2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-21.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1.2.1-1.2.2含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1。2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1。2。2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（一）［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1．能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c（c為常數(shù)）,y＝x,y＝x2,y＝eq\f（1，x），y＝eq\r（x）的導(dǎo)數(shù)．2．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．［知識鏈接]在前面，我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，那么能不能利用導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？類比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)y＝f（x)的導(dǎo)數(shù)？答（1）計(jì)算eq\f(Δy,Δx)，并化簡;(2)觀察當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，eq\f（Δy,Δx)趨近于哪個定值；(3)eq\f（Δy,Δx）趨近于的定值就是函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)．［預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x）＝c（c為常數(shù)）f′（x)＝0f（x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x）＝2xf（x)＝eq\f(1,x）f′（x）＝－eq\f（1,x2)f(x）＝eq\r(x)f′（x）＝eq\f(1，2\r（x)）2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x）＝c（c為常數(shù))f′(x）＝0f（x）＝xα(α∈Q*)f′(x）＝αxα－1f（x)＝sinxf′（x)＝cos_xf(x）＝cosxf′（x）＝－sin_xf（x）＝axf′（x）＝axln_a（a〉0,且a≠1）f（x）＝exf′（x)＝exf（x)＝logaxf′（x）＝eq\f(1，xlna）(a〉0，且a≠1）f(x)＝lnxf′（x)＝eq\f(1,x）要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝2013x2的導(dǎo)數(shù)．解f′(x)＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0))eq\f(2013x＋Δx2－2013x2,x＋Δx－x)＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0））eq\f(2013[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2013x2,Δx）＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0））eq\f(4026x·Δx＋2013Δx2，Δx)＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0))(4026x＋2013Δx)＝4026x.規(guī)律方法解答此類問題,應(yīng)注意以下幾條：(1）嚴(yán)格遵循“一差、二比、三取極限”的步驟．(2）當(dāng)Δx趨于0時(shí)，k·Δx（k∈R）、（Δx）n(n∈N*)等也趨于0。（3）注意通分、分母（或分子）有理化、因式分解、配方等技巧的應(yīng)用．跟蹤演練1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝x2＋ax＋b（a,b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)．解y′＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0））eq\f（x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b，Δx）＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0)）eq\f(x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b,Δx)＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0）)eq\f(2x·Δx＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0）)(2x＋a＋Δx)＝2x＋a。要點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）y＝sineq\f(π，3)；(2）y＝5x；（3）y＝eq\f(1,x3）；（4）y＝eq\r（4，x3）；(5)y＝log3x。解(1）y′＝0;（2)y′＝(5x)′＝5xln5;(3)y′＝（x－3)′＝－3x－4;(4）y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r（4,x3）））′＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x\f(3，4))）′＝eq\f(3，4)x－eq\f（1,4）＝eq\f(3,4\r（4,x））；(5)y′＝(log3x)′＝eq\f（1,xln3)。規(guī)律方法求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：(1）用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度．解題時(shí)根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整,再選擇合適的求導(dǎo)公式．跟蹤演練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y＝x8；(2）y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）)）x;(3）y＝xeq\r（x)；(4)y＝logeq\f(1，3）x.解(1）y′＝8x7;（2）y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2))）xlneq\f（1，2)＝－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2))）xln2;（3）∵y＝xeq\r（x）＝xeq\f(3,2），∴y′＝eq\f（3，2)xeq\f（1,2）；（4)y′＝eq\f(1,xln\f（1,3))＝－eq\f(1,xln3）.要點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程例3求過曲線y＝sinx上點(diǎn)Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,6）,\f(1,2）)）且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲線在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，6）,\f(1,2））)處的切線斜率是：y′｜x＝eq\f(π，6）＝coseq\f(π，6)＝eq\f（\r(3），2）?！噙^點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為－eq\f（2,\r(3）），故所求的直線方程為y－eq\f（1，2）＝－eq\f(2,\r(3））eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6)）),即2x＋eq\r（3）y－eq\f（\r(3）,2)－eq\f(π，3)＝0.規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率；相互垂直的直線斜率乘積等于－1是解題的關(guān)鍵．跟蹤演練3已知點(diǎn)P（－1，1),點(diǎn)Q(2，4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．解∵y′＝（x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率為k＝eq\f(4－1,2＋1）＝1,而切線平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝eq\f(1,2),所以切點(diǎn)為Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，\f(1，4))）?！嗨蟮那芯€方程為y－eq\f(1，4）＝x－eq\f（1,2）,即4x－4y－1＝0。1．已知f（x)＝x2，則f′(3)＝（)A．0 B．2xC．6 D．9答案C解析∵f（x）＝x2，∴f′（x)＝2x，∴f′（3）＝6.2．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，則f′（3)等于(）A.eq\f（\r(3）,6) B．0C．eq\f（1,2\r(x）） D．