新人教版11.3.2多邊形的內(nèi)角和

§11.3.2多邊形的內(nèi)角和學(xué)習(xí)目標(biāo)1.學(xué)會用三角形內(nèi)角和定理證明多邊形的內(nèi)角和與外角和；2.會利用多邊形的內(nèi)角和與外角和來解決相關(guān)問題。1、在平面內(nèi)，__________________________叫做多邊形。２、在多邊形中_________________________叫做多邊形的對角線。３、三角形的內(nèi)角和是____．一、設(shè)疑自探、回顧舊知由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段1800二、解疑合探、探尋新知

長方形的內(nèi)角和是多少？為什么？如果是任意四邊形呢？探究：任意四邊形的內(nèi)角和是多少？試一試BADC（1）四邊形ABCD的內(nèi)角和是多少？（2）你是怎樣求的？(1)從頂點(diǎn)A可以畫幾條對角線？分別是哪幾條？(2)這樣五邊形被分成了幾個(gè)三角形？

(3)五邊形的內(nèi)角和是多少度？ABDCE你來探索六邊形的內(nèi)角和，你一定行！ABCDEF被分得三角形個(gè)數(shù)六邊形的內(nèi)角和4

4×180°這種探索方法你掌握了嗎？請完成下表多邊形的邊數(shù)34567…n分成的三角形個(gè)數(shù)12…多邊形的內(nèi)角和180°180°×2180°×3…345n-2180°

×5(n-2)×180180°×4想一想：從表中你能發(fā)現(xiàn)什么？多邊形內(nèi)角和公式：

n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)．180°三、質(zhì)疑再探、拓展創(chuàng)新

AnA5

A1A4

A2A3

AnA5

A1A4

A2A3PP(1)(2)你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎？ABCDABCDEABCDEF

該圖中n邊形共分成n個(gè)三角形，故所有三角形內(nèi)角和為n×180°，但每個(gè)圖中都有一個(gè)以紅圈圈住的點(diǎn)，它是一個(gè)圓周角360°，因此n邊形的內(nèi)角和為

n×180°-360°=(n-2)×180°多了什么？如何處理？多了什么？如何處理？ABCDABCDEABCDEF

這種分割方式，將n邊形分成n-1個(gè)三角形，故所有三角形的內(nèi)角和為（n-1）×180°，邊上一點(diǎn)周圍所形成的平角不是多邊形的內(nèi)角，因此n邊形的內(nèi)角和為

（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°例1：求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。

四、活學(xué)活用解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°

＝1080°答：八邊形的內(nèi)角和為1080°。例2：一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為150°，你知道它是幾邊形嗎？

解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：（n－2）×180＝1５0n

n＝12答：這個(gè)多邊形是十二邊形。另解：由于多邊形外角和等于360°

而這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于

180°－150°＝30°，所以這個(gè)正多邊形的邊數(shù)等于

360°÷30°＝12。探索

（1）什么是三角形的外角？外角有什么性質(zhì)？

（2）類似地，在多邊形中找出外角多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角。例1：如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.求六邊形的外角和.ABCDEF123456解：六邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角，都等于180°.因此六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和等于6×180°.這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和，所以外角和等于總和減去內(nèi)角和.即外角和等于6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°猜想與說理:n邊形的外角和是多少度呢?

答:都是360°.因?yàn)槎噙呅蔚耐饨桥c它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，所以n邊形的外角和加內(nèi)角和等于n·180°，內(nèi)角和為(n－2)·180°,因此，外角和為：n·180°－(n－2)·180°=360°.結(jié)論:多邊形的外角和都等于360°.例1：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？解：設(shè)它是n邊形，則(n-2).180=3×360解得：n=8答：它是八邊形（1）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是600，這個(gè)多邊形是幾邊形？它的內(nèi)角和等于多少度?(2)有沒有這樣的多邊形，它的內(nèi)角和是外角和的3倍？

（3）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等，且每一個(gè)內(nèi)角都比外角大900，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。

把一個(gè)五邊形切取一個(gè)角，將得到幾邊形？此時(shí)多邊形的內(nèi)角與外角有什么變化？

探究活動：ＡＢＣＤ如圖，∠Ａ＝４５°