2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.1向量的加法學(xué)案4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2．1向量的加法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義。2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律,并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運算律的合理性．知識點一向量加法的定義及其運算法則分析下列實例:(1）飛機從廣州飛往上海，再從上海飛往北京(如圖)，這兩次位移的結(jié)果與飛機從廣州直接飛往北京的位移是相同的．（2)有兩條拖輪牽引一艘輪船,它們的牽引力分別是F1＝3000N，F(xiàn)2＝2000N，牽引繩之間的夾角為θ＝60°(如圖）,如果只用一條拖輪來牽引，也能產(chǎn)生跟原來相同的效果． 思考1從物理學(xué)的角度來講，上面實例中位移、牽引力說明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運算？思考2上述實例中位移的和運算、力的和運算分別用了什么法則?梳理(1）向量加法的定義求________________的運算，叫作向量的加法．(2)向量加法的法則三角形法則已知向量a，b，在平面上任取一點A，作eq\o(AB，\s\up6(→））＝a,eq\o(BC，\s\up6(→)）＝b，再作向量eq\o（AC，\s\up6(→))，則向量eq\o(AC，\s\up6（→））叫作向量a與b的和，記作________，即a＋b＝eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o（BC，\s\up6(→)）＝________平行四邊形法則已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A,作eq\o（AB,\s\up6（→）)＝a，eq\o(AD，\s\up6（→））＝b，再作平行于eq\o（AD，\s\up6(→）)的eq\o（BC,\s\up6(→）)＝b，連接DC，則四邊形ABCD為平行四邊形．向量eq\o（AC，\s\up6(→））叫作向量a與b的和,表示為______＝a＋b向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實際上就是向量加法的幾何意義．知識點二向量加法的運算律思考1實數(shù)加法有哪些運算律？思考2根據(jù)圖中的平行四邊形ABCD，驗證向量加法是否滿足交換律．(注：eq\o(AB，\s\up6（→））＝a，eq\o（AD，\s\up6(→)）＝b)思考3根據(jù)圖中的四邊形ABCD，驗證向量加法是否滿足結(jié)合律．（注:eq\o（AB，\s\up6（→))＝a，eq\o(BC，\s\up6（→））＝b，eq\o(CD，\s\up6（→)）＝c)梳理向量加法的運算律交換律a＋b＝________結(jié)合律(________)＋c＝a＋(________）類型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則例1如圖(1）（2），已知向量a，b,c，求作向量a＋b和a＋b＋c。（1）（2）反思與感悟向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：(1)三角形法則中強調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強調(diào)的是“共起點"．(2)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和．聯(lián)系:(1）當(dāng)兩個向量不共線時,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的．（2）三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，O為正六邊形ABCDEF的中心，化簡下列向量．（1)eq\o（OA，\s\up6(→）)＋eq\o（OC，\s\up6（→）)＝________;（2）eq\o(BC，\s\up6（→））＋eq\o（FE，\s\up6（→）)＝________；(3)eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o（FE，\s\up6(→）)＝________.類型二向量加法運算律的應(yīng)用例2化簡:（1)eq\o(BC，\s\up6（→))＋eq\o（AB,\s\up6(→）);(2)eq\o（DB,\s\up6(→）)＋eq\o(CD，\s\up6（→）)＋eq\o(BC,\s\up6(→）)；（3)eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（DF,\s\up6(→）)＋eq\o（CD，\s\up6（→）)＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＋eq\o（FA,\s\up6（→）).反思與感悟（1)根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接,再運用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順序后相加．（2）向量求和的多邊形法則：eq\o(A1A2，\s\up6（→））＋eq\o（A2A3,\s\up6(→)）＋eq\o（A3A4,\s\up6(→)）＋…＋An－1An＝eq\o（A1An,\s\up6（→））.特別地，當(dāng)An和A1重合時，eq\o(A1A2，\s\up6（→））＋eq\o（A2A3，\s\up6(→））＋eq\o(A3A4，\s\up6（→))＋…＋An－1A1＝0.跟蹤訓(xùn)練2已知正方形ABCD的邊長等于1，則｜eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o(AD,\s\up6（→))＋eq\o（BC,\s\up6(→）)＋eq\o(DC,\s\up6(→）)|＝________.類型三向量加法的實際應(yīng)用例3在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對岸，求船行進(jìn)的方向．引申探究1．若本例中條件不變，則經(jīng)過1h，該船的實際航程是多少?2．若本例中其他條件不變，改為若船沿垂直水流的方向航行，求船實際行進(jìn)的方向與岸方向的夾角的正切值．反思與感悟向量既有大小又有方向的特性在實際生活中有很多應(yīng)用，準(zhǔn)確作出圖像是解題關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上,∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大?。?繩子的重量忽略不計)1.如圖，在正六邊形ABCDEF中,eq\o(BA，\s\up6(→）)＋eq\o（CD,\s\up6（→)）＋eq\o(EF,\s\up6（→））等于（)A．0 B。eq\o(BE，\s\up6(→))C.eq\o（AD,\s\up6(→）） D。eq\o(CF,\s\up6(→)）2。如圖,D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點，則下列等式中錯誤的是（）A。