山東農(nóng)業(yè)材料力學(xué)第4章桿件的變形和剛度

第4章桿件的變形與剛度

第4章桿件的變形與剛度

剛度是指構(gòu)件抵抗變形的能力。機械上承受扭轉(zhuǎn)的軸過大，會影響工作精度。平面彎曲時，梁的軸線將彎曲成平面曲線，如果變形太大，也會影響構(gòu)件正常工作。因此，對機器中的零件或部件以及土木工程中的結(jié)構(gòu)構(gòu)件設(shè)計時，除了滿足強度要求外，還必須滿足一定的剛度要求，即將其變形限制在一定的范圍內(nèi)。為此，必須分析和計算桿件的變形。另一方面，某些機械零件或部件，則要求有較大的變形，以減少機械運轉(zhuǎn)時所產(chǎn)生的振動，汽車中的鈑簧即為一例。這種情形下也需要研究變形。

第4章桿件的變形與剛度

此外，求解靜不定桿、軸、梁問題，也必須考慮桿件的變形以建立補充方程，再與靜力學(xué)平衡方程聯(lián)立求解。本章將在前面知識的基礎(chǔ)上，介紹軸向拉壓桿的絕對變形和相對變形；承受扭轉(zhuǎn)的圓軸的相對扭轉(zhuǎn)角和剛度設(shè)計問題；建立梁的撓度曲線微分方程，利用微分方程的積分以及相應(yīng)的邊界條件確定撓度曲線方程，并介紹工程上常用的計算梁變形的疊加法以及梁的剛度設(shè)計問題。在此基礎(chǔ)上，還將討論簡單的軸向拉壓桿、軸和梁的靜不定問題的基本求解方法。第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算☆扭轉(zhuǎn)變形與剛度☆彎曲變形與剛度☆簡單超靜定問題

第4章桿件的變形與剛度

理解桿件變形和剛度計算的意義。教學(xué)基本要求：掌握常見拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲的變形計算及剛度驗算。掌握簡單超靜定問題的求解方法重點：難點：小撓度微分方程的推導(dǎo)及應(yīng)用。拉壓變形計算及拉壓簡單超靜定計算第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算第4章桿件的變形與剛度

1、軸向拉(壓)桿的縱向變形

絕對變形

縱向線應(yīng)變--每單位長度的變形度量，無量綱相對變形

長度量綱FP

FP

h1ll1h當(dāng)桿件發(fā)生均勻變形時：☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算第4章桿件的變形與剛度

當(dāng)桿件因荷載或截面尺寸變化的原因而發(fā)生不均勻變形時，不能用總長度內(nèi)的平均線應(yīng)變代替各點處的縱向線應(yīng)變。xyzCAOBDxAB'xDx+Ddxx截面處沿x方向的縱向平均線應(yīng)變?yōu)?/p>

x截面處沿x方向的縱向線應(yīng)變?yōu)榫€應(yīng)變以伸長時為正，縮短時為負。

第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算荷載與變形量的關(guān)系——胡克定律引進比例常數(shù)E

FP

FP

h1ll1h實驗結(jié)果表明：在彈性范圍內(nèi)，桿的伸長量l與桿所承受的軸向載荷成正比,與桿長成正比，與橫截面面積成反比?！钶S向拉壓桿件的變形與剛度計算第4章桿件的變形與剛度

E

—彈性模量，量綱與應(yīng)力相同，拉（壓）桿的胡克定律EA

—桿的拉伸（壓縮）剛度。單位為Pa；FP

FP

h1ll1h第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算稱為單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律

即FP

FP

h1ll1h第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算這時可見，無論變形均勻還是不均勻，正應(yīng)力與正應(yīng)變之間的關(guān)系都是相同的。第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算當(dāng)拉、壓桿有二個以上的外力作用時，需要先畫出軸力圖，然后按上式分段計算各段的變形，各段變形的代數(shù)和即為桿的總伸長量(或縮短量)：

第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算當(dāng)軸向內(nèi)力沿軸線分布不均勻時：可以先求微段的伸長量，然后沿整個桿長積分。第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算2、橫向變形的計算橫向絕對變形橫向線應(yīng)變FP

FP

h1ll1h或或第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算單軸應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，一點處的縱向線應(yīng)變e

與橫向線應(yīng)變e的絕對值之比為一常數(shù)：或

μ

-----橫向變形因數(shù)或泊松比FP

FP

dll1d1第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算低碳鋼（Q235）：第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算一階梯狀鋼桿受力如圖，已知AB段的橫截面面積A1=400mm2，BC段的橫截面面積A2=250mm2,材料的彈性模量E=210GPa。試求：AB、BC段的伸長量和桿的總伸長量。FP=40kN

CBA

B'C'解：由靜力平衡知，AB、BC兩段的軸力均為l1=300l2=200第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算【例4-1】故FP=40kNCBA

B'C'l1=300l2=200第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算AC桿的總伸長F=40kNCBA

B'C'第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算變截面直桿，ADE段為銅制,EBC段為鋼制；在A、D、B、C等4處承受軸向載荷。已知：ADEB段桿的橫截面面積AAB＝10×102mm2，BC段桿的橫截面面積ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；銅的彈性模量Ec＝100GPa，鋼的彈性模量Es＝210GPa；各段桿的長度如圖中所示，單位為mm。試求：直桿的總變形量。

