數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)設(shè)計(jì) 3

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)設(shè)計(jì)1

所謂“問(wèn)題”，就意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，以達(dá)到一個(gè)可見而不立即可及的目標(biāo)。

——波利亞（美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家）

問(wèn)題的含義問(wèn)題是對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒(méi)有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解決問(wèn)題情境。

——第六屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-6）2

問(wèn)題的特征不穩(wěn)定性（問(wèn)題性）

系統(tǒng)（S,R）即問(wèn)題，若構(gòu)成R的諸要素中至少有一個(gè)是S不知道的。其中，S表示人，R表示集合或系統(tǒng)。障礙性不能順利實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程。問(wèn)題的障礙性構(gòu)成了對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)或思維的挑戰(zhàn)。

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對(duì)小學(xué)生而言，它是一個(gè)問(wèn)題。

對(duì)于一個(gè)高中生來(lái)說(shuō)，它并非如此。對(duì)于未學(xué)過(guò)二次函數(shù)知識(shí)、或從未解決過(guò)類似問(wèn)題的學(xué)生而言，會(huì)感到困難；

有過(guò)類似解題經(jīng)驗(yàn)，或?qū)W習(xí)了二次函數(shù)的知識(shí)的學(xué)生，稍作分析即可解決問(wèn)題。問(wèn)題的特征相對(duì)性

x2=2求“拋出去的鉛球在到達(dá)其最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度”4

數(shù)學(xué)問(wèn)題的含義及分類數(shù)學(xué)問(wèn)題：以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)慨念、理論或方法才能解決的問(wèn)題。

純數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題常規(guī)問(wèn)題非常規(guī)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題5

結(jié)構(gòu)良好的問(wèn)題構(gòu)成問(wèn)題的各種成分對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)都是確定的。如對(duì)一名高三學(xué)生來(lái)說(shuō)，解方程2x2+3x-7=0，是一個(gè)結(jié)構(gòu)良好的問(wèn)題。

結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題

構(gòu)成問(wèn)題的各種成分對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不都是完全確定的。

張、王、李三人分別擲5個(gè)石子，結(jié)構(gòu)如下圖所示，規(guī)定所投石子“散度”（分散程度）最小者為優(yōu)勝。請(qǐng)選出優(yōu)勝者。數(shù)學(xué)問(wèn)題的含義及分類按問(wèn)題的結(jié)構(gòu)分

．．．．．．．．．．．．．．．張王李6

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決即數(shù)學(xué)地解決一個(gè)初次遇到的新問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的含義數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的概念

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決與解題

解題：通常指解答習(xí)題。

解題的實(shí)質(zhì)解題指的是找到一種一般的數(shù)學(xué)原理（定義、公理、定理、法則、定律、公式）或條件的推論（中間結(jié)果），通過(guò)一定的程序得到習(xí)題所要求的答案。問(wèn)題解決與解題的相互關(guān)系解題是一種基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)，但解題不能與問(wèn)題解決劃等號(hào)。7

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)活動(dòng)模式創(chuàng)設(shè)情境提出問(wèn)題弄清問(wèn)題制定計(jì)劃執(zhí)行計(jì)劃總結(jié)回顧分析問(wèn)題將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化建立數(shù)學(xué)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題交流反饋多元評(píng)價(jià)內(nèi)化提高8案例：“一元一次不等式（組）、方程與函數(shù)的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)

（本案例根據(jù)貴州師大附中袁濤老師的課堂實(shí)錄改編）9

教數(shù)學(xué)就必須教相互連貫的材料，而不是孤立的片段。

——H·弗賴登塔爾

H.弗賴登塔爾

（1905-1991）重要觀點(diǎn)10圖貴州師大附中袁濤老師的交流課11

在這節(jié)課中，教師將學(xué)生在初中階段所學(xué)的刻畫現(xiàn)實(shí)世界中有關(guān)量與量之間變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型：一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式聯(lián)系到了一起。通過(guò)問(wèn)題解決教學(xué)，既讓學(xué)生體會(huì)到了三者內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，又體會(huì)到三者在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的作用，并建立起相關(guān)知識(shí)與其具體的現(xiàn)實(shí)背景的聯(lián)系。12教學(xué)重點(diǎn)：一元一次不等式（組）、方程與函數(shù)的應(yīng)用。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)提出問(wèn)題、解決自己提出的問(wèn)題的方式來(lái)達(dá)到學(xué)習(xí)目的。教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)（1）以手機(jī)卡消費(fèi)的問(wèn)題為素材創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