eq\o（FD,\s\up6（→)）＋eq\o(DA，\s\up6（→))＋eq\o（DE，\s\up6(→))＝0B.eq\o（AD，\s\up6（→))＋eq\o(BE，\s\up6（→）)＋eq\o（CF，\s\up6（→））＝0C.eq\o（FD,\s\up6（→))＋eq\o（DE,\s\up6(→）)＋eq\o（AD,\s\up6(→))＝eq\o（AB，\s\up6（→)）D.eq\o（AD,\s\up6（→）)＋eq\o(EC,\s\up6（→)）＋eq\o（FD，\s\up6（→))＝eq\o（BD，\s\up6（→))3．（eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（MB,\s\up6（→））)＋(eq\o(BO,\s\up6（→))＋eq\o（BC,\s\up6(→))）＋eq\o（OM,\s\up6(→))等于（)A.eq\o（BC,\s\up6（→)) B.eq\o(AB,\s\up6（→)）C。eq\o(AC，\s\up6（→）) D。eq\o(AM,\s\up6(→))4.如圖所示，在四邊形ABCD中,eq\o(AC，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o(AD，\s\up6（→）），則四邊形為(）A．矩形B．正方形C．平行四邊形D．菱形5．小船以10eq\r(3)km/h的靜水速度沿垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為10km/h，則小船的實際航行速度的大小為________km/h.1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法,兩個法則是統(tǒng)一的，當(dāng)兩個向量首尾相連時常選用三角形法則，當(dāng)兩個向量共起點時，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個向量的加法運算時,可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行．3．在使用向量加法的三角形法則時要特別注意“首尾相接”．和向量的特征是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點．向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫成0，而不應(yīng)寫成0。

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1后面的一次位移叫作前面兩次位移的合位移，四邊形OACB的對角線eq\o(OC,\s\up6(→))表示的力是eq\o(OA，\s\up6(→）)與eq\o(OB,\s\up6(→)）表示的力的合力．體現(xiàn)了向量的加法運算．思考2三角形法則和平行四邊形法則．梳理(1）兩個向量和(2)a＋beq\o(AC,\s\up6(→）)eq\o(AC，\s\up6(→）)知識點二思考1交換律和結(jié)合律．思考2∵eq\o（AC,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BC,\s\up6（→))，∴eq\o(AC,\s\up6（→））＝a＋b?！遝q\o(AC,\s\up6(→））＝eq\o（AD,\s\up6（→)）＋eq\o(DC，\s\up6(→）)，∴eq\o（AC,\s\up6(→）)＝b＋a?！郺＋b＝b＋a.思考3∵eq\o（AD，\s\up6(→）)＝eq\o(AC，\s\up6（→）)＋eq\o（CD，\s\up6(→))＝(eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6（→)))＋eq\o（CD,\s\up6（→)），∴eq\o（AD,\s\up6（→））＝（a＋b)＋c，又∵eq\o（AD，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o（BD，\s\up6（→））＝eq\o（AB，\s\up6（→)）＋(eq\o(BC，\s\up6（→))＋eq\o(CD,\s\up6（→))),∴eq\o（AD,\s\up6（→）)＝a＋(b＋c)，∴(a＋b）＋c＝a＋(b＋c）．梳理b＋aa＋bb＋c題型探究例1解(1）作法：在平面內(nèi)任意取一點O，作eq\o(OA,\s\up6（→)）＝a，eq\o(AB，\s\up6（→））＝b,則eq\o(OB，\s\up6(→）)＝a＋b.(2)在平面內(nèi)任意取一點O，作eq\o(OA，\s\up6（→))＝a，eq\o（AB,\s\up6（→)）＝b，eq\o(BC，\s\up6(→)）＝c,則eq\o(OC，\s\up6(→）)＝a＋b＋c.跟蹤訓(xùn)練1（1）eq\o（OB，\s\up6（→))（2）eq\o（AD,\s\up6（→))(3）0例2解（1）eq\o(BC，\s\up6(→）)＋eq\o(AB，\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC，\s\up6(→)）＝eq\o（AC，\s\up6（→）)。(2)eq\o(DB,\s\up6（→）)＋eq\o(CD，\s\up6（→））＋eq\o(BC,\s\up6（→))＝eq\o（BC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→）)＋eq\o（DB，\s\up6(→))＝(eq\o（BC,\s\up6（→)）＋eq\o(CD，\s\up6（→)))＋eq\o（DB，\s\up6（→))＝eq\o（BD，\s\up6(→））＋eq\o(DB，\s\up6(→))＝0。(3）eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(DF，\s\up6（→）)＋eq\o(CD，\s\up6（→))＋eq\o（BC，\s\up6(→))＋eq\o（FA，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6(→））＋eq\o（BC，\s\up6（→）)＋eq\o(CD,\s\up6(→）)＋eq\o（DF，\s\up6（→）)＋eq\o(FA，\s\up6(→）)＝eq\o(AC，\s\up6(→）)＋eq\o(CD,\s\up6（→)）＋eq\o(DF,\s\up6（→））＋eq\o(FA，\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6(→)）＋eq\o（DF,\s\up6(→））＋eq\o（FA，\s\up6（→)）＝eq\o（AF，\s\up6(→))＋eq\o（FA，\s\up6(→）)＝0。跟蹤訓(xùn)練22eq\r(2）例3解作出圖形，如圖所示．船速v船與岸的方向成α角，由圖可知v水＋v船＝v實際，結(jié)合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形．在Rt△ACD中，|eq\o（CD,\s\up6(→））|＝｜eq\o(AB,\s\up6（→））｜＝｜v水｜＝10m/min,|eq\o(AD，\s\up6（→）)|＝|v船｜＝20m/min,∴cosα＝eq\f（|\o(CD,\s\up6（→))|，｜A\o（D,\s\up6(→）)｜)＝eq\f(10，20）＝eq\f(1,2),∴α＝60°，從而船與水流方向成120°的角．∴船是沿與水流的方向成120°的角的方向行進(jìn)．引申探究1．解由例3知v船＝20m/min，v實際＝20×sin60°＝10eq\r(3)（m/min）,故該船1h行駛的航程為10eq\r（3）×60＝600eq\r(3)（m）＝eq\f(3\r(3）,5)(km）．2．解