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☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算【例4-2】解：1．

作軸力圖由于直桿上作用有4個軸向載荷，而且AB段與BC段桿橫截面面積不相等，為了確定直桿橫截面上的最大正應(yīng)力和桿的總變形量，必須首先確定各段桿的橫截面上的軸力。應(yīng)用截面法，可以確定AD、DEB、BC段桿橫截面上的軸力分別為：FNAD＝－2FP＝120kN；FNDE＝FNEB＝－FP＝60kN；FNBC＝－FP＝60kN。第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算2．計算直桿的總變形量

直桿的總變形量等于各段桿變形量的代數(shù)和。

：

上述計算中，DE和EB段桿的橫截面面積以及軸力雖然都相同，但由于材料不同，所以需要分段計算變形量。

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☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算圖示桿系，荷載F=100kN,求結(jié)點A的位移A。已知兩桿均為長度l=2m，直徑d=25mm的圓桿，=30o，桿材(鋼)的彈性模量E=210GPa。解：1、求兩桿的軸力。得xyFN2FN1

FABCaa12aaAF第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算【例4-3】此位置既應(yīng)該符合兩桿間的約束條件，又滿足兩桿的變形量要求。關(guān)鍵步驟——如何確定桿系變形后結(jié)點A的位置？ABCaa12A'21A2A1aaA'A''第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算2、由胡克定律得兩桿的伸長：根據(jù)桿系結(jié)構(gòu)及受力情況的對稱性可知，結(jié)點A只有豎向位移。FABCaa123、計算節(jié)點位移第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算即

由變形圖即確定結(jié)點A的位移。由幾何關(guān)系得21A2A1aaA'A''代入數(shù)值得第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算桿件幾何尺寸的改變，標(biāo)量此例可以進一步加深對變形和位移兩個概念的理解。變形位移結(jié)點位置的移動，矢量與各桿件間的約束有關(guān)，實際是變形的幾何相容條件。二者間的函數(shù)關(guān)系A(chǔ)BCaa12A'第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算DFBαaL/2l/2l/2剛性橫梁AB由斜桿CD吊在水平位置上，桿CD的抗拉剛度為EA，B點處受F作用，試求B點的位移δB。AB1【解】【例4-4】第4章桿件的變形和剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算等直桿受自重及集中力F作用。桿的長度為l，橫截面面積為A，材料的容重為，彈性模量為E，許用應(yīng)力為[]。試建立考慮桿的自重時的強度條件，并求桿的伸長。lFmmFxmmFN(x)Ax+F+AlFFNmax=F+Al強度條件為或【解】【例4-5】第4章桿件的變形和剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算lFmmFxmmFN(x)AxFN(x)FN(x)+dFN(x)dx

AdxFN(x)=F+AxW=Al為桿的自重【解】第4章桿件的變形和剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算[討論]若l=10m,γ鋼=7.644kN/m3，[σ]=170MPa

γ磚=1.764kN/m3，[σ]=1.2MPa第4章桿件的變形和剛度

試計算的比值。通常即可忽略自重對桿件強度的影響?！钶S向拉壓桿件的變形與剛度計算3.拉壓桿的剛度條件在變形控制中的應(yīng)用△l≤[△l]在實際工程中，有時利用拉壓的剛度條件來確定桿件的承載力或桿件的橫截面積。第4章桿件的變形與剛度

☆軸向拉壓桿件的變形與剛度計算☆扭轉(zhuǎn)變形與剛度第4章桿件的變形與剛度

1.受扭圓軸的相對扭轉(zhuǎn)角圓桿受扭矩作用時，dx微段的兩截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動的角度稱為相對扭轉(zhuǎn)角：沿軸線方向積分，得到第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度對于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角為：對于各段扭矩不等或截面極慣性矩不等的圓軸，階梯狀圓軸，軸兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角為：當(dāng)扭矩沿軸線分布不均勻時：可以先求微段的相對扭轉(zhuǎn)角，然后沿整個桿長積分。第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度圖示鋼制實心圓截面軸，已知：Me1=1592N?m,Me2=955N?m，Me3=637N?m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，鋼的切變模量G=80GPa。求橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角jBC。1、先用截面法求各段軸的扭矩：BA段AC段Me1ⅡⅠMe3

BACMe2

dlABlAC【解】【例4-6】第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度2、各段兩端相對扭轉(zhuǎn)角：jCAjABMe1ⅡⅠMe3

BACMe2

dlABlAC第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度3、橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角：jABjCAMe1ⅡⅠMe3

BACMe2

dlABlAC第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度單位長度的相對扭轉(zhuǎn)角在很多情形下，兩端面的相對扭矩角不能反映圓軸扭轉(zhuǎn)變形的程度，因而更多采用單位長度扭轉(zhuǎn)角表示圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，單位長度扭轉(zhuǎn)角即扭轉(zhuǎn)角的變化率。單位長度相對扭轉(zhuǎn)角：第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件