該問(wèn)題情境的解題條件和解題目標(biāo)均不明確——結(jié)構(gòu)不良的問(wèn)題情境。（2）要求學(xué)生根據(jù)情境信息，從已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合的方式提出問(wèn)題，進(jìn)而師生合作，提供解決問(wèn)題。最后拓展問(wèn)題。13預(yù)計(jì)學(xué)生可能提出的問(wèn)題：固定通話時(shí)間，哪種卡合算？固定月話費(fèi)，哪種卡合算？各種卡分別在何種情況下使用才是合算的？教學(xué)策略與方法：對(duì)于較為復(fù)雜的問(wèn)題，師生一起分析、探求解決。注重方法多樣性，尋求最佳解法。學(xué)生情況分析：考慮到學(xué)生的能力水平，給出的情境信息力求清晰，簡(jiǎn)明。解決問(wèn)題需考慮的因素不宜太多。學(xué)生最初的問(wèn)題表達(dá)可能不是標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解決問(wèn)題時(shí)要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言清晰表達(dá)，并體會(huì)其意義。14知識(shí)與技能在具體背景中理解一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式的意義，并能有選擇地應(yīng)用它們來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題；提高用函數(shù)、方程、不等式（組）表示、處理實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的能力；提高分析和解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的能力，掌握解決問(wèn)題的一般思維方法。過(guò)程與方法教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系、建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)模型求解來(lái)求得實(shí)際問(wèn)題的解的過(guò)程；經(jīng)歷將復(fù)雜問(wèn)題分解、轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程。過(guò)程與方法體會(huì)方程、不等式、函數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系，以及它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題中的作用。體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確性、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。15重點(diǎn)一元一次不等式（組）、一元一次方程與一次函數(shù)的應(yīng)用。難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)體會(huì)一元一次不等式（組）、一元一次方程與一次函數(shù)三者的聯(lián)系。問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)是關(guān)系本節(jié)課教學(xué)的成敗的重要因素對(duì)貴陽(yáng)市的初中學(xué)生而言，手機(jī)付費(fèi)問(wèn)題貼近生活，能激發(fā)興趣，調(diào)動(dòng)他們解決問(wèn)題的愿望。數(shù)學(xué)問(wèn)題情境16課堂上，使用學(xué)生提出的問(wèn)題。課后，設(shè)計(jì)必做題和選擇題。習(xí)題獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合。教學(xué)方法與策略必做題：總結(jié)當(dāng)天學(xué)習(xí)內(nèi)容，寫一篇數(shù)學(xué)周記；

以其他生活問(wèn)題為素材創(chuàng)設(shè)情境，問(wèn)題結(jié)構(gòu)與課堂類似，選做題：對(duì)課堂問(wèn)題作深化，給學(xué)有余力的同學(xué)做。17多媒體材料媒體準(zhǔn)備PPT1：情境資料（展示信息）PPT2：拓展問(wèn)題（展示信息）PPT3：家庭作業(yè)必做題Flash課件：圖像法解問(wèn)題2（提供示范）板書（展示事實(shí)、呈現(xiàn)過(guò)程、解釋原理）18（一）復(fù)習(xí)一元一次不等式（組）、一元一次方程與一次函數(shù)的概念及其聯(lián)系。

（二）引入情境創(chuàng)設(shè)情境為迎接5.17電信日的到來(lái)，某電信公司推出三種手機(jī)卡供用戶選擇,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：經(jīng)濟(jì)卡:月租費(fèi)30元,通話費(fèi)0.2元/分鐘親情卡:月租費(fèi)12元,通話費(fèi)0.4元/分鐘如意通:沒(méi)有月租費(fèi),通話費(fèi)0.6元/分鐘作為一名手機(jī)消費(fèi)者,你想了解哪些信息呢?歡迎廣大手機(jī)用戶選擇使用?。ǘ┨岢鲆髮?duì)這則廣告，同學(xué)們肯定有很多想法和疑問(wèn)，請(qǐng)大家積極思考,大膽發(fā)言。如果你是顧客，你將怎樣做出選擇？教學(xué)過(guò)程19

思考與交流如果你是教師，在接下來(lái)的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，你會(huì)關(guān)注哪些方面的問(wèn)題？20形成問(wèn)題的總框架

