望收益為12.5萬(wàn)元.

經(jīng)比較，由于15〉12.5，所以采納a1為最佳方案，即出售新設(shè)備的圖紙.備選方案a1：出售圖紙；

a2：自己制造.第二個(gè)

用同樣的方法，我們可以知道，方案a1的期望收益小于方案a2的期望收益，所以，應(yīng)采納a2為最佳方案，即公司自己制造新設(shè)備.注意：本題說(shuō)明當(dāng)未來(lái)的狀態(tài)改變時(shí)，最佳的選擇方案也有可能會(huì)改變.4.(1)由于隨意遇到的一名高一(1)班同學(xué)可能有票，也可能沒(méi)有，這就是可能出現(xiàn)兩種未來(lái)狀態(tài)x1和x2.題目中沒(méi)有直接給出它們的概率，但我們可由已知條件推算出來(lái)：