為了機械運動的穩(wěn)定和工作精度，機械設(shè)計中要根據(jù)不同要求，對受扭圓軸的變形加以限制，亦即進行剛度設(shè)計。

扭轉(zhuǎn)剛度設(shè)計是將單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角限制在允許的范圍內(nèi)，即必須使構(gòu)件滿足剛度設(shè)計準(zhǔn)則或稱剛度條件：

對于兩端承受集中扭矩的等截面圓軸，剛度設(shè)計準(zhǔn)則又可以寫成：

第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度其中，[]

為單位長度上的許用相對扭轉(zhuǎn)角，其數(shù)值根據(jù)軸的工作要求而定.例如，用于精密機械的軸

[]

＝(0.25~0.5)()／m；一般傳動軸[]

＝(0.5~1.0)()／m；剛度要求不高的軸[]

＝2／m。

根據(jù)剛度條件，也可以進行三方面的計算：剛度校核、確定許用荷載、設(shè)計截面。第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度

需要注意的是:剛度設(shè)計中要注意單位的一致性。上式不等號左邊的單位為rad/m；而右邊通常所用的單位為()／m。因此，在實際設(shè)計中，若不等式兩邊均采用rad／m，則必須在不等式右邊乘以（π／180）；若兩邊均采用()／m，則必須在左邊乘以（180／π）。第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度

鋼制空心圓軸的外直徑D＝100mm，內(nèi)直徑d＝50mm。若要求軸在2m長度內(nèi)的最大相對扭轉(zhuǎn)角不超過1.5()，材料的剪切彈性模量G＝80.4GPa。1、求該軸所能承受的最大扭矩；2、確定此時軸橫截面上的最大剪應(yīng)力。

1．確定軸所能承受的最大扭矩根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則，有【解】【例4-7】第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度1．確定軸所能承受的最大扭矩根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則，有

由已知條件，許用的單位長度上相對扭轉(zhuǎn)角為空心圓軸截面的極慣性矩軸所能承受的最大扭矩為第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度軸所能承受的最大扭矩為＝9.688×103N.m＝9.688kN.m第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度

計算外力偶矩計算抗扭截面系數(shù)Wt一電機的傳動軸直徑d=40mm，軸傳遞的功率P=30kW，轉(zhuǎn)速n=1400r/min。軸由45號鋼制成，其許用剪應(yīng)力[]=40MP，剪變模量為G=80GPa，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[θ]=2/m。試校核該軸的強度和剛度【解】【例4-8】第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度計算θ計算IP所以,此軸同時滿足強度條件和剛度條件。計算第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度現(xiàn)計算Wt和ＩP傳動軸是由45號鋼制成的空心圓截面軸，其內(nèi)外徑之比為

=1/2。Mxmax=9.56kNm鋼的許用剪應(yīng)力,[]=40MP，剪變模量為G=80GPa，許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[θ]=0.3/m。試根據(jù)強度條件和剛度條件選擇軸的直徑?！窘狻俊纠?-9】第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度滿足

剛度條件

所必需的外徑由解得滿足

強度條件

所必需的外徑由第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度空心圓軸外徑不應(yīng)小于125.5mm，內(nèi)徑不應(yīng)小于

62.75mm。在此題中，控制截面尺寸的是剛度條件。解得第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度

軸上有三個齒輪,軸的轉(zhuǎn)速為n=183.5r/min,G=80GPa。齒輪2的傳動功率P2=0.756KW，齒輪4的傳動功率P4=2.98KW。軸的[]=40MPa，[θ]=1.5°/m。設(shè)計軸的直徑。m2m3m4計算齒輪2和4上的外力偶【解】【例4-10】第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度m2m3m4畫軸的扭矩圖+-39.3N.m155N.mMx圖第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度+-39.3N.m155N.m由強度條件由剛度條件取D=30mmMx圖第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度圓軸如圖所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的許用剪應(yīng)力[]=40MPa，軸的許用單位扭轉(zhuǎn)角,[θ]=0.8°/m，剪切彈性模量G=80GPa。試校核該軸的扭轉(zhuǎn)強度和剛度。d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m【例4-11】第4章桿件的變形與剛度

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扭轉(zhuǎn)變形與剛度d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m畫扭矩圖+8kN.m3kN.mMx圖【解】第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m+8kN.m3kN.mMx圖第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度d2d1ABC8kN.m5kN.m3kN.m+8kN.m3kN.mMx圖第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度圖示等直桿，已知直徑d=40mm，a=400mm，材料的彈模量G=80GPa，DB=1°。試求：(1)AD桿的最大剪應(yīng)力；(2)

扭轉(zhuǎn)角aa2am2m3mABCD【例4-12】第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度畫扭矩圖aa2am2m3mABCD+m2m3m計算外力偶矩mm=292kN.m(1)AD桿的最大剪應(yīng)力Mxmax=3mMx圖【解】第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度aa2am2m3mABCD+m2m3mMx圖(2)扭轉(zhuǎn)角第4章桿件的變形與剛度

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扭轉(zhuǎn)變形與剛度鉆探機桿外徑D=60mm,內(nèi)徑d=50mm,功率P=7.35kW,轉(zhuǎn)速n=180r/min，鉆桿入土深度l=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。設(shè)土壤對鉆桿的阻力沿長度均勻分布。試求：(1)單位長度上土壤對鉆桿的阻力矩M；(2)對鉆桿進行強度校核；(3)求A、B兩截面相對扭轉(zhuǎn)角?！纠?-13】第4章桿件的變形與剛度

