勾股定理的6種最常用證明方法

3/3勾股定理的常用證明方法【證法1】（課本的證明）

做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a+b，所以面積相等.即，整理得.【證法2】（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于.∴.∴.【證法3】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一個直角梯形，它的面積等于.∴.∴.【證法4】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.∴∠HEF=180o―90o=90o.∴四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD是一個邊長為a+b的正方形，它的面積等于.∴.∴.

【證法5】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積∴，即.

【證法6】（辛卜松證明）

設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成