eq\f(\r(3），2）答案A解析∵f′(x）＝（eq\r(x））′＝eq\f(1,2\r(x）），∴f′（3）＝eq\f(1，2\r（3）)＝eq\f(\r（3），6）。3．設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是（）A。eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，4）））∪eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π）） B．［0,π）C．eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f（3π,4））） D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（0,\f（π，4））)∪eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π，2)，\f（3π,4)））答案A解析∵(sinx）′＝cosx,∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（0,\f（π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3π，4）,π）).4．曲線y＝ex在點(diǎn)（2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________．答案eq\f（1，2）e2解析∵y′＝（ex)′＝ex，∴k＝e2,∴曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2（x－2），即y＝e2x－e2.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí),x＝1?！郤△＝eq\f(1，2）×1×eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(－e2))＝eq\f(1，2)e2。1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸．2．有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo)．如求y＝1－2sin2eq\f（x，2)的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2eq\f（x,2）＝cosx，所以y′＝(cosx）′＝－sinx.3．對于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號的變化。一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為()①y＝ln2，則y′＝eq\f（1，2）；②y＝eq\f(1，x2），則y′|x＝3＝－eq\f（2，27）;③y＝2x，則y′＝2xln2；④y＝log2x，則y′＝eq\f（1,xln2）.A．0 B．1C．2 D．3答案D解析①y＝ln2為常數(shù)，所以y′＝0.①錯．②③④正確．2．過曲線y＝eq\f(1，x）上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(）A。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2），2）） B．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，2))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)，－2)）C．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)，－2)） D．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）,－2）)答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，x)))′＝－eq\f（1,x2)＝－4,x＝±eq\f（1，2），故選B。3．已知f（x）＝xa，若f′（－1)＝－4，則a的值等于（）A．4 B．－4C．5 D．－5答案A解析f′(x）＝axa－1，f′（－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4。4．函數(shù)f(x）＝x3的斜率等于1的切線有(）A．1條 B．2條C．3條 D．不確定答案B解析∵f′(x）＝3x2，設(shè)切點(diǎn)為（x0,y0），則3xeq\o\al（2，0）＝1，得x0＝±eq\f（\r(3），3)，即在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3),3），\f（\r(3)，9)））和點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（\r（3），3),－\f（\r（3），9）)）處有斜率為1的切線．5．曲線y＝eq\f(9，x）在點(diǎn)M(3,3)處的切線方程是________．答案x＋y－6＝0解析∵y′＝－eq\f(9,x2），∴y′|x＝3＝－1，∴過點(diǎn)(3,3)的斜率為－1的切線方程為：y－3＝－(x－3）即x＋y－6＝0.6．若曲線y＝x－eq\f(1,2）在點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(a，a－\f(1,2))）處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,則a＝________.答案64解析∵y＝x－eq\f（1,2），∴y′＝－eq\f(1，2）x－eq\f(3,2），∴曲線在點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a－\f（1，2)))處的切線斜率k＝－eq\f(1,2）a－eq\f(3，2)，∴切線方程為y－a－eq\f（1，2）＝－eq\f(1,2）a－eq\f(3，2)（x－a）．令x＝0得y＝eq\f（3,2)a－eq\f（1，2）；令y＝0得x＝3a.∵該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f（1，2）·3a·eq\f(3,2）a－eq\f（1,2）＝eq\f（9,4）aeq\f（1，2）＝18,∴a＝64。7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）y＝eq\r（5,x3）；（2）y＝eq\f(1，x4)；(3)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f（x，4））)；(4）y＝log2x2－log2x.解（1)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5，x3)))′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x\f（3，5)））′＝eq\f（3,5)xeq\f（3，5）－1＝eq\f(3，5）x－eq\f（2,5）＝eq\f（3,5\r（5，x2))。(2)y′＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,x4））)′＝（x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f（4,x5）。(3）∵y＝－2sineq\f（x,2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－2cos2\f（x，4)))＝2sineq\f(x，2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2cos2\f(x，4）－1))＝2sineq\f(x,2）coseq\f(x,2）＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.(4）∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝（log2x）′＝eq\f(1,x·ln2).二、能力提升8．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為(）A。eq\f（1,e） B．－eq\f（1,e）C．－e D．e答案D解析y′＝ex,設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y0＝kx0，y0＝ex0,k＝ex0。）)∴ex0＝ex0·x0,∴x0＝1,∴k＝e。9．曲線y＝lnx在x＝a處的切線傾斜角為eq\f（π,4)，則a＝________。答案1解析y′＝eq\f(1，x)，∴y′|x＝a＝eq\f（1，a)＝1，∴a＝1.10．點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離為________．答案eq\f（\r（2),2）解析根據(jù)題意設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(diǎn)(x0,y0),該切點(diǎn)即為與y＝x距離最近的點(diǎn)，如圖．則在點(diǎn)（x0,y0）處的切線斜率為1，即y′｜x＝x0＝1。∵y′＝(ex）′＝ex,∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P（0，1)．利用點(diǎn)到直線的距離公式得距離為eq\f（\r(2)，2)。11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，求適合f′(x）＋g′(x)≤0的x的值．解∵f(x）＝cosx，g(x）＝x,∴f′(x）＝（cosx)′＝－sinx，g′（x)＝x′＝1，由f′(x)＋g′(x）≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1],∴sinx＝1，∴x＝2kπ＋eq\f(π,2),k∈Z。