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扭轉(zhuǎn)變形與剛度【解】外力矩單位長度阻力矩校核強度求相對扭轉(zhuǎn)角第4章桿件的變形與剛度

☆

扭轉(zhuǎn)變形與剛度第4章桿件的變形與剛度

☆彎曲變形與剛度上一章的分析結(jié)果表明，在平面彎曲的情形下，梁的軸線將彎曲成平面曲線。如果變形太大，也會影響構(gòu)件正常工作。因此，對機器中的零件或部件以及土木工程中的結(jié)構(gòu)構(gòu)件設(shè)計時，除了滿足強度要求外，還必須滿足一定的剛度要求，即將其變形限制在一定的范圍內(nèi)。為此，必須分析和計算梁的變形。另一方面，某些機械零件或部件，則要求有較大的變形，以減少機械運轉(zhuǎn)時所產(chǎn)生的振動。汽車中的鈑簧即為一例。這種情形下也需要研究變形。此外，求解靜不定梁，也必須考慮梁的變形以建立補充方程。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度

本節(jié)將在上一章得到的曲率公式的基礎(chǔ)上，建立梁的撓度曲線微分方程；進而利用微分方程的積分以及相應(yīng)的邊界條件確定撓度曲線方程。在此基礎(chǔ)上，介紹工程上常用的計算梁變形的疊加法。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度1）基本概念取梁的左端點為坐標(biāo)原點，梁變形前的軸線為x軸，橫截面的鉛垂對稱軸為y軸，xy平面為縱向?qū)ΨQ平面1.梁的變形計算x

yABFP第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度轉(zhuǎn)角y撓度xA

yB'CxBFPC'第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移。梁的位移包括三部分：橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度用y表示；變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角用表示；橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移，用u表示。

在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度y相比為高階小量，故通常不予考慮。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度

撓度（

y

）:橫截面形心C(即軸線上的點)在垂直于x軸方向

的線位移，稱為該截面的撓度。轉(zhuǎn)角（）：橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角

度，稱為該截面的轉(zhuǎn)角。度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量：第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線（deflectioncurve）。撓曲線方程為:撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：BxA

y轉(zhuǎn)角B'y撓度CC'撓曲線轉(zhuǎn)角方程：x式中，x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標(biāo)，y、分別為該點的撓度和轉(zhuǎn)角。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度ABx

y轉(zhuǎn)角B'y撓度CC'撓曲線撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定撓度：向下為正，向上為負。轉(zhuǎn)角：順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度橫力彎曲時,M和都是x的函數(shù)。略去剪力對梁的位移的影響,則純彎曲時中性層處曲率與彎矩的關(guān)系為2)

梁的撓曲線近似微分方程(小撓度微分方程)及其積分法求梁的變形數(shù)學(xué)中的曲率公式第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度小撓度情形下:式中的正負號與y坐標(biāo)的取向有關(guān)。≈0第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度MMoxyM<0oxyMMM>0在規(guī)定的坐標(biāo)系中,x軸水平向右為正,y軸豎直向下為正。曲線向上凸時:y>0,M<0曲線向下凸時：y<0,M>0因此,M與y的正負號正好相反，所以第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度近似原因:(1)略去了剪力的影響;(2)略去了y2項。梁的彈性撓曲線近似微分方程(小撓度微分方程)第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度再積分一次,得撓曲線方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程若為等截面直梁,其抗彎剛度EI為一常量上式可改寫成第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度AB(a)AB(b)在簡支梁中，左右兩鉸支座處的撓度yA

和yB

都應(yīng)等于零。在懸臂梁中，固定端處的撓度yＡ和轉(zhuǎn)角A都應(yīng)等于零等等。式中積分常數(shù)C1

、C2可通過梁撓曲線的邊界條件（支撐條件和連續(xù)條件）來確定。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度BlAabCFP

連續(xù)條件：取左邊或取右邊為脫離體時，C截面的撓度和轉(zhuǎn)角相等第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度思考題：圖示承受集中力的細長簡支梁，在彎矩最大截面上，沿加載方向開一小孔，若不考慮應(yīng)力集中影響，關(guān)于小孔對梁強度和剛度的影響，有如下論述，試判別哪一種是正確的.（A）大大降低量的強度和剛度；（B）對強度有較大影響，對剛度的影響很小可以忽略不計。（C）對剛度有較大影響，對強度的影響很小可以忽略不計。（D）對強度和剛度的影響都很小，都可以忽略不計。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度

fmax

和最大轉(zhuǎn)角max。彎矩方程為ABxyx撓曲線的近似微分方程為FP第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】【例4-14】對撓曲線近似微分方程進行積分,得邊界條件為:C1=0及C2=0將邊界條件代入(3)(4)兩式中,可得ABxyx第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度ABxyx將已確定的積分常數(shù)代入(3)(4)兩式中,即得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為max

及fmax都發(fā)生在自由端截面處第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度fmax和最大轉(zhuǎn)角max。

