2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-21.7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.7.2含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1。7。2定積分在物理中的應(yīng)用［學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．能利用定積分解決物理中的變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功問(wèn)題．2．通過(guò)定積分在物理中的應(yīng)用，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)定積分的價(jià)值．［知識(shí)鏈接]下列判斷正確的是________．（1)路程是標(biāo)量,位移是矢量，路程和位移是兩個(gè)不同的概念；(2)利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移是同一個(gè)式子eq\i\in(t1，t2，)v（t）dt；（3)利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程和位移不是同一個(gè)式子eq\i\in（t1，t2,)v(t)dt。答案（1）（3)解析(1）顯然正確．對(duì)于(2),(3）兩個(gè)判斷,由于當(dāng)v(t）≥0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的路程和位移均用eq\i\in（t1,t2,)v(t）dt求解；當(dāng)v（t)<0時(shí)，求某一時(shí)間段內(nèi)的位移用eq\i\in(t1，t2，）v(t）dt求解,這一時(shí)段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為－eq\i\in（t1，t2,）v(t）dt。所以（2）錯(cuò)(3)正確．［預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．在變速直線運(yùn)動(dòng)中求路程、位移路程是位移的絕對(duì)值之和，從時(shí)刻t＝a到時(shí)刻t＝b所經(jīng)過(guò)的路程s和位移s′分別為：(1)若v（t）≥0,則s＝eq\i\in(a,b,）v（t）dt，s′＝eq\i\in(a，b，）v(t)dt.（2)若v（t)≤0，則s＝－eq\i\in（a，b，）v（t)dt，s′＝eq\i\in(a,b，）v（t)dt。(3）若在區(qū)間[a,c］上，v（t）≥0，在區(qū)間[c，b]上v(t）〈0，則s＝eq\i\in(a，c,)v（t）dt－eq\i\in(c，b,）v(t)dt;s′＝eq\i\in(a,b,)v（t)dt。2．定積分在物理中的應(yīng)用(1)做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時(shí)間區(qū)間［a，b］上的定積分，即s＝eq\i\in（a，b,)v(t)dt.（2）一物體在恒力F（單位：N）的作用下做直線運(yùn)動(dòng),如果物體沿著與F相同的方向移動(dòng)了s(單位：m)，則力F所作的功為W＝Fs;而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F（x)在位移區(qū)間［a，b］上的定積分，即W＝eq\i\in(a，b,）F（x）dx。要點(diǎn)一求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移例1有一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t時(shí)的速度為v（t)＝8t－2t2（速度的正方向與x軸正方向一致)．求（1)P從原點(diǎn)出發(fā),當(dāng)t＝6時(shí)，求點(diǎn)P離開(kāi)原點(diǎn)的路程和位移；（2)P從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后又返回原點(diǎn)時(shí)的t值．解(1）由v（t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即當(dāng)0≤t≤4時(shí)，P點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t>4時(shí)，P點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．故t＝6時(shí)，點(diǎn)P離開(kāi)原點(diǎn)的路程s1＝eq\i\in（0,4,)(8t－2t2）dt－eq\i\in(4，6，）（8t－2t2)dt＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(4t2－\f(2，3)t3））eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（4，0))－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（4t2－\f(2，3)t3）)eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（6,4））＝eq\f(128，3）.當(dāng)t＝6時(shí)，點(diǎn)P的位移為eq\i\in（0，6,)(8t－2t2)dt＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（4t2－\f（2，3)t3))eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(6，0））＝0.（2)依題意eq\i\in(0,t,)（8t－2t2)dt＝0,即4t2－eq\f(2，3)t3＝0,解得t＝0或t＝6，t＝0對(duì)應(yīng)于P點(diǎn)剛開(kāi)始從原點(diǎn)出發(fā)的情況，t＝6是所求的值．