2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章概率1離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE22學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量的含義。2.掌握離散型隨機(jī)變量的表示方法和性質(zhì)。3.會(huì)求簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列．知識(shí)點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量思考1①擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);②在一塊地里種下8顆樹苗，成活的棵數(shù)．以上兩個(gè)現(xiàn)象有何特點(diǎn)?思考2拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果，這種試驗(yàn)結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？梳理(1）隨機(jī)變量將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測(cè)）的每一個(gè)可能的結(jié)果都對(duì)應(yīng)于________，這種________稱為一個(gè)隨機(jī)變量,通常用大寫的英文字母如X，Y來(lái)表示．(2）離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能夠__________，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．知識(shí)點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列思考擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)為X,則X可取哪些數(shù)字？X取不同的值時(shí)，其概率分別是多少？你能用表格表示X與P的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？梳理（1)離散型隨機(jī)變量的分布列的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1，a2，…隨機(jī)變量X取ai的概率為pi(i＝1,2，…)，記作：P（X＝ai）＝________（i＝1，2，…)，①或把上式列成表為X＝aia1a2…P（X＝ai）____________…上表或①式稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)①____________.②____________.類型一隨機(jī)變量的概念例1寫出下列各隨機(jī)變量可能的取值，并說明隨機(jī)變量所取的值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)從一個(gè)裝有編號(hào)為1號(hào)到10號(hào)的10個(gè)球的袋中，任取1球，被取出的球的編號(hào)為X；（2）一個(gè)袋中裝有10個(gè)紅球,5個(gè)白球，從中任取4個(gè)球，其中所含紅球的個(gè)數(shù)為X；（3）投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X。引申探究若將本例（3)的條件改為拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為X，試求X的集合，并說明“X〉4”表示的試驗(yàn)結(jié)果．反思與感悟解答此類問題的關(guān)鍵在于明確隨機(jī)變量所有可能的取值，以及取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的意義，即隨機(jī)變量的一個(gè)取值可能對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，解答過程不要漏掉某些試驗(yàn)結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練1下列是離散型隨機(jī)變量的是（）A．某工廠加工的某種鋼管，外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差XB．將一枚硬幣拋擲三次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)XC．拋擲一枚六個(gè)面都是六個(gè)點(diǎn)的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)XD．某人上班路上所花的時(shí)間X類型二利用分布列的性質(zhì)求事件概率例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝eq\f(k,5）)＝ak（k＝1,2，3,4，5)．(1)求常數(shù)a的值；（2)求P（X≥eq\f（3,5)）；(3）求P（eq\f(1,10）<X〈eq\f（7,10)）．反思與感悟利用分布列及其性質(zhì)解題時(shí)要注意兩個(gè)問題：(1)X的各個(gè)取值表示的事件是互斥的．(2）不僅要注意eq\i\su(i＝1,n，p)i＝1，而且要注意pi≥0,i＝1，2，…,n.跟蹤訓(xùn)練2（1）下面是某同學(xué)求得的離散型隨機(jī)變量X的分布列．X－101Peq\f（1,2)eq\f(1，4)eq\f(1，6）試說明該同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是否正確;（2）設(shè)ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為ξ－101Peq\f（1,2)1－2qq2①求q的值；②求P（ξ<0），P（ξ≤0）．類型三求離散型隨機(jī)變量的分布列命題角度1利用兩隨機(jī)變量的關(guān)系求分布列例3已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－2－10123Peq\f（1，12）eq\f(1,4）eq\f(1，3)eq\f（1，12)eq\f(1,6）eq\f(1,12）分別求出隨機(jī)變量η1＝eq\f(1，2）ξ，η2＝ξ2的分布列．