由對稱性可知梁的兩個支反力為ABxyqFAyFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】【例4-15】此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為ABxyqxFAyFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度邊界條件為:將邊界條件代入(c),(d)兩式得第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度

梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為AABxyqxC在和處轉(zhuǎn)角的絕對值最相等，且都是最大值FAyFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度在梁跨中點

l/2

處有

最大撓度值A(chǔ)ABxyqxC說明:

積分常數(shù)C1和C2

幾何意義FAyFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度將x=0代入得式中，和分別代表坐標(biāo)原點處截面的轉(zhuǎn)角和撓度。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點處受一集中力FP的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。此梁的兩個支反力為ABFPD12abFAyFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】【例4-15】兩段梁的彎矩方程分別為ABFPD12abFAyFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度兩段梁的撓曲線方程分別為12撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程(0?

x?a)(a?x?)D點的連續(xù)條件：在x=a

處邊界條件在處，在x=0處，第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度代入方程可解得:將積分常數(shù)代入后,即得兩段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程如下1段2段第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度將x=0和x=l分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角當(dāng)a>b時,右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度簡支梁的最大撓度應(yīng)在處先研究第一段梁，令得當(dāng)a>b時，最大撓度確實在第一段梁中梁中點C處的撓度為第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度結(jié)論:在簡支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無拐點,其最大撓度值都可用梁跨中點處的撓度值來代替,其精確度是能滿足工程要求的.用積分法計算梁變形時應(yīng)遵循的兩個規(guī)則對各段梁，都是由坐標(biāo)原點到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的。所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程。只增加了（x-a）的項。對（x-a）的項作積分時，應(yīng)該將（x-a）項作為積分變量。從而簡化了確定積分常數(shù)的工作。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度積分法小結(jié)

確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段

分段建立撓度微分方程

微分方程的積分

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角

分段寫出彎矩方程第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度疊加原理：梁的變形微小，且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時，梁在幾項荷載（可以是集中力,集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。當(dāng)每一項荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿y軸方向),其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy平面內(nèi))時,則疊加就是代數(shù)和。這就是疊加原理。3）疊加法計算梁的變形（轉(zhuǎn)角和撓度）第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度

疊加法應(yīng)用于多個載荷作用的情形

疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時，都可以將其分解為各種載荷單獨作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角，再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時作用的結(jié)果。疊加法應(yīng)用于多個載荷作用的情形

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度AqCB一抗彎剛度為EI的

簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨中點的撓度fC和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角A,B。m(c)ABC將梁上荷載分為兩項簡單的荷載，如圖。b,c所示。(b)AqCBm第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】【例4-16】先從表中查出兩者分別作用時梁的相應(yīng)位移，然后按疊加原理求出其代數(shù)和，即得所求的位移AqCBm(c)ABC(b)AqCBm第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度已知：簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC；B截面的轉(zhuǎn)角B第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【例4-17】1.將梁上的載荷變?yōu)?種簡單的情形。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】2.由撓度表查得3種情形下C截面的撓度；B截面的轉(zhuǎn)角。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度3.應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果分別疊加將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)角:

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度對于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L上連續(xù)分布載荷，然后在原來沒有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應(yīng)用疊加法。

疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度和轉(zhuǎn)角wC和C第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【例4-18】1.首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為利用撓度表中關(guān)于梁全長承受均布載荷的計算結(jié)果，計算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

2．再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起撓度和轉(zhuǎn)角。

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度

兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

2．再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起撓度和轉(zhuǎn)角。

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度3．將簡單載荷作用的結(jié)果疊加

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度試?yán)茂B加法，求圖a所示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點的撓度fC

和兩端截面的轉(zhuǎn)角A,B。圖a可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加。(a)ABCqABCAB第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】【例4-19】反對稱荷載作用下，可將AC段和BC段視為受均布線荷載作用且長度為l

/2的簡支梁,因此正對稱荷載作用下，有AB（b）BCA（c）第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度將相應(yīng)的位移進行疊加,即得第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度一抗彎剛度為EI的外伸梁受荷載如圖a所示,

試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉(zhuǎn)角B以及A端和BC段中點D的撓度fA和fDABCDa2qq將外伸梁沿B截面截成兩段，將AB

段看成B端固定的懸臂梁，BC

段看成簡支梁。a2a第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】【例4-20】2qAB2qaB截面兩側(cè)的相互作用力為：2qa,就是B截面的剪力和彎矩。ABCDa2qqa2a2qaqBCDA2qAB2qaABCDa2qqa2a簡支梁BC的受力情況與外伸梁AC的BC段的受力情況相同。因此，由簡支梁BC求得的QB