規(guī)律方法(1)用定積分解決變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和路程問(wèn)題時(shí),將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是關(guān)鍵．(2)路程是位移的絕對(duì)值之和，因此在求路程時(shí),要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號(hào)不定，應(yīng)求出使速度恒正或恒負(fù)的區(qū)間,然后分別計(jì)算,否則會(huì)出現(xiàn)計(jì)算失誤．跟蹤演練1變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v（t)＝1－t2，初始位置為x0＝1，求它在前2秒內(nèi)所走的路程及2秒末所在的位置．解當(dāng)0≤t≤1時(shí)，v(t)≥0，當(dāng)1≤t≤2時(shí),v（t)<0.所以前2秒鐘內(nèi)所走的路程s＝eq\i\in(0,1，）v（t)dt＋eq\i\in(1，2,)[－v（t）]dt＝eq\i\in（0，1，)(1－t2）dt＋eq\i\in（1，2,）(t2－1）dt＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(t－\f(1，3）t3））eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,3）t3－t））eq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（2,1))＝2.2秒末所在的位置x1＝x0＋eq\i\in（0,2,）v(t)dt＝1＋eq\i\in（0,2，）(1－t2）dt＝1＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（t－\f(t3，3）))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0））＝1＋2－eq\f（8,3）＝eq\f（1,3).它在前2秒內(nèi)所走的路程為2,2秒末所在的位置為x1＝eq\f（1,3).要點(diǎn)二求變力所作的功例2在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹,把容器中的一個(gè)活塞（面積為S)從點(diǎn)a處推到b處，計(jì)算在移動(dòng)過(guò)程中，氣體壓力所做的功．解由物理學(xué)知識(shí)易得，壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k，即pV＝k?！遃＝xS(x指活塞與底的距離)，∴p＝eq\f（k，V)＝eq\f(k,xS）.∴作用在活塞上的力F＝p·S＝eq\f(k，xS)·S＝eq\f（k，x).∴所做的功W＝eq\i\in（a，b,)eq\f（k,x)dx＝k·lnxeq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7（b)，\s\do5（a）)))＝klneq\f(b，a）。規(guī)律方法解決變力作功注意以下兩個(gè)方面：（1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來(lái)，這是關(guān)鍵的一步．（2)根據(jù)變力作功的公式將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問(wèn)題．跟蹤演練2設(shè)有一長(zhǎng)為25cm的彈簧，若加以100N的力,則彈簧伸長(zhǎng)到30cm,解設(shè)以x表示彈簧伸長(zhǎng)的厘米數(shù),F(x)表示加在彈簧上的力，則F（x）＝kx.依題意,使彈簧伸長(zhǎng)5cm,需力100N，即100＝5k，所以k＝20，于是F(x)＝20所以彈簧伸長(zhǎng)到40cm所做的功即計(jì)算由x＝0到x＝15所做的功：W＝∫eq\o\al(15,0)20xdx＝10x2eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(15，0）)＝2250（N·cm）．1．從空中自由下落的物體，在第一秒時(shí)刻恰經(jīng)過(guò)電視塔頂，在第二秒時(shí)刻物體落地，已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度為v＝gt（g為常數(shù))，則電視塔高為（)A.eq\f（5，2）g B．eq\f(7,2）gC．eq\f(3，2）g D．2g答案C解析h＝eq\i\in（1,2，)gtdt＝eq\f(1，2）gt2eq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（\o（\s\up7（2）,\s\do5(1)）))＝eq\f（3，2)g。2．一列車(chē)沿直線軌道前進(jìn)，剎車(chē)后列車(chē)速度v（t）＝27－0.9t，則列車(chē)剎車(chē)后前進(jìn)多少米才能停車(chē) （）A．405 B．540C．810 D．945答案A解析停車(chē)時(shí)v(t）＝0,由27－0.9t＝0,得t＝30,∴s＝∫eq\o\al（30,0)v(t)dt＝∫eq\o\al(30,0）（27－0.9t)dt＝（27t－0.45t2）eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o（\s\up7(30)，\s\do5（0）)））＝405.3．（2013·湖北)一輛汽車(chē)在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車(chē)，以速度v(t）＝7－3t＋eq\f（25,1＋t)（t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．