反思與感悟若隨機(jī)變量X，Y滿足關(guān)系式Y(jié)＝f(X），則可由X的取值情況得出Y的取值情況，即可以把X的取值看成定義域，Y的取值看成值域，即可根據(jù)X的分布列,得出Y的分布列．跟蹤訓(xùn)練3已知隨機(jī)變量X的分布列為X12…n…Peq\f（1,2）eq\f(1,22)…eq\f（1,2n)…求隨機(jī)變量Y＝sineq\f(π,2)X的分布列．命題角度2利用排列組合求分布例4袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為eq\f（1，7），現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取,乙后取，然后甲再取，……,取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù)．(1）求袋中原有的白球的個(gè)數(shù);(2)求隨機(jī)變量ξ的分布列．引申探究若本例條件不變，試求甲取到白球的概率．反思與感悟求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟(1）明確隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義．（2)利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率．（3）按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證．跟蹤訓(xùn)練4北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮．現(xiàn)有8個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表:福娃名稱貝貝晶晶歡歡迎迎妮妮數(shù)量12311從中隨機(jī)地選取5只．(1)求選取的5只恰好組成完整的“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”的概率;(2）若完整的選取奧運(yùn)會(huì)吉祥物記100分；若選出的5只中僅差一種記80分；差兩種記60分；以此類推，設(shè)X表示所得的分?jǐn)?shù)，求X的分布列．1．下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①某高速公路上某收費(fèi)站在未來(lái)1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量；②一個(gè)沿直線y＝x進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置Y是一個(gè)隨機(jī)變量;③某網(wǎng)站未來(lái)1小時(shí)內(nèi)的點(diǎn)擊量；④一天內(nèi)的溫度η.其中是離散型隨機(jī)變量的為（）A．①② B．③④C．①③ D．②④2．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（|X｜＝1)等于(）X－101PabcA.eq\f（1,3）B.eq\f（1,4）C。eq\f（1，2）D。eq\f(2，3）3．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表（其中a為常數(shù)）:X01234P0.10.20.40.2a則下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（)A．a(chǎn)＝0.1B．P（X≥2)＝0.7C．P(X≥3）＝0。4D．P(X≤1)＝0。34．某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P（ξ＝1）＝________。5．將一顆骰子擲兩次,求兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)ξ的分布列．1．隨機(jī)變量X是關(guān)于試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)，即每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)；隨機(jī)變量X的線性組合Y＝aX＋b(a，b是常數(shù)）也是隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量X的分布列實(shí)質(zhì)上就是隨機(jī)變量X與這一變量所對(duì)應(yīng)的概率P的分布表,它從整體上反映了隨機(jī)變量各個(gè)值的可能性的大小，反映了隨機(jī)變量取值的規(guī)律．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1各現(xiàn)象的結(jié)果都可以用數(shù)表示．思考2可以，可用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上．梳理(1)一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)(2）一一列舉出來(lái)知識(shí)點(diǎn)二思考x＝1，2，3,4,5,6，概率均為eq\f(1，6）.X123456Peq\f（1,6)eq\f（1,6)eq\f（1，6）eq\f(1，6）eq\f(1,6）eq\f（1,6)梳理（1)pip1p2（2)①pi>0②p1＋p2＋…＝1題型探究例1解（1)X的可能取值為1，2,3，…,10，X＝k(k＝1，2,…,10）表示取出第k號(hào)球．(2)X的可能取值為0,1,2，3，4.X＝k表示取出k個(gè)紅球，（4－k）個(gè)白球,其中k＝0，1，2，3，4.(3）X的可能取值為2，3,4,…，12。若以（i，j)表示投擲甲、乙兩枚骰子后，骰子甲得i點(diǎn)，且骰子乙得j點(diǎn)，則X＝2表示(1，1)；X＝3表示（1,2），（2,1）；X＝4表示（1,3）,(2，2),（3，1)；…；X＝12表示（6，6）．