及fD就是外伸梁AC的QB及fD。2qaqBCDA第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度BCD2qa作用在支坐處，不引起梁的變形。簡支梁BC的變形就是和均布荷載q分別引起變形的疊加。簡支梁上有三項荷載：2qa,均布荷載q求和qBCD2qaqBCD2qa第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度BCD求和qBCD2qaqBCD2qa查表得：由疊加原理得第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度求由于簡支梁上B截面的轉(zhuǎn)動，代動AB段一起作剛體運動，使A端產(chǎn)生撓度f1懸臂梁AB本身的彎曲變形，使A端產(chǎn)生撓度f22qAB2qaqBCDA第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度求2qAB因此，A端的總撓度應(yīng)為由查表得代入上式得2qaqBCDA第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度對于梁的撓度,其許可值通常用許可的撓度與梁跨長的比值作為標(biāo)準(zhǔn)。梁的剛度條件可表示為2.梁的剛度條件及提高梁的剛度的措施根據(jù)剛度條件，也可以進行三方面的計算：剛度校核、確定許用荷載、設(shè)計截面。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度已知：鋼制桿件，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定B處的許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。試：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。

B第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度解：根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。

B1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角

由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為B2．根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求，

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度B2．根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑

根據(jù)設(shè)計要求，

其中，的單位為rad（弧度），而θ的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑

第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度l=400mmFP2=2kNACa=0.1m200mmDFP1=1kNB下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點的[f]=0.00001m,B點的[]=0.001弧度,試校核此桿的剛度。=++=FP1=1kNABDCFP2BCDAFP2=2kNBCDAFP2BCaFP2BCDAM第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】【例4-21】FP2BCa=++圖1圖2圖3結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單

載荷變形。Pl=400mmFP2=2kNACa=0.1m200mmDFP1=1kNBFP1=1kNABDCFP2BCDAMxf第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度FP2BCa=++圖1圖2圖3l=400mmFP2=2kNACa=0.1m200mmDFP1=1kNBFP1=1kNABDCFP2BCDAMxf疊加求復(fù)雜載荷下的變形第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度校核剛度第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度試按剛度條件校核簡支梁,已知按強度條件所選擇的梁為兩根20a號槽鋼,每根槽鋼的慣性矩I=1780cm,鋼的彈性模量為E=210GPa。此梁的許可撓度與梁跨長的比值為0.30.70.40.40.62.4m120kN30kN40kN12kNABC第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【例4-22】

可將梁跨中點C處的撓度fC作為梁的最大撓度fmax

。0.30.70.40.40.62.4m120kN30kN40kN12kNABC第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度【解】

梁的許可撓度為因此，所選用的槽鋼能夠滿足剛度條件的要求。第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度提高梁的剛度的措施

梁的位移（撓度和轉(zhuǎn)角）除了與梁的支承和荷載情況有關(guān)外，還取決于以下三個因素：材料——梁的位移與材料的彈性模量E成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩I成反比；跨長——梁的位移與跨長l

的n次冪成正比。為了減小梁的位移，可采取下列措施增大梁的抗彎剛度EI工程中常采用工字形,箱形截面第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度

調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)設(shè)法縮短梁的跨長，將能顯著地減小其撓度和轉(zhuǎn)角。這是提高梁的剛度的一個很又效的措施。橋式起重機的鋼梁通常采用兩端外伸的結(jié)構(gòu)如圖所示。就是為了縮短跨長而減小梁的最大撓度值。ABq(a)ABqq(b)第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度

同時，由于梁的外伸部分的自重作用，將使兩的AB跨產(chǎn)生向上的撓度，從而使AB跨向下的撓度能夠被抵消一部分，而有所減小。增加梁的支座也可以減小梁的撓度。ABq(a)ABqq(b)第4章桿件的變形與剛度

☆

彎曲變形與剛度☆簡單超靜定問題第4章桿件的變形與剛度

1.靜不定問題的基本概念靜定問題與靜定結(jié)構(gòu)：作用在桿件上的反力或桿件橫截面上的內(nèi)力，都能夠由靜力平衡方程直接確定，這類問題稱為靜定問題。所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題FPFP2-2=0有一個多與約束，一次超靜定，需補充一個方程3-2=1靜定結(jié)構(gòu)靜不定問題與靜不定結(jié)構(gòu)：第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題mm1-1=0有一個多與約束，一次超靜定，需補充一個方程2-1=1第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題3-3=04-3=1

lMAABFAyFAxqlABMAFAyFAxFB第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題5－3＝26－3＝3FBxMBBlAMAFAyFAxFByBlAMAFAyFAxFBxFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題未知力個數(shù)與獨立的平衡方程數(shù)之差，稱為靜不定次數(shù)。在靜定結(jié)構(gòu)上附加的約束稱為多余約束，這種“多余”只是對保證結(jié)構(gòu)的平衡與幾何不變性而言的，對于提高結(jié)構(gòu)的強度、剛度則是需要的。

工程實際中，為了提高結(jié)構(gòu)的強度、剛度，或者為了滿足構(gòu)造及其它工程技術(shù)要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)中再附加某些約束（包括添加桿件）。這時，由于未知力的個數(shù)多于所能提供的獨立的平衡方程的數(shù)目，因而僅僅依靠靜力平衡方程使無法確定全部未知力。這類問題稱為靜不定問題，所對應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)。多于約束力：與多于約束所對應(yīng)的約束力第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題

應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略不計，靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0，在沒有軸向載荷作用的情形下，固定鉸支座和固定端處便不會產(chǎn)生水平約束力，即FAx＝FBx=0。因此，求解這種靜不定問題只需1個補充方程。FBxBlAMAFAyFAxFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題