12．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0,求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離．解根據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線，對應(yīng)的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al（2，0))，則y′｜x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝eq\f（1,2)，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2),\f（1，4））)，切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f（\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)－\f(1,4)－2)）,\r(2）)＝eq\f(7\r(2),8)，所以拋物線上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離為eq\f(7\r(2)，8）。三、探究與創(chuàng)新13．設(shè)f0(x）＝sinx，f1（x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1（x），…，fn＋1（x）＝f′n(x)，n∈N，試求f2014(x)．解f1（x)＝（sinx)′＝cosx，f2（x）＝（cosx)′＝－sinx，f3（x）＝（－sinx)′＝－cosx,f4（x）＝(－cosx)′＝sinx,f5（x)＝(sinx）′＝f1（x），f6（x）＝f2（x）,…，fn＋4(x）＝fn(x)，可知周期為4，∴f2014(x）＝f2（x)＝－sinx．1.2。2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(二)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則．2．理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．能運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)．[知識鏈接]前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣做起題來比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松．我們已經(jīng)會求f（x）＝5和g（x）＝1.05x等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么怎樣求f（x）與g(x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？答利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則法則語言敘述［f（x)±g(x）]′＝f′(x)±g′(x)兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)［f（x)·g（x）］′＝f′（x)·g（x)＋f（x)·g′（x)兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（fx，gx））)′＝eq\f（f′xgx－fx·g′x,[gx]2)（g（x)≠0）兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)乘上分母減去分子乘上分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母的平方2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u）和u＝g（x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為y＝f（u）和u＝g（x）的復(fù)合函數(shù),記作y＝f（g（x))復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f（u)，u＝g（x）的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1)y＝x3－2x＋3；（2)y＝（x2＋1）（x－1);（3）y＝3x－lgx.解（1）y′＝（x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2。(2)∵y＝（x2＋1）(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝（x3）′－(x2）′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.（3）函數(shù)y＝3x－lgx是函數(shù)f(x）＝3x與函數(shù)g(x）＝lgx的差．由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出f′（x）＝3xln3，g′(x）＝eq\f(1，xln10），利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得（3x－lgx)′＝f′（x）－g′（x）＝3xln3－eq\f(1，xln10)。規(guī)律方法本題是基本函數(shù)和（差）的求導(dǎo)問題，求導(dǎo)過程要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)法則，對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)．跟蹤演練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）y＝5－4x3;(2）y＝3x2＋xcosx;(3)y＝ex·lnx；(4)y＝lgx－eq\f(1,x2)。解(1)y′＝－12x2；(2）y′＝（3x2＋xcosx）′＝6x＋cosx－xsinx；（3）y′＝eq\f（ex，x）＋ex·lnx;(4）y′＝eq\f（1,xln10）＋eq\f(2，x3)。要點(diǎn)二求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1）y＝ln(x＋2）；（2)y＝（1＋sinx)2;解（1）y＝lnu，u＝x＋2∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝（lnu）′·(x＋2）′＝eq\f（1，u)·1＝eq\f(1，x＋2).(2）y＝u2，u＝1＋sinx，∴yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝(u2）′·（1＋sinx)′＝2u·cosx＝2cosx（1＋sinx）．規(guī)律方法應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，應(yīng)注意以下幾個方面:（1)中間變量的選取應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)．(2)正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，并要弄清每一步是哪個變量對哪個變量的求導(dǎo)．(3）一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導(dǎo)．(4)善于把一部分表達(dá)式作為一個整體．（5）最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．熟練后,就不必再寫中間步驟．跟蹤演練2（1)y＝e2x＋1；(2）y＝(eq\r(x)－2）2。解（1)y＝eu,u＝2x＋1，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(eu）′·(2x＋1）′＝2eu＝2e2x＋1。(2)法一∵y＝(eq\r(x）－2）2＝x－4eq\r(x）＋4，∴y′＝x′－（4eq\r（x）)′＋4′＝1－4×eq\f(1，2）x－eq\f（1,2)＝1－eq\f（2,\r(x)）。法二令u＝eq\r(x）－2，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝2(eq\r(x)－2)·(eq\r(x）－2）′＝2(eq\r（x)－2)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）·\f（1,\r(x)）－0））＝1－eq\f(2,\r(x)）。要點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3求過點(diǎn)(1,－1)與曲線f(x）＝x3－2x相切的直線方程．解設(shè)P(x0，y0）為切點(diǎn)，則切線斜率為k＝f′(x0）＝3xeq\o\al(2,0)－2故切線方程為y－y0＝(3xeq\o\al(2,0）－2)(x－x0） ①∵(x0,y0)在曲線上,∴y0＝xeq\o\al（3，0）－2x0 ②又∵（1,－1)在切線上,∴將②式和（1，－1）代入①式得－1－（xeq\o\al(3，0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2）(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2）.故所求的切線方程為y＋1＝x－1或y＋1＝－eq\f(5，4)（x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0。規(guī)律方法(1，－1）雖然在曲線上，但是經(jīng)過該點(diǎn)的切線不一定只有一條，即該點(diǎn)有可能是切點(diǎn),也可能是切線與曲線的交點(diǎn)，解題時(shí)注意不要失解．