第12章 力矩分配法

彎矩分配法基本思想

彎矩分配法:是基于位移法的逐步逼近精確解的近似方法。適用條件：單獨(dú)使用時(shí)只能用于無側(cè)移（線位移）的結(jié)構(gòu)。以圖示具體例子加以說明按位移法求解時(shí)，可得下頁所示結(jié)果彎矩分配法基本思想k11F1P代入位移法方程得：利用疊加法求最后的桿端彎矩:彎矩分配法基本思想結(jié)點(diǎn)力偶可按如下系數(shù)分配、傳遞到桿端即那么如果外荷載不是結(jié)點(diǎn)力偶，情況又如何呢？彎矩分配法基本思想則最終桿端彎矩為：為進(jìn)一步推廣，先引進(jìn)一些基本名詞的定義。

位移法求解如圖所示，相當(dāng)于荷載作用下的結(jié)果疊加C點(diǎn)集中力偶M為MM基本名詞定義轉(zhuǎn)動(dòng)剛度：AB桿僅當(dāng)A端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)動(dòng)（正方向）時(shí)，A端所施加的桿端彎矩，稱為AB桿A端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，記作SAB。A端一般稱為近端（本端），B端一般稱為遠(yuǎn)端（它端）。對等直桿，由形常數(shù)可知SAB只與B端的支撐條件有關(guān)。三種基本單跨梁的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分別為不平衡力矩：結(jié)構(gòu)無結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移時(shí)，交匯于A結(jié)點(diǎn)各桿固端彎矩的代數(shù)和，稱為A結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩。顯然，A結(jié)點(diǎn)各桿的分配系數(shù)總和恒等于1。

分配系數(shù)：結(jié)構(gòu)交匯于A結(jié)點(diǎn)各桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度總和分之某桿該端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，稱為該桿A結(jié)點(diǎn)的分配系數(shù)。它可由位移法三類桿件的載常數(shù)求得。例如交匯于A結(jié)點(diǎn)的n桿中第i桿A結(jié)點(diǎn)的分配系數(shù)為分配力矩：將A結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩改變符號(hào)，乘以交匯于該點(diǎn)各桿的分配系數(shù)，所得到的桿端彎矩稱為該點(diǎn)各桿的分配力矩（分配彎矩）。顯然，傳遞系數(shù)也僅與遠(yuǎn)端約束有關(guān)。傳遞系數(shù)：三類位移法基本桿件AB，當(dāng)僅其一端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角位移時(shí)，遠(yuǎn)端的桿端彎矩和近端的桿端彎矩的比值，稱為該桿的傳遞系數(shù)，記作CAB。例如對位移法三類等直桿傳遞力矩：將A結(jié)點(diǎn)的分配力矩乘以傳遞系數(shù)，所得到的桿端彎矩稱為該點(diǎn)遠(yuǎn)端的傳遞力矩（傳遞彎矩）。對于僅一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移的結(jié)構(gòu)，應(yīng)用上述名詞，本質(zhì)是位移法的求解也可看成是先固定結(jié)點(diǎn)，由固端彎矩獲得結(jié)點(diǎn)不平衡力矩；最終桿端彎矩：桿端固端彎矩、全部分配彎矩和傳遞彎矩的代數(shù)和即為該桿端的最終桿端彎矩。這種直接求桿端彎矩，區(qū)段疊加作M圖的方法即為彎矩分配法。然后用分配系數(shù)求桿端分配彎矩；接著用傳遞系數(shù)求傳遞彎矩；最后計(jì)算桿端最終桿端彎矩。彎矩分配法的物理概念單結(jié)點(diǎn)分配

設(shè)有如圖所示單結(jié)點(diǎn)(位移)結(jié)構(gòu)。首先鎖定結(jié)點(diǎn)使無位移。由載常數(shù)可獲得AC、CB桿的固端彎矩，此時(shí)附加剛臂上產(chǎn)生不平衡力矩。放松結(jié)點(diǎn)(反向加不平衡力矩)使產(chǎn)生實(shí)際結(jié)點(diǎn)位移，此時(shí)可分配和傳遞計(jì)算分配和傳遞彎矩。因此桿端最終彎矩由固端彎矩和分配彎矩（或傳遞彎矩）相加得到，這時(shí)結(jié)果是精確解。最后累加固端、分配和傳遞得結(jié)果。多結(jié)點(diǎn)(位移)分配

對多結(jié)點(diǎn)(位移)結(jié)構(gòu)，彎矩分配法的思路是：首先將全部結(jié)點(diǎn)鎖定，然后從不平衡力矩最大的一結(jié)點(diǎn)開始，在鎖定其他結(jié)點(diǎn)條件下放松該結(jié)點(diǎn)使其達(dá)到“平衡”(包括分配和傳遞)。

接著重新鎖定該結(jié)點(diǎn)，放松不平衡力矩次大的結(jié)點(diǎn)，如此一輪一輪逐點(diǎn)放松，直至不平衡力矩小到可忽略。鎖定結(jié)果和放松結(jié)果疊加，結(jié)點(diǎn)達(dá)到平衡、產(chǎn)生實(shí)際結(jié)點(diǎn)位移，這就是位移法的結(jié)果。分配和傳遞可從任意一點(diǎn)開始，前述從不平衡力矩最大點(diǎn)開始，經(jīng)驗(yàn)證明這樣可加速收斂。由彎矩分配法思路可知，對多結(jié)點(diǎn)問題它是一種逐漸逼近精確解的近似方法。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般只進(jìn)行二、三輪的分配和傳遞(考試只進(jìn)行二輪即可)。因?yàn)榉峙湎禂?shù)小于1，傳遞系數(shù)也小于1(因?yàn)槎ㄏ蛑ё幉环峙?，因此一輪分配、傳遞后，新的不平衡力矩一定比原來的小，理論上經(jīng)過無限次分配、傳遞結(jié)構(gòu)一定達(dá)到平衡，也即可以獲得問題的精確解。例12-1：試求作圖示連續(xù)梁的M圖。EI等于常數(shù)，l1=3

m,l2=5

m。（只計(jì)算二輪）解：鎖定B、C、D三結(jié)點(diǎn)，由載常數(shù)可得圖示固端彎矩。對此鎖定結(jié)構(gòu)，由形常數(shù)可求得分配系數(shù)為：彎矩分配法舉例將分配、傳遞系數(shù)如圖標(biāo)于結(jié)點(diǎn)和