應(yīng)用小變形概念可以推知某些未知量BlAMAFAyFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題應(yīng)用對稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB對于兩端固定的梁，同樣有FBx=0，但這時的多余約束力除FBy外，又增加了MB。于是需要兩個補充方程。但是，利用對稱性分析，這種梁不僅結(jié)構(gòu)和約束都對稱，而且外加載荷也是對稱的，即梁的中間截面為對稱面。于是可以確定：MBBlAMAFAyFAxFBxFBy第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MBMBBlAMAql/2ql/2應(yīng)用對稱性分析可以推知某些未知量第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題因此，求解靜不定問題，除了根據(jù)靜力平衡條件列出平衡方程外，還必須在多余約束處尋找各構(gòu)件變形之間的關(guān)系，或者構(gòu)件各部分變形之間的關(guān)系，這種變形之間的關(guān)系稱為變形協(xié)調(diào)關(guān)系或變形協(xié)調(diào)條件。進而根據(jù)彈性范圍內(nèi)的力和變形之間關(guān)系（胡克定律），即物理條件，建立補充方程?？傊蠼忪o不定問題需要綜合考察平衡、變形和物理三方面，這是分析靜不定問題的基本方法。多余約束使結(jié)構(gòu)由靜定變?yōu)殪o不定，問題由靜力平衡可解變?yōu)殪o力平衡不可解，這只是問題的一方面。問題的另一方面是，多余約束對結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的變形起著一定的限制作用，而結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的變形又是與受力密切相關(guān)的，這就為求解靜不定問題提供了補充條件。

2.求解簡單靜不定問題的基本方法第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題

兩端固定的等直桿AB橫截面積為A，彈性模量為E，在C點處承受軸力FP的作用，如圖所示。計算約束反力。FPblBAC拉壓超靜定問題舉例第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題【例4-23】FByFPBFAAC這是一次超靜定問題。FPblBAC平衡方程為第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題【解】BAC條件是：桿的總長度不變=FByFPBFAACFPblBAC第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題變形幾何方程為：BAC=FBFPBFAACFPblBAC第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題補充方程為平衡方程為BAC=FBFPBFAACFPblBAC第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題兩端固定的等截面直桿，桿件沿軸線方向承受一對大小相等、方向相反的集中力，假設(shè)桿件的拉伸與壓縮剛度為EA，其中E為材料的彈性模量，A為桿件的橫截面面積。要求各段桿橫截面上的軸力，并畫出軸力圖。

ACDB第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題【例4-24】首先，分析約束力，判斷靜不定次數(shù)。在軸向載荷的作用下，固定端A、B二處各有一個沿桿件軸線方向的約束力FA

和FB

，獨立的平衡方程只有一個

因此，靜不定次數(shù)n＝2－1＝1次。所以除了平衡方程外還需要一個補充方程。

ACDBFAFB第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題【解】其次，為了建立補充方程，需要先建立變形協(xié)調(diào)方程。桿件在載荷與約束力作用下，AC、CD、DB等3段都要發(fā)生軸向變形，但是，由于兩端都是固定端，桿件的總的軸向變形量必須等于零：

這就是變形協(xié)調(diào)條件。

ACDBFAFB第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題根據(jù)胡克定律，桿件各段的軸力與變形的關(guān)系：

此即物理方程。應(yīng)用截面法,上式中的軸力分別為FNAC＝－FA(壓)，F(xiàn)NCD＝FP－FA(拉)，F(xiàn)NDB＝－FB(壓)ACDBFAFB第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題最后將上述各式聯(lián)立，即可解出兩固定端的約束力：

FNAC＝－FA(壓)，F(xiàn)NCD＝FP－FA(拉)，F(xiàn)NDB＝－FB(壓)ACDBFAFB第4章桿件的變形與剛度

☆

簡單超靜定問題將上述各式聯(lián)立，即可解出兩固定端的約束力：據(jù)此即可求得直桿各段的軸力，畫出直桿的軸力圖。

ACDBFAFB第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題最后請大家從平衡或變形協(xié)調(diào)兩方面分析這些圖中的軸力圖為什么是不正確的？

ACDBFAFB第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題

設(shè)

1、2、3

三桿用絞鏈連結(jié)，如圖所示，

l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E，

3

桿的長度l3,橫截面積A3,彈性模量

E3。

試求在沿鉛垂方向的外力FP作用下各桿的軸力。CABDFP123第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題【例4-25】xyFPACABDFP123平衡方程為第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題【解】這是一次超靜定問題﹗由于問題在幾何物性及受力方面都是對稱。所以變形后A點將沿鉛垂方向下移。xyFPACABDFP123第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題

相容條件是：變形后三桿仍絞結(jié)在一起﹗CABDFP123CABD123xyFPA第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題

變形幾何方程為CABDFP123CABD123A123┕┕第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題CABDFP123A123┕┕補充方程為第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題補充方程平衡方程CABDFP123A123┕┕第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題

解得第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題

解超靜定問題的步驟：根椐變形相容條件建立變形幾何方程。變形幾何方程的個數(shù)與超靜定次數(shù)相等。將變形與力之間的關(guān)系（胡克定律—物理方程）代入變形幾何方程得補充方程。聯(lián)立補充方程與靜力平衡方程求解。解超靜定問題注意畫變形圖時，桿的變形與假設(shè)的內(nèi)力符號要一致。取脫離體，畫受力圖，列平衡方程。第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題圖示平行桿系1、2、3