跟蹤演練3已知某運(yùn)動著的物體的運(yùn)動方程為s（t)＝eq\f（t－1,t2)＋2t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s），求t＝3s時(shí)物體的瞬時(shí)速度．解∵s(t)＝eq\f（t－1,t2)＋2t2＝eq\f(t，t2)－eq\f（1，t2)＋2t2＝eq\f(1,t)－eq\f(1，t2)＋2t2，∴s′(t）＝－eq\f（1,t2)＋2·eq\f(1，t3)＋4t,∴s′（3）＝－eq\f（1,9)＋eq\f（2,27)＋12＝eq\f(323，27）,即物體在t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為eq\f（323,27）m/s.1．下列結(jié)論不正確的是(）A．若y＝3，則y′＝0B．若f（x)＝3x＋1，則f′(1）＝3C．若y＝－eq\r(x)＋x，則y′＝－eq\f（1，2\r（x））＋1D．若y＝sinx＋cosx,則y′＝cosx＋sinx答案D解析利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運(yùn)算法則求解．D項(xiàng)，∵y＝sinx＋cosx,∴y′＝（sinx)′＋（cosx)′＝cosx－sinx.2．函數(shù)y＝eq\f（cosx,1－x)的導(dǎo)數(shù)是（）A。eq\f（－sinx＋xsinx,1－x2) B．eq\f(xsinx－sinx－cosx，1－x2）C．eq\f（cosx－sinx＋xsinx，1－x2) D．eq\f(cosx－sinx＋xsinx，1－x）答案C解析y′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(cosx，1－x)））′＝eq\f（－sinx1－x－cosx·－1,1－x2）＝eq\f（cosx－sinx＋xsinx,1－x2)。3．曲線y＝eq\f(x,x＋2)在點(diǎn)（－1,－1）處的切線方程為()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2答案A解析∵y′＝eq\f（x′x＋2－xx＋2′，x＋22)＝eq\f(2,x＋22），∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\f(2，－1＋22）＝2，∴切線方程為y＋1＝2（x＋1），即y＝2x＋1.4．直線y＝eq\f(1，2)x＋b是曲線y＝lnx(x>0）的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________。答案ln2－1解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0),∵y′＝eq\f(1,x),∴eq\f（1,2）＝eq\f(1，x0），∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝eq\f(1，2)×2＋b，∴b＝ln2－1。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過程中,要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．對于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的要進(jìn)行適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決一些切線斜率、瞬時(shí)速度等問題.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．設(shè)y＝－2exsinx,則y′等于（）A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex（sinx＋cosx）答案D解析y′＝－2(exsinx＋excosx）＝－2ex（sinx＋cosx)．2．當(dāng)函數(shù)y＝eq\f（x2＋a2,x）(a>0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，那么x0＝（）A．a(chǎn) B．±aC．－a D．a(chǎn)2答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x2＋a2，x）））′＝eq\f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq\f（x2－a2,x2），由xeq\o\al（2，0)－a2＝0得x0＝±a.3．設(shè)曲線y＝eq\f(x＋1，x－1）在點(diǎn)（3,2）處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于(）A．2 B．eq\f（1，2）C．－eq\f（1,2） D．－2答案D解析∵y＝eq\f(x＋1，x－1)＝1＋eq\f（2，x－1），∴y′＝－eq\f（2，x－12）.∴y′｜x＝3＝－eq\f(1，2）.∴－a＝2,即a＝－2.4．已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為k,則當(dāng)k＝3時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為(）A．（－2,－8) B．（－1，－1）或(1，1）C．(2,8) D．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2）,－\f（1,8))）答案B解析y′＝3x2,∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－1）或（1,1）．5．設(shè)函數(shù)f(x)＝g（x)＋x2，曲線y＝g(x）在點(diǎn)（1，g（1）)處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f(1））處切線的斜率為________．答案4解析依題意得f′（x）＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1）＋2＝4。6．已知f(x)＝eq\f（1，3）x3＋3xf′（0)，則f′（1）＝________.答案1解析由于f′(0)是一常數(shù)，所以f′（x)＝x2＋3f令x＝0，則f′(0)＝0，∴f′（1)＝12＋3f7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1)y＝（2x2＋3）(3x－1)；（2)y＝x－sineq\f(x，2)coseq\f(x,2）。解(1）法一y′＝（2x2＋3)′（3x－1)＋（2x2＋3)（3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9。法二∵y＝(2x2＋3）(3x－1）＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝（6x3－2x2＋9x－3）′＝18x2－4x＋9.（2）∵y＝x－sineq\f（x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f（1,2）sinx,∴y′＝x′－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)sinx）)′＝1－eq\f(1，2）cosx。二、能力提升8．曲線y＝eq\f（sinx，sinx＋cosx)－eq\f(1，2)在點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,4），0)）處的切線的斜率為（）A．－eq\f(1，2） B．eq\f（1,2）C．－eq\f（\r(2)，2） D．eq\f(\r（2）,2）答案B解析y′＝eq\f（cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2）＝eq\f（1,sinx＋cosx2)，故y′｜eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,4））)＝eq\f（1，2)，∴曲線在點(diǎn)Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,4），0））處的切線的斜率為eq\f（1，2).9．已知點(diǎn)P在曲線y＝eq\f（4,ex＋1）上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是(）A．[0，eq\f(π，4）） B．[eq\f（π，4），eq\f(π,2)）C．(eq\f(π,2），eq\f(3π，4)] D．[eq\f（3π，4）,π）答案D解析y′＝－eq\f(4ex，ex＋12)＝－eq\f（4ex，e2x＋2ex＋1),設(shè)t＝ex∈（0，＋∞）,則y′＝－eq\f(4t，t2＋2t＋1)＝－eq\f（4,t＋\f（1，t）＋2）,∵t＋eq\f(1,t)≥2，∴y′∈[－1，0）,α∈[eq\f(3π，4），π)．10．（2013·江西)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,＋∞）內(nèi)可導(dǎo)，且f（ex）＝x＋ex,則f′(1）＝________。答案2解析令t＝ex，則x＝lnt，所以函數(shù)為f（t)＝lnt＋t,即f（x）＝lnx＋x，所以f′(x)＝eq\f（1，x）＋1，即f′（1）＝eq\f(1，1)＋1＝2。11．求過點(diǎn)（2，0）且與曲線y＝x3相切的直線方程．解點(diǎn)（2，0)不在曲線y＝x3上，可令切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al（3，0））．由題意,所求直線方程的斜率k＝eq\f(x\o\al（3,0)－0,x0－2)＝y(tǒng)′|x＝x0＝3xeq\o\al（2，0）,即eq\f（x\o\al（3，0)，x0－2)＝3xeq\o\al（2,0）,解得x0＝0或x0＝3。