引申探究解設(shè)第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為x，第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)為y，其中x，y＝1，2，3,4,5,6.依題意得X＝x－y.則－5≤X≤5，即X的集合為{－5，－4，－3，－2，－1,0，1,2，3,4，5}．則X〉4?X＝5，表示x＝6，y＝1,即第一枚骰子擲出6點(diǎn)，第二枚骰子擲出1點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練1B例2解(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f(1,15）。（2）∵P（X＝eq\f（k，5）)＝eq\f(1,15）k（k＝1，2,3,4，5)，∴P(X≥eq\f（3，5）)＝P（X＝eq\f(3,5))＋P(X＝eq\f（4,5))＋P（X＝1)＝eq\f（3,15)＋eq\f（4，15）＋eq\f(5,15）＝eq\f(4，5）。（3）當(dāng)eq\f（1,10）〈X<eq\f(7，10）時(shí)，只有X＝eq\f(1，5)，eq\f（2，5），eq\f(3，5）時(shí)滿足，故P(eq\f(1，10）〈X〈eq\f(7,10)）＝P(X＝eq\f(1，5))＋P(X＝eq\f(2，5))＋P（X＝eq\f（3,5））＝eq\f(1,15)＋eq\f（2,15)＋eq\f(3，15）＝eq\f（2，5).跟蹤訓(xùn)練2解(1)因?yàn)镻（X＝－1)＋P（X＝0）＋P(X＝1）＝eq\f(1，2）＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f（11,12），不滿足概率之和為1的性質(zhì)，因而該同學(xué)的計(jì)算結(jié)果不正確．(2）①由分布列的性質(zhì)，得1－2q≥0，q2≥0，eq\f(1，2）＋(1－2q）＋q2＝1，所以q＝1－eq\f（\r(2）,2）。②P(ξ<0）＝P(ξ＝－1)＝eq\f（1，2)，P(ξ≤0)＝P（ξ＝－1）＋P(ξ＝0）＝eq\f（1,2)＋1－2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2）,2）))＝eq\r（2）－eq\f(1，2）.例3解由η1＝eq\f(1，2）ξ知，對(duì)于ξ取不同的值－2，－1，0，1,2,3時(shí),η1的值分別為－1,－eq\f(1，2)，0,eq\f(1，2），1，eq\f(3,2),所以η1的分布列為η1－1－eq\f(1,2）0eq\f（1,2)1eq\f（3,2）Peq\f（1，12)eq\f（1，4)eq\f(1,3）eq\f(1,12)eq\f(1，6)eq\f(1，12）由η2＝ξ2知,對(duì)于ξ的不同取值－2，2及－1,1，η2分別取相同的值4與1，即η2取4這個(gè)值的概率應(yīng)是ξ?。?與2的概率eq\f（1,12）與eq\f（1,6）的和，η2取1這個(gè)值的概率應(yīng)是ξ?。?與1的概率eq\f(1，4）與eq\f（1，12）的和，所以η2的分布列為η20149Peq\f（1,3)eq\f（1,3）eq\f（1，4）eq\f(1,12）跟蹤訓(xùn)練3解由Y＝sineq\f(π，2)X,得Y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－1X＝4k＋3，k∈N，,0X＝2k，k∈N＋，，1X＝4k＋1,k∈N.))P(Y＝－1）＝P(X＝3）＋P（X＝7）＋P(X＝11）＋…＝eq\f(1,23)＋eq\f（1，27)＋eq\f（1，211)＋…＝eq\f（2,15），P（Y＝0）＝P(X＝2）＋P(X＝4)＋P（X＝6）＋…＝eq\f(1，22)＋eq\f(1，24）＋eq\f(1,26）＋…＝eq\f(1,3），P（Y＝1)＝P（X＝1)＋P(X＝5）＋P(X＝9）＋…＝eq\f(1,2)＋eq\f（1,25）＋eq\f(1，29）＋…＝eq\f(8，15）.所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y－101Peq\f（2，15）eq\f（1,3)eq\f(8,15)例4解（1）設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知eq\f(1，7)＝eq\f(C\o\al(2，n)，C\o\al（2，7))＝eq\f(\f(nn－1,2），\f(7×6,2）)＝eq\f（nn－1,7×6),可得n＝3或n＝－2（舍去），即袋中原有3個(gè)白球．（2）由題意，ξ的可能取值為1，2，3，4，5。P(ξ＝1)＝eq\f（3，7）;P(ξ＝2）＝eq\f(4×3，7×6）＝eq\f(2，7），P（ξ＝3）＝eq\f（4×3×3，7×6×5）＝eq\f（6,35），P（ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f（3，35)，P(ξ＝5）＝eq\f(4×3×2×1×3，7×6×5×4×3）＝eq\f（1，35）.所以ξ的分布列為ξ12345Peq\f（3,7）eq\f（2,7）eq\f(6,35）eq\f（3，35）eq\f（1，35)引申探究解因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，記“甲取到白球”為事件A，則P（A)＝P(ξ＝1)＋P（ξ＝3）＋P(ξ＝5)＝eq\f(22,35）。跟蹤訓(xùn)練4解(1)選取的5只恰好組成完整的“奧運(yùn)會(huì)吉祥物”的概率P＝eq\f(C\o\al（1,2）·C\o\al（1,3),C\o\al(5，8））＝eq\f（6，56）＝eq\f(3，28).（2)X的取值為100，80，60,40.P(X＝100）＝eq\f(C\o\al(1，2）·C\o\al(1，3）,C\o\al(5,8）)＝eq\f（3，28)，P(X＝80）＝eq\f（C\o\al（2,3）C\o\al（2，2)·C\o\al（1,3)＋C\o\al（1，2）·C\o\al（2,3）＋C\o\al（3，3）C\o\al（2,2)＋C\o\al（2,3），C\o\al(5，8）)＝eq\f(31，56)，P(X＝60)＝eq\f(C\o\al(1,3）C\o\al（2，2)·C\o\al(2，3）＋C\o\al（1,2)·C\o\al(3,3）＋C\o\al(2，3)·C\o\al（3，3），C\o\al（5,8））＝eq\f(18，56)＝eq\f（9,28),P(X＝40)＝eq\f(C\o\al（2，2）·C\o\al