懸吊著橫梁AB(AB的變形略去不計)，在橫梁上作用著荷載G。如桿1、2、3的截面積、長度、彈性模量均相同，分別為A，l，E。試求1、2、3

三桿的軸力FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3。ABCG123aal第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題【例4-26】ABCG123aalFN1FN2ABCG3FN312Fx(1)平衡方程這是一次超靜定問題，且假設(shè)均為拉桿。第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題【解】ABCG123aalA123BC(2)變形幾何方程(3)物理方程第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCG123aalA123BC補充方程第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCG123aalA123BC(4)聯(lián)立平衡方程與補充方程求解剛性梁

ABC

由抗拉剛度相等的三根桿懸掛著。尺寸

如圖所示，拉力FP為已知。求各桿的軸力。ABC123408080FP5075第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題【解】【例4-27】ABC123408080FP5075變形相容條件？變形后三根桿與梁仍絞接在一起。變形幾何方程？第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABC123FP5075補充方程FN1FN2FN3FP408080靜力平衡方程第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題剛性桿AB如圖所示。已知1、2桿的材料，橫截面積，長度均相同。若兩桿的橫截面面積A=2cm2，材料的許用應(yīng)力[]=100MPa。試求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載FPmax。這是一次超靜定問題(1)列靜力平衡方程取AB為研究對象12ABC2aaFP第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題【解】【例4-28】FN1FN2FPF2FN2+FN1-FP=0(2)變形幾何方程12ABCFP2aa第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題(3)列補充方程FN2=2FN12FN2+FN1-FP=0FN1FN2FPF(4)由靜力平衡方程和補充方程解FN1和FN2(5)由強度條件求FPmax12ABC2aaFP第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題FN1FN2FPF強度條件為求得FP=50kN由12ABC2aaFP第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題補充題：桁架由三根抗拉剛度均為EA的桿AD，BD和CD在D

點絞接而成，求在力FP作用下三桿的內(nèi)力。ABCD123PH解：設(shè)AD、BD和CD桿的軸力N1，N2，N3均為拉力。作節(jié)點D的受力圖。DN1N2N3P第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD123PHDN1N2N3PD點的平衡方程為這是一次超靜定問題ABCD123PH變形協(xié)調(diào)條件是：變形后三桿仍絞接在一起，作變形圖。第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD123PHD1D2123DFGD3第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD123PHD1D2D3123DFEG幾何方程為第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD123PHD1D2D3123DFEG第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD123PH代入幾何方程得補充方程聯(lián)立補充方程和平衡方程求解第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD123PHN!=?N2=?N3=?

第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題木制短柱四角用四個40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材許用應(yīng)力分別為[]1=160MPa和[]2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa

和E2=10GPa；求許可載荷FP。幾何方程平衡方程FPy4FN1FPFN2物理方程及補充方程

簡單超靜定問題第4章桿件的變形和剛度

【例4-29】【解】

解平衡方程和補充方程，得求結(jié)構(gòu)的許可載荷FPy4FN1FPFN2[方法1]由型鋼表查得角鋼面積A1=3.086cm2

簡單超靜定問題第4章桿件的變形和剛度

在△1=△2

的前提下，角鋼將先達到極限狀態(tài)，即角鋼決定最大載荷。求結(jié)構(gòu)的許可載荷另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？若將木的面積變?yōu)?5mm，又怎樣？[方法2]FPy4FN1FPFN2

簡單超靜定問題第4章桿件的變形和剛度

ABCD213l圖示桿系，若3桿尺寸有微小誤差，則在桿系裝配好后，各桿將處于圖中位置，因而產(chǎn)生軸力。3桿的軸力為拉力，1、2桿的軸力為壓力。這種附加的內(nèi)力就稱為裝配內(nèi)力。與之相對應(yīng)的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。裝配應(yīng)力第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題代表桿3的伸長代表桿1或桿2的縮短代表裝配后A

點的位移ABCD213l第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD213l(1)變形幾何方程(2)物理方程第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD213l補充方程為第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD213(4)平衡方程第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABCD213l補充方程為與平衡方程聯(lián)立：第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題ABC12aa兩鑄件用兩根鋼桿1、2連接，其間距為l=200mm?，F(xiàn)要將制造得過長了e=0.11mm的銅桿3裝入鑄件之間，并保持三根桿的軸線平行且等間距a。試計算各桿內(nèi)的裝配應(yīng)力。已知：鋼桿直徑d=10mm，銅桿橫截面積為2030mm的矩形，鋼的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量E3=100GPa。鑄件很厚，其變形可略去不計，故可看作剛體。l3第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題【例4-30】【解】（c)ABC12變形幾何方程為l3(b)第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題代入得補充方程列平衡方程aax(d)第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題解三個聯(lián)立方程即可得裝配內(nèi)力，進而求出裝配應(yīng)力。第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題第4章桿件的變形與剛度

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簡單超靜定問題圖示等直桿AB

的兩端分別與剛性支承連結(jié)。