當(dāng)x0＝0時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0），斜率k＝0，則所求直線方程是y＝0；當(dāng)x0＝3時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是（3,27）,斜率k＝27，則所求直線方程是y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0。綜上，所求的直線方程為y＝0或27x－y－54＝0.12．已知曲線f（x）＝x3－3x，過點(diǎn)A(0，16)作曲線f(x)的切線，求曲線的切線方程．解設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則由導(dǎo)數(shù)定義得切線的斜率k＝f′(x0)＝3xeq\o\al（2，0)－3,∴切線方程為y＝（3xeq\o\al（2,0)－3）x＋16，又切點(diǎn)(x0,y0）在切線上，∴y0＝3(xeq\o\al(2,0)－1)x0＋16，即xeq\o\al(3，0)－3x0＝3(xeq\o\al（2，0)－1）x0＋16，解得x0＝－2，∴切線方程為9x－y＋16＝0.三、探究與創(chuàng)新13．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－eq\f（b,x），曲線y＝f（x)在點(diǎn)（2，f(2）)處的切線方程為7x－4y－12＝0.（1)求f（x)的解析式;(2)證明：曲線y＝f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．(1）解由7x－4y－12＝0得y＝eq\f(7,4）x－3.當(dāng)x＝2時(shí),y＝eq\f(1,2）,∴f（2)＝eq\f（1，2)， ①又f′(x）＝a＋eq\f（b,x2)，∴f′（2）＝eq\f（7,4）， ②由①，②得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2a－\f（b，2）＝\f（1，2),a＋\f（b，4)＝\f（7,4)。))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝3))。故f(x）＝x－eq\f(3,x)。(2）證明設(shè)P（x0,y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知曲線在點(diǎn)P（x0，y0)處的切線方程為y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f(3,x\o\al（2,0))）)（x－x0),即y－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x0－\f（3,x0)）)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(3，x\o\al（2,0))))(x－x0)．令x＝0得y＝－eq\f（6,x0),從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，－\f（6，x0））).令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2x0，2x0)．所以點(diǎn)P(x0，y0）處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為eq\f（1,2）eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(－\f(6,x0））)eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0））＝6.故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.1．2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1．2.1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(一)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù)）,y＝x,y＝x2,y＝eq\f（1,x），y＝eq\r(x）的導(dǎo)數(shù)．2．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．[知識鏈接]在前面,我們利用導(dǎo)數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),那么能不能利用導(dǎo)數(shù)的定義求出比較簡單的函數(shù)及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？類比用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法，如何用定義求函數(shù)y＝f（x)的導(dǎo)數(shù)？答(1）計(jì)算eq\f（Δy,Δx），并化簡;（2）觀察當(dāng)Δx趨近于0時(shí),eq\f(Δy，Δx)趨近于哪個定值；(3）eq\f(Δy，Δx）趨近于的定值就是函數(shù)y＝f（x)的導(dǎo)數(shù)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f（x）＝c(c為常數(shù)）f′(x)＝0f（x）＝xf′（x）＝1f(x)＝x2f′（x)＝2xf(x）＝eq\f(1，x)f′（x)＝－eq\f（1,x2)f(x)＝eq\r(x)f′(x）＝eq\f(1,2\r(x)）2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x）＝c（c為常數(shù)）f′（x)＝0f（x）＝xα(α∈Q*)f′（x）＝αxα－1f(x）＝sinxf′（x）＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x）＝axf′（x)＝axln_a(a〉0，且a≠1)f（x）＝exf′（x)＝exf（x）＝logaxf′（x）＝eq\f(1,xlna)（a>0,且a≠1）f（x）＝lnxf′（x)＝eq\f（1,x）要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f（x)＝2013x2的導(dǎo)數(shù)．解f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f(2013x＋Δx2－2013x2,x＋Δx－x）＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0）)eq\f（2013［x2＋2x·Δx＋Δx2］－2013x2，Δx）＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0)）eq\f(4026x·Δx＋2013Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0）)（4026x＋2013Δx)＝4026x.規(guī)律方法解答此類問題，應(yīng)注意以下幾條：(1)嚴(yán)格遵循“一差、二比、三取極限”的步驟．(2)當(dāng)Δx趨于0時(shí)，k·Δx(k∈R）、(Δx）n(n∈N＊)等也趨于0。（3）注意通分、分母（或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的應(yīng)用．跟蹤演練1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y＝x2＋ax＋b（a，b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)．解y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0)）eq\f(x＋Δx2＋ax＋Δx＋b－x2＋ax＋b,Δx)＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f（x2＋2x·Δx＋Δx2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－b,Δx)＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f（2x·Δx＋a·Δx＋Δx2,Δx)＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0))（2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y＝sineq\f（π,3）；（2)y＝5x；(3)y＝eq\f（1，x3)；(4）y＝eq\r(4，x3)；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；（2)y′＝(5x）′＝5xln5;（3）y′＝（x－3)′＝－3x－4;(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r（4，x3))）′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x\f（3，4))）′＝eq\f（3，4）x－eq\f(1,4)＝eq\f(3，4\r（4，x））;(5)y′＝(log3x）′＝eq\f(1，xln3）.規(guī)律方法求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：（1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；（2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo),可以簡化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度．解題時(shí)根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式．