在此期間汽車(chē)?yán)^續(xù)行駛的距離（單位：m）是（)A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11，3）C．4＋25ln5 D．4＋50ln2答案C解析由v（t）＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)＝0，解得t＝4（t＝－eq\f(8,3）舍去)，所以所求的路程為eq\i\in(0，4,）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f（25，1＋t）））dt＝eq\b\lc\\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(7t－\f（3，2）t2＋25ln1＋t)）))eq\o\al(4,0)＝4＋25ln5，選C。4．一個(gè)彈簧壓縮xcm可產(chǎn)生4xN的力，把它從自然長(zhǎng)度壓縮到比自然長(zhǎng)度短5cm,解設(shè)F（x)＝kx,因?yàn)閺椈蓧嚎sxcm可產(chǎn)生4xN的力,∴k＝4?！鄰椈煽朔椓λ龅墓閃＝4eq\i\in（0,5,)xdx＝4×eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）x2)))）eq\o\al(5,0）＝50（N·cm）＝0.5（J）．1．已知變速運(yùn)動(dòng)方程，求在某段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的位移或者經(jīng)過(guò)的路程,就是求速度方程的定積分．解這類(lèi)問(wèn)題需注意三點(diǎn)：（1）分清運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化情況；(2）如果速度方程是分段函數(shù)，那么要用分段的定積分表示；（3)明確是求位移還是求路程,求位移可以正負(fù)抵消,求路程不能正負(fù)抵消．2．利用定積分求變力做功問(wèn)題，關(guān)鍵是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間．求變力做功時(shí)，要注意單位，F(xiàn)(x)單位:N，x單位:m。一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．一物體沿直線以v＝2t＋1（t的單位：s，v的單位：m/s)的速度運(yùn)動(dòng),則該物體在1～2s間行進(jìn)的路程為（)A．1m B．C．3m答案D解析s＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\i\in（1,2，)2t＋1dt＝t2＋t））eq\o\al（2，1)＝4(m）．2．一物體從A處向B處運(yùn)動(dòng)，速度為1。4tm/s（t為運(yùn)動(dòng)的時(shí)間)，到B處時(shí)的速度為35m/s，則ABA．120m B．C．360m答案B解析從A處到B處所用時(shí)間為25s．所以|AB|＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(∫\o\al(25，0)1.4tdt＝0.7t2)）eq\o\al(25，0）＝437.5(m)．3．以初速度40m/s豎直向上拋一物體，ts時(shí)速度v＝40－10t2，A。eq\f(160,3)m B．eq\f（80，3)mC．eq\f(40,3)m D．eq\f(20,3）m答案A解析v＝0時(shí)物體達(dá)到最高，此時(shí)40－10t2＝0，則t＝2s.又∵v0＝40m/s，∴t0＝0∴h＝eq\i\in（0,2,)(40－10t2)dt＝eq\b\lc\\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(40t－\f(10，3)t3)))）eq\o\al（2,0)＝eq\f（160，3)（m)．4．如果1N的力使彈簧伸長(zhǎng)1cm，在彈性限度內(nèi)，為了將彈簧拉長(zhǎng)10A．0。5J B．1JC．50J D．100J答案A解析由于彈簧所受的拉力F（x）與伸長(zhǎng)量x成正比，依題意，得F(x)＝x,為了將彈簧拉長(zhǎng)10cm，拉力所做的功為W＝∫eq\o\al(10，0)F（x)dx＝∫eq\o\al(10，0）xdx＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）x2))eq\o\al（10，0）＝50（N·cm）＝0。5（J)．5．汽車(chē)以每小時(shí)32km的速度行駛，到某處需要減速停車(chē)，設(shè)汽車(chē)以加速度a＝－1。8m/s2剎車(chē),答案21.95解析t＝0時(shí)，v0＝32km/h＝eq\f（32×1000,3600）m/s＝eq\f（80，9）m/s.剎車(chē)后減速行駛，v(t)＝v0＋at＝eq\f(80,9）－1。8t。停止時(shí)，v(t)＝0，則eq\f(80,9）－1。8t＝0，得t＝eq\f（400，81）s，所以汽車(chē)所走的距離s＝∫eq\f（400,81)0v(t)dt＝eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(80,9)t－\f(1,2）t2×1。8)））)eq\f(400，81)0≈21。95（m)．6．有一橫截面的面積為4cm2的水管控制往外流水，打開(kāi)水管后t秒末的流速為v（t)＝6t－t2(單位：cm/s)(0≤t≤6）．則t＝0到t＝答案144解析由題意可得t＝0到t＝6這段時(shí)間內(nèi)流出的水量V＝eq\i\in（0，6，）4(6t－t2)dt＝4eq\b\lc\\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\i\in（0,6,)6t－t2dt＝4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3t2－\f（1，3)t3）)））eq\o\al（6,0）＝144（cm3）．