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文檔簡介

一、隱函數的導數二、參數方程確定的函數的導數隱函數及參數方程所確定的函數的導數

第三章一、隱函數的導數若由方程可確定y

是

x

的函數,由表示的函數,稱為顯函數.例如,可確定顯函數可確定y是x

的函數,但此隱函數不能顯化.函數為隱函數.則稱此隱函數求導方法:兩邊對x求導(含導數的方程)用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導.例1.

求由方程在x=0

處的導數解:

方程兩邊對

x

求導得因x=0時y=0,故確定的隱函數例2.

求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對x求導故切線方程為即例3、函數y=y(x)由方程所確定,求解：方程兩邊同時對ｘ求導例5.

求的導數.解:

兩邊取對數,化為隱式兩邊對x

求導二、由參數方程確定的函數的導數例如消去參數問題:

消參困難或無法消參如何求導?若參數方程可確定一個y與

x

之間的函數可導,且則時,有時,有(此時看成x是

y的函數)關系,若上述參數方程中二階可導,且則由它確定的函數可求二階導數.利用新的參數方程,可得?已知解:注意:例4.(1)

設求例4.(2)

設,且求解:

三、相關變化率為兩關于t可導函數之間有聯系之間也有聯系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率例8.設由方程確定函數求解:方程組兩邊對t

求導,得故內容小結1.隱函數求導法則直接對方程兩邊求導2.對數求導法:適用于冪指函數及某些用連乘,連除表示的函數3.參數方程求導法極坐標方程求導4.相關變化率問題列出依賴于t的相關變量關系式對t求導相關變化率之間的關系式轉化求高階導數時,從低到高每次都用參數方程求導公式作業(yè):P90第4題(2);第5題(1)2.設求提示:分別用對數求導法求答案:3.設由方程確定,解:方程兩邊對x求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得求①例9.

拋射體運動軌跡的參數方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設

為切線傾角,則拋射體軌跡的參數方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時,傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向例10.

一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設氣球上升t分后其高度為h,仰角為,則兩邊對t求導已知

h=500m時,求其反函數的導數.解:方法1方法2等式兩邊同時對求導備用題1.設,求解：

2.設方程組兩邊同時對t求導,得例４設y=y(x)由方程ey=xef(y)確定,f(x)二階可導,

f(x)1,求y.解方程兩邊對x求導:eyy=e

f(y)+xe

f(y)f(y)y故對數求導法先在方程兩邊取對數,然后利用隱函數的求導方法求出導數.適用范圍:1)對冪指函數可用對數求導法求導

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