跟蹤演練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）y＝x8；（2）y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）))x;(3）y＝xeq\r（x)；（4）y＝logeq\f(1,3）x。解(1）y′＝8x7;（2）y′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)））xlneq\f（1,2）＝－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）)）xln2；(3）∵y＝xeq\r(x)＝xeq\f（3，2），∴y′＝eq\f（3，2）xeq\f(1,2);(4)y′＝eq\f（1,xln\f(1,3)）＝－eq\f(1,xln3）。要點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線的切線方程例3求過曲線y＝sinx上點(diǎn)Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，6)，\f(1，2））)且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程．解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，曲線在點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，6），\f（1,2）)）處的切線斜率是：y′｜x＝eq\f（π，6)＝coseq\f（π,6)＝eq\f（\r（3）,2）?！噙^點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為－eq\f（2,\r（3)),故所求的直線方程為y－eq\f(1，2)＝－eq\f(2,\r（3）)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6))），即2x＋eq\r(3）y－eq\f(\r(3）,2)－eq\f（π，3）＝0。規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率；相互垂直的直線斜率乘積等于－1是解題的關(guān)鍵．跟蹤演練3已知點(diǎn)P（－1,1)，點(diǎn)Q（2,4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．解∵y′＝（x2）′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0）,則y′|x＝x0＝2x0，又∵PQ的斜率為k＝eq\f(4－1，2＋1)＝1,而切線平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝eq\f（1,2），所以切點(diǎn)為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2),\f(1,4)))?！嗨蟮那芯€方程為y－eq\f(1,4）＝x－eq\f（1，2)，即4x－4y－1＝0。1．已知f（x)＝x2，則f′（3)＝（)A．0 B．2xC．6 D．9答案C解析∵f（x)＝x2，∴f′（x）＝2x，∴f′(3）＝6.2．函數(shù)f（x)＝eq\r（x),則f′(3）等于()A.eq\f（\r（3),6） B．0C．eq\f(1,2\r（x)) D．eq\f（\r(3),2）答案A解析∵f′（x）＝(eq\r(x）)′＝eq\f(1，2\r（x))，∴f′（3)＝eq\f（1，2\r（3)）＝eq\f(\r（3）,6).3．設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點(diǎn)P,以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是（）A.eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,4)）)∪eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3π，4），π）） B．［0，π)C．eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)，\f（3π,4）)) D．eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,4）)）∪eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，\f(3π,4)）)答案A解析∵（sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1,∴αl∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（π，4））)∪eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π，4），π））。4．曲線y＝ex在點(diǎn)（2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________．答案eq\f(1,2）e2解析∵y′＝(ex)′＝ex,∴k＝e2,∴曲線在點(diǎn)（2,e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2),即y＝e2x－e2。當(dāng)x＝0時(shí),y＝－e2，當(dāng)y＝0時(shí),x＝1?！郤△＝eq\f(1，2)×1×eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(－e2)）＝eq\f（1,2）e2.1．利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡捷的求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式．解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸．2．有些函數(shù)可先化簡再應(yīng)用公式求導(dǎo)．如求y＝1－2sin2eq\f(x，2）的導(dǎo)數(shù)．因?yàn)閥＝1－2sin2eq\f(x，2)＝cosx，所以y′＝（cosx)′＝－sinx。3．對于正、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號的變化.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為(）①y＝ln2，則y′＝eq\f(1,2);②y＝eq\f（1，x2），則y′|x＝3＝－eq\f（2,27)；③y＝2x，則y′＝2xln2;④y＝log2x,則y′＝eq\f(1，xln2）.A．0 B．1C．2 D．3答案D解析①y＝ln2為常數(shù),所以y′＝0。①錯．②③④正確．2．過曲線y＝eq\f(1，x)上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(）A。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)，2)） B．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），2)）或eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2），－2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2)) D．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2),－2）)答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，x）))′＝－eq\f(1，x2)＝－4，x＝±eq\f(1，2），故選B.3．已知f(x)＝xa，若f′(－1）＝－4，則a的值等于（)A．4 B．－4C．5 D．－5答案A解析f′（x)＝axa－1,f′(－1）＝a（－1）a－1＝－4,a＝4.4．函數(shù)f(x)＝x3的斜率等于1的切線有()A．1條 B．2條C．3條 D．不確定答案B解析∵f′（x)＝3x2，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0)，則3xeq\o\al(2，0）＝1，得x0＝±eq\f(\r（3),3），即在點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3),3)，\f(\r(3),9)))和點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（\r（3），3），－\f（\r(3)，9）))處有斜率為1的切線．5．曲線y＝eq\f(9,x）在點(diǎn)M(3，3)處的切線方程是________．答案x＋y－6＝0解析∵y′＝－eq\f(9，x2)，∴y′|x＝3＝－1,∴過點(diǎn)（3，3）的斜率為－1的切線方程為：y－3＝－（x－3）即x＋y－6＝0.6．若曲線y＝x－eq\f(1,2）在點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a,a－\f（1，2））)處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________.答案64解析∵y＝x－eq\f（1，2)，∴y′＝－eq\f(1，2)x－eq\f(3，2），∴曲線在點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（a，a－\f(1，2)））處的切線斜率k＝－eq\f（1，2)a－eq\f（3,2)，∴切線方程為y－a－eq\f（1，2）＝－eq\f(1,2）a－eq\f（3,2)(x－a）．令x＝0得y＝eq\f（3,2）a－eq\f(1,2)；令y＝0得x＝3a.