故t＝0到t＝6這段時(shí)間內(nèi)流出的水量為144cm3。7．一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其v－t曲線如圖所示，求該物體在eq\f（1,2)s~6s間的運(yùn)動(dòng)路程．解由題意,得v(t)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2t0≤t≤1，,21≤t≤3，,\f(1,3)t＋13≤t≤6,)）由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得：s＝eq\i\in（,6，)eq\f（1，2)v（t)dt＝eq\i\in（，1,）eq\f(1,2)2tdt＋eq\i\in(1，3，)2dt＋eq\i\in（3,6，)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，3)t＋1）)dt＝t2eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（\o(\s\up7（1)，\s\do5（\f（1,2）））＋2t））eq\o\al(3，1)＋eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,6）t2＋t)））)eq\o\al(6,3）＝eq\f（49，4）(m）．所以該物體在eq\f(1，2)s～6s間的運(yùn)動(dòng)路程是eq\f(49,4）m.二、能力提升8．一物體在力F（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（100≤x≤2,3x＋4x〉2））(單位:N）的作用下沿與力F相同的方向，從x＝0處運(yùn)動(dòng)到x＝4（單位:m)處,則力F(x）做的功為(）A．44J B．46JC．48J D．50J答案B解析W＝eq\i\in(0,4,）F（x）dx＝eq\i\in（0,2，)10dx＋eq\i\in（2，4，）(3x＋4）dx＝10xeq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(2)，\s\do5（0））＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3，2)x2＋4x))））eq\o\al(4，2)＝46（J）．9．做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在任意位置x處，所受的力F（x）＝1＋ex,則質(zhì)點(diǎn)沿著與F(x）相同的方向，從點(diǎn)x1＝0處運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)x2＝1處，力F（x)所做的功是()A．1＋e B．eC．eq\f（1,e) D．e－1答案B解析W＝eq\i\in（0，1，）F(x)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1（\i\in(0，1，）1＋exdx＝x＋ex)）eq\o\al（1，0）＝(1＋e)－1＝e.10．如圖所示，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm處，則克服彈簧力所做的功為_(kāi)_______．答案eq\f（1,2)kl2(J）解析在彈性限度內(nèi)，拉伸（壓縮）彈簧所需的力與彈簧拉伸（壓縮）的長(zhǎng)度成正比,即F(x）＝kx，其中k為比例系數(shù)．由變力做功公式得W＝eq\b\lc\\rc\|（\a\vs4\al\co1（\i\in(0,l，）kxdx＝\f(1,2)kx2）)eq\o\al（l，0）＝eq\f（1,2）kl2(J)．11．一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運(yùn)動(dòng)，其中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離,媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方，試求物體由x＝0運(yùn)動(dòng)到x＝a時(shí),阻力所做的功．解物體的速度v＝x′（t)＝(bt3）′＝3bt2，媒質(zhì)的阻力F阻＝kv2＝k·（3bt2)2＝9kb2t4(其中k為比例常數(shù)，k>0）．當(dāng)x＝0時(shí)，t＝0；當(dāng)x＝a時(shí),t＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(a,b))）eq\f(1,3)。所以阻力所做的功為W阻＝eq\i\in(0,a，)F阻dx＝∫eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a,b）)）eq\f（1,3)0kv2·vdt＝∫eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a,b))）eq\f（1，3)09kb2t4·3bt2dt＝∫eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a,b）)）eq\f(1,3）027kb3t6dt＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f（27，7)kb3t7)）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a，b)）)eq\f（1,3）0＝eq\f（27,7)kbeq\f（2，3）·aeq\f(7，3）。12．物體A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直線上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)物體B也以速度vB＝10t(米/秒）在同一直線上與物體A同方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)多長(zhǎng)