數字信號處理第二章第3、4節(jié)

§2-3Z反變換一、定義：已知X(z)及其收斂域求序列x(n)z變換公式：C為環(huán)形解析域內環(huán)繞原點的一條逆時針閉合單圍線.c0即羅倫級數展開系數部分分式法（必須掌握）留數法（圍線積分法）長除法二、求Z反變換的方法1、部分分式法（必須掌握）1）適合型的有理分式2）反變換的步驟：先將化為真分式，在對部分分式展開對各部分分式求z反變換：（可查P54表2-1）的z反變換。利用部分分式法求解：[例1（補充）][例2（補充）]X(z)與其收斂域共同唯一確定原序列，反變換的基本變化式是例3（書P56例2—7）必須注意：X(z)有多重極點情況：z1為m階極點，z2為單極點則將部分分式展開為：...由留數定理可知：

為c內的第k個極點， 為c外的第m個極點，Res[]表示極點處的留數。2、留數法2、當Zr為l階(多重)極點時的留數：留數的求法：1、當Zr為一階極點時的留數：[書例2-5]解:1）當n≥-1時, 不會構成極點，所以這時C內只有一個一階極點 因此，求z反變換。已知2）當n≤-2時，X(z)zn-1中的zn+1構成n+1階極點。因此C內有極點：z=1/4(一階),z=0為(n+1)階極點；而在C外僅有z=4(一階)這個極點:因為x(n)的Z變換為Z-1

的冪級數，即

所以在給定的收斂域內，把X(z)展為冪級數，其系數就是序列x(n)。如收斂域為|z|>Rx+，x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負冪級數。若收斂域|Z|<Rx-,x(n)必為左邊序列，主要展成

Z的正冪級數。3、冪級數展開法(長除法)[例]試用長除法求

的z反變換。解:收斂域為環(huán)狀，極點z=1/4對應因果序列，極點z=4對應左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應先展成部分分式再做除法。

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24

Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...

Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3... §2-4Z變換的基本性質和定理線性和位移性序列指數加權（Z域尺度變換）序列線性加權（Z域微分）共軛序列和翻褶序列初值定理和終值定理有限項累加特性時域卷積和Z域卷積定理帕斯瓦爾定理參見P69表2-2（59-69頁）（雙邊Z變換）如果 則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域為兩者重疊部分。1.線性解：[書p60例2-10]已知2.序列的移位如果 則有：[書例2-11]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。3.Z域尺度變換(乘以指數序列)如果，則證明：4.序列的線性加權(Z域求導數)如果，則證明：同理：5.共軛序列如果，則證明：6.翻褶序列如果，則證明：7.初值定理證明：8.終值定理證明：又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點，故因子（z-1)將抵消這一極點，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z1的極限。9.有限項累加特性證明：10.序列的卷積和(時域卷積定理)

（重要）證明：解：[書P-65例2-12]11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內環(huán)原點的一條逆時