∵該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f（1,2)·3a·eq\f（3,2)a－eq\f(1，2)＝eq\f(9,4）aeq\f(1，2)＝18,∴a＝64.7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y＝eq\r(5，x3）；（2）y＝eq\f(1，x4)；（3）y＝－2sineq\f(x，2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f（x,4))）；(4）y＝log2x2－log2x.解(1）y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r（5，x3）））′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x\f(3，5）））′＝eq\f（3，5）xeq\f(3，5）－1＝eq\f（3,5)x－eq\f(2,5）＝eq\f(3,5\r（5，x2）)。（2)y′＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,x4）））′＝（x－4）′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f(4,x5).(3)∵y＝－2sineq\f（x,2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－2cos2\f（x,4）））＝2sineq\f(x，2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2cos2\f（x，4）－1）)＝2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2）＝sinx,∴y′＝（sinx）′＝cosx。（4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2).二、能力提升8．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為（)A.eq\f(1，e) B．－eq\f（1,e）C．－e D．e答案D解析y′＝ex,設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y0＝kx0,y0＝ex0，k＝ex0。))∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.9．曲線y＝lnx在x＝a處的切線傾斜角為eq\f（π,4），則a＝________.答案1解析y′＝eq\f（1，x），∴y′|x＝a＝eq\f(1,a）＝1，∴a＝1.10．點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離為________．答案eq\f（\r（2）,2)解析根據(jù)題意設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(diǎn)(x0，y0)，該切點(diǎn)即為與y＝x距離最近的點(diǎn)，如圖．則在點(diǎn)(x0,y0）處的切線斜率為1，即y′|x＝x0＝1?！遹′＝(ex）′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P（0,1)．利用點(diǎn)到直線的距離公式得距離為eq\f(\r(2),2)。11．已知f(x）＝cosx，g（x)＝x，求適合f′（x)＋g′（x）≤0的x的值．解∵f（x）＝cosx，g(x）＝x，∴f′（x)＝(cosx）′＝－sinx，g′(x）＝x′＝1，由f′(x)＋g′（x）≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1］，∴sinx＝1,∴x＝2kπ＋eq\f(π，2），k∈Z.12．已知拋物線y＝x2,直線x－y－2＝0,求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離．解根據(jù)題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線，對應(yīng)的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al（2，0))，則y′｜x＝x0＝2x0＝1,所以x0＝eq\f（1，2），所以切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2），\f(1，4)）)，切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離d＝eq\f（\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)－\f（1，4)－2））,\r(2））＝eq\f（7\r(2)，8),所以拋物線上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離為eq\f(7\r(2)，8).三、探究與創(chuàng)新13．設(shè)f0(x)＝sinx,f1（x）＝f′0(x),f2(x)＝f′1（x），…,fn＋1(x）＝f′n（x），n∈N,試求f2014(x)．解f1(x)＝（sinx）′＝cosx，f2（x)＝（cosx)′＝－sinx，f3(x）＝(－sinx)′＝－cosx,f4（x)＝（－cosx）′＝sinx，f5(x）＝（sinx)′＝f1(x),f6(x)＝f2（x)，…，fn＋4(x）＝fn(x)，可知周期為4,∴f2014（x)＝f2（x）＝－sinx．1。2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(二)［學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則．2．理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．能運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)．［知識鏈接]前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，這樣做起題來比用導(dǎo)數(shù)的定義顯得格外輕松．我們已經(jīng)會求f（x)＝5和g（x)＝1。05x等基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，那么怎樣求f（x)與g（x)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢？答利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引］1．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則法則語言敘述[f（x）±g（x）］′＝f′（x)±g′(x)兩個函數(shù)的和（或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差)［f（x)·g(x）］′＝f′（x)·g(x）＋f(x）·g′（x)兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（fx，gx））)′＝eq\f（f′xgx－fx·g′x，［gx]2）（g(x)≠0）兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)乘上分母減去分子乘上分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母的平方2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對于兩個函數(shù)y＝f（u）和u＝g(x），如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y＝f(g(x）)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f（g(x)）的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f（u），u＝g(x）的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積要點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）y＝x3－2x＋3；（2）y＝(x2＋1)（x－1)；（3)y＝3x－lgx。解(1)y′＝（x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.(2）∵y＝(x2＋1）（x－1）＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.(3）函數(shù)y＝3x－lgx是函數(shù)f（x）＝3x與函數(shù)g(x)＝lgx的差．由導(dǎo)數(shù)公式表分別得出f′（x)＝3xln3，g′(x)＝eq\f（1,xln10),利用函數(shù)差的求導(dǎo)法則可得（3x－lgx)′＝f′(x)－g′(x）＝3xln3－eq\f(1,xln10）.規(guī)律方法本題是基本函數(shù)和（差)的求導(dǎo)問題，求導(dǎo)過程要緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)法則，對于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的可先進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)．跟蹤演練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y＝5－4x3；(2）y＝3x2＋xcosx；（3）y＝ex·lnx；(4)y＝lgx－eq\f（1,x2）。