問(wèn)題性質(zhì)：手機(jī)消費(fèi)卡的最優(yōu)決策問(wèn)題已知信息：三種手機(jī)卡及其收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，顧客根據(jù)自己的情況加以選擇。所求問(wèn)題：找出最合算的手機(jī)卡。（學(xué)生獨(dú)立思考，再全班交流，教師板書）弄清問(wèn)題教學(xué)過(guò)程21表征情境信息弄清問(wèn)題將三種卡的收費(fèi)情況用數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)出來(lái)，列出三種卡的通話費(fèi)用y(元)與通話時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式：經(jīng)濟(jì)卡:y=0.2x+30（1）親情卡:y=0.4x+12（2）如意通:y=0.6x（3）顧客情況：他每個(gè)月的通話時(shí)間、他每個(gè)月能花多少錢在手機(jī)的消費(fèi)上等等。合算：省錢（話費(fèi)少）、可多打電話（通話時(shí)間長(zhǎng)）教學(xué)過(guò)程22將要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體較易解決的問(wèn)題弄清問(wèn)題（學(xué)生可能用自然語(yǔ)言或數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)他們的問(wèn)題）每月通話100分鐘時(shí)，使用哪種卡合算？什么情況下，使用經(jīng)濟(jì)卡合算？什么情況下，使用親情卡合算？什么情況下，使用如意通合算？每月付費(fèi)200元時(shí)，使用哪種卡使自己能多打幾分鐘電話？如果一天打10分鐘，一個(gè)月以三十天計(jì)，那么使用哪種卡合算？什么情況下，三種卡收費(fèi)相同？一個(gè)人在某月中沒(méi)有通話，應(yīng)選哪種卡？當(dāng)每月通話時(shí)間大于250分鐘時(shí)，使用哪種卡合算？每月話費(fèi)150元，使用哪種卡合算？……教學(xué)過(guò)程23進(jìn)一步表征問(wèn)題弄清問(wèn)題每月通話100分鐘時(shí)，使用哪種卡合算？通話時(shí)間為多少分鐘時(shí)，經(jīng)濟(jì)卡的花費(fèi)最少？通話時(shí)間為多少分鐘時(shí)，親情卡的花費(fèi)最少？通話時(shí)間為多少分鐘時(shí)，如意通的花費(fèi)最少？若每月付費(fèi)200元時(shí)，使用哪種卡通話時(shí)間最長(zhǎng)？如果一天打10分鐘，一個(gè)月以三十天計(jì)，那么使用哪種卡花費(fèi)最少？每月通話時(shí)間為多少時(shí)，三種卡的通話費(fèi)用相同？某人因特殊情況在一個(gè)月不需用手機(jī)通話，那么他在該月應(yīng)該選擇買哪種手機(jī)卡？

……教學(xué)過(guò)程24探索問(wèn)題解法，并對(duì)問(wèn)題按方法進(jìn)行歸類

制定計(jì)劃教學(xué)過(guò)程25確定問(wèn)題解決的順序

制定計(jì)劃按照學(xué)生對(duì)解題方法熟悉的程度，可確定如下問(wèn)題解決順序：?jiǎn)栴}1,4,6→問(wèn)題3,8→問(wèn)題2→問(wèn)題5→問(wèn)題7資源配置學(xué)生非常熟悉問(wèn)題1,4,6和問(wèn)題3,8的解法，由學(xué)生獨(dú)立完成，每人從中選作一題，匯報(bào)解題結(jié)果。問(wèn)題2,5,7全班交流。教學(xué)過(guò)程26求解問(wèn)題1,4,6和問(wèn)題3,8實(shí)施計(jì)劃教師在黑板上有選擇地板書學(xué)生問(wèn)題解決的過(guò)程。問(wèn)題1解：略問(wèn)題6解：略問(wèn)題8解：略法二，觀察，心算法三，經(jīng)驗(yàn)判斷教學(xué)過(guò)程27求解問(wèn)題2實(shí)施計(jì)劃求解問(wèn)題5和7解法一：列一元一次不等式組解解法二：圖像法（學(xué)生說(shuō)明解題思路，多媒體演示圖象）問(wèn)題5：法一法二問(wèn)題7：略教學(xué)過(guò)程28總結(jié)總結(jié)回顧推展問(wèn)題解法一：列一元一次不等式組解解法二：圖像法（學(xué)生說(shuō)明解題思路，多媒體演示圖象）請(qǐng)作一個(gè)市場(chǎng)調(diào)查，調(diào)查不同手機(jī)卡的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，以及顧客的消費(fèi)需求，寫一份“不同手機(jī)卡收費(fèi)項(xiàng)目”清單，和