解(1）y′＝－12x2;(2)y′＝（3x2＋xcosx）′＝6x＋cosx－xsinx;(3）y′＝eq\f(ex,x）＋ex·lnx;（4)y′＝eq\f(1,xln10)＋eq\f(2，x3)。要點(diǎn)二求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1）y＝ln(x＋2）;（2)y＝(1＋sinx）2；解(1）y＝lnu，u＝x＋2∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(lnu)′·（x＋2)′＝eq\f(1,u)·1＝eq\f（1,x＋2).(2)y＝u2，u＝1＋sinx，∴yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝（u2)′·(1＋sinx）′＝2u·cosx＝2cosx（1＋sinx)．規(guī)律方法應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，應(yīng)注意以下幾個方面：（1)中間變量的選取應(yīng)是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)．（2)正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，并要弄清每一步是哪個變量對哪個變量的求導(dǎo)．(3）一般是從最外層開始,由外及里，一層層地求導(dǎo)．（4)善于把一部分表達(dá)式作為一個整體．（5）最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．熟練后,就不必再寫中間步驟．跟蹤演練2(1）y＝e2x＋1；（2)y＝(eq\r（x）－2)2。解(1）y＝eu,u＝2x＋1，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝（eu)′·（2x＋1）′＝2eu＝2e2x＋1.（2)法一∵y＝(eq\r(x）－2）2＝x－4eq\r（x)＋4，∴y′＝x′－（4eq\r(x))′＋4′＝1－4×eq\f(1,2）x－eq\f(1，2）＝1－eq\f（2,\r（x)).法二令u＝eq\r(x）－2，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝2（eq\r（x）－2）·(eq\r（x)－2）′＝2(eq\r（x）－2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）·\f(1,\r(x））－0)）＝1－eq\f（2，\r（x))。要點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3求過點(diǎn)(1，－1）與曲線f（x)＝x3－2x相切的直線方程．解設(shè)P(x0，y0）為切點(diǎn)，則切線斜率為k＝f′(x0)＝3xeq\o\al（2，0)－2故切線方程為y－y0＝(3xeq\o\al（2，0）－2）(x－x0) ①∵（x0，y0）在曲線上，∴y0＝xeq\o\al(3，0)－2x0 ②又∵（1，－1）在切線上,∴將②式和(1，－1)代入①式得－1－（xeq\o\al(3,0）－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－eq\f（1，2）。故所求的切線方程為y＋1＝x－1或y＋1＝－eq\f（5，4)(x－1）．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0。規(guī)律方法(1，－1）雖然在曲線上，但是經(jīng)過該點(diǎn)的切線不一定只有一條，即該點(diǎn)有可能是切點(diǎn)，也可能是切線與曲線的交點(diǎn)，解題時(shí)注意不要失解．跟蹤演練3已知某運(yùn)動著的物體的運(yùn)動方程為s(t)＝eq\f（t－1，t2)＋2t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求t＝3s時(shí)物體的瞬時(shí)速度．解∵s(t)＝eq\f（t－1，t2)＋2t2＝eq\f(t,t2）－eq\f（1，t2）＋2t2＝eq\f(1,t）－eq\f（1，t2)＋2t2，∴s′(t)＝－eq\f（1，t2）＋2·eq\f（1，t3）＋4t，∴s′(3)＝－eq\f(1,9)＋eq\f(2，27)＋12＝eq\f(323，27），即物體在t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為eq\f（323,27)m/s.1．下列結(jié)論不正確的是(）A．若y＝3，則y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，則f′（1）＝3C．若y＝－eq\r（x)＋x，則y′＝－eq\f(1,2\r（x）)＋1D．若y＝sinx＋cosx，則y′＝cosx＋sinx答案D解析利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的加、減運(yùn)算法則求解．D項(xiàng)，∵y＝sinx＋cosx,∴y′＝(sinx)′＋(cosx）′＝cosx－sinx.2．函數(shù)y＝eq\f（cosx，1－x）的導(dǎo)數(shù)是（）A。eq\f(－sinx＋xsinx，1－x2） B．eq\f(xsinx－sinx－cosx,1－x2）C．eq\f（cosx－sinx＋xsinx，1－x2) D．eq\f（cosx－sinx＋xsinx,1－x)答案C解析y′＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（cosx，1－x)）)′＝eq\f（－sinx1－x－cosx·－1，1－x2)＝eq\f（cosx－sinx＋xsinx,1－x2）。3．曲線y＝eq\f(x,x＋2）在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為（）A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2答案A解析∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′，x＋22)＝eq\f（2，x＋22)，∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\f(2，－1＋22）＝2，∴切線方程為y＋1＝2(x＋1），即y＝2x＋1。4．直線y＝eq\f(1，2）x＋b是曲線y＝lnx(x〉0）的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝________。答案ln2－1解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0），∵y′＝eq\f(1,x)，∴eq\f（1,2）＝eq\f（1，x0）,∴x0＝2,∴y0＝ln2，ln2＝eq\f(1,2）×2＋b，∴b＝ln2－1。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,聯(lián)系基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式．對于不具備導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)構(gòu)形式的要進(jìn)行適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式,再求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決一些切線斜率、瞬時(shí)速度等問題.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．設(shè)y＝－2exsinx，則y′等于（）A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex（sinx＋cosx）答案D解析y′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx）．2．當(dāng)函數(shù)y＝eq\f(x2＋a2，x)(a〉0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，那么x0＝（)A．a(chǎn) B．±aC．－a D．a(chǎn)2答案B解析y′＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(x2＋a2,x))）′＝eq\f(2x·x－x2＋a2，x2)＝eq\f（x2－a2,x2）,由xeq\o\al(2，0)－a2＝0得x0＝±a。3．設(shè)曲線y＝eq\f(x＋1,x－1）在點(diǎn)(3，2）處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于()A．2 B．eq\f(1，2)C．－eq\f（1,2) D．－2答案D解析∵y＝eq\f（x＋1,x－1）＝1＋eq\f(2,x－1），∴y′＝－eq\f（2，x－12)?！鄖′｜x＝3＝－eq\f（1,2）?！啵璦＝2，即a＝－2.4．已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則當(dāng)k＝3時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．(－2，－8) B．（－1，－1)或（1，1)C．(2,8) D．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2),－\f(1,8)）)答案B解析y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)或（1,1)．5．設(shè)函數(shù)f（x）＝g(x)＋x2，曲線y＝g（x)在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為y＝2x＋1,則曲線y＝f(x)在點(diǎn)（1，f(1））處切線的斜率為