實(shí)變函數(shù)第一章2

第一節(jié)外測(cè)度第二章測(cè)度理論1.引言

其中積分與分割、介點(diǎn)集的取法無關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi(1)Riemann積分回顧（分割定義域）新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1用mEi

表示Ei

的“長(zhǎng)度”問題：如何把長(zhǎng)度,面積,體積推廣?圓的面積內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接外切外切正n邊形的面積（外包）達(dá)布上和與下和Riemann積分xi-1xi達(dá)布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1xi達(dá)布上和的極限上積分（外包）Jordan測(cè)度Jordan外測(cè)度（外包）Jordan可測(cè)Jordan內(nèi)測(cè)度（內(nèi)填）例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，則E不Jordan可測(cè)由于任一覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體的有限開覆蓋也一定能覆蓋除有限個(gè)點(diǎn)外的[0,1]，從而由于無理數(shù)在[0,1]中稠密，故任一開區(qū)間都不可能含在E內(nèi)，從而所以，即E不Jordan可測(cè)([

())(

)(

(

)

]

)０１

([

]

)-ε０１1+ε2Lebesgue外測(cè)度(外包)為E的Lebesgue外測(cè)度。定義：，稱非負(fù)廣義實(shí)數(shù)與Jordan外測(cè)度比較：下確界：即：用一開區(qū)間列“近似”替換集合E例設(shè)E是[0,1]中的全體有理數(shù)，試證明E的外測(cè)度為0

證明：由于E為可數(shù)集，再由ε的任意性知()

2.平面上的x軸的外測(cè)度為0思考：１.設(shè)E是平面上的有理點(diǎn)全體，則E的外測(cè)度為0思考：3.我們知道有理數(shù)與無理數(shù)在[0,1]上都稠密，問證明中

的開區(qū)間列是否覆蓋了區(qū)間[0,1]由無理數(shù)集在[0,1]上稠密可知上面敘述的錯(cuò)誤出在取，因?yàn)閕的取定依賴于δ()

思考：4.對(duì)Jordan外測(cè)度，我們用有限個(gè)開區(qū)間覆蓋[0,1]中的

有理數(shù)全體，則這有限個(gè)開區(qū)間也覆蓋[0,1]

（除有限個(gè)點(diǎn)外）注：對(duì)可數(shù)個(gè)開區(qū)間不一定有從左到右的一個(gè)排列（如Ｃantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）([

())(

)(

(

)

]

)０１注：對(duì)有限個(gè)開區(qū)間一定有從左到右的一個(gè)排列5.對(duì)Lebesgue外測(cè)度，我們用可數(shù)個(gè)開區(qū)間覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體，是否這可數(shù)個(gè)開區(qū)間也覆蓋[0,1]（除可數(shù)個(gè)點(diǎn)外）（2）Lebesgue外測(cè)度的性質(zhì)(b)的證明:能覆蓋B的開區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開區(qū)間列比能覆蓋A的開區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界反而大。（b）單調(diào)性：（a）非負(fù)性：，當(dāng)E為空集時(shí)，（C）次可數(shù)可加性證明：對(duì)任意的ε>0,由外測(cè)度的定義知，對(duì)每個(gè)An都有一列開區(qū)間（即用一開區(qū)間{Inm}列近似替換An）注：一般證明都是從大的一邊開始，因?yàn)橥鉁y(cè)度的定義用的是下確界由的ε任意性，即得注：外測(cè)度的次可數(shù)可加性的等號(hào)即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可測(cè)集），但有:當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時(shí)候，區(qū)間Ii不可能同時(shí)含有A，B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點(diǎn)，一部分含有B中的點(diǎn)。若d(A,B)>0,則例證明參見教材p-56思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測(cè)度某種程度是區(qū)間長(zhǎng)度概念的推廣對(duì)任意區(qū)間，有例：Cantor集的外測(cè)度為0。注：稱外測(cè)度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為第二節(jié)可測(cè)集合第二章測(cè)度理論Lebesgue外測(cè)度(外包)次可數(shù)可加性(即使Ａn兩兩不交)即：用一開區(qū)間列“近似”替換集合E1.可測(cè)集的定義注：Lebesgue開始也是利用外測(cè)度與內(nèi)測(cè)度相等定義可測(cè)集，但此方法對(duì)處理問題很不方便，故我們采用上述方法。EEcT∩ET∩Ec（Caratheodory條件），則稱E為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)集，此時(shí)E的外測(cè)度稱為E的測(cè)度，記作例：零集E必為可測(cè)集即E為可測(cè)集。2.Lebesgue可測(cè)集的性質(zhì)證明：(充分性）(必要性)令（a）集合E可測(cè)（即）即可測(cè)集類關(guān)于差，余，有限交和可數(shù)交，有限并和可數(shù)并，以及極限運(yùn)算封閉；（b）若A,B,Ai

可測(cè)，則下述集合也可測(cè)

注:上式由前面可測(cè)集的等價(jià)刻畫立刻可得若Ai兩兩不交，則（測(cè)度的可數(shù)可加性）若A,B可測(cè)，則有可減性可測(cè)集類關(guān)于差，余，有限交和可數(shù)交，有限并和可數(shù)并，以及極限運(yùn)算封閉；也可測(cè)。若可測(cè)已證明，則易知易知Ac可測(cè)證明：由可測(cè)集的定義：(1)(2)(3)(4)ＴBA下面證明若A,B可測(cè)，

則可測(cè)下面證明若Ai兩兩不交，則例：設(shè)[0,1]中可測(cè)集A1,A2,…,An滿足條件

則必有正測(cè)度。注：左邊的極限是集列極限，而右邊的極限是數(shù)列極限，

(b)中的條件不可少(a)若An是遞增的可測(cè)集列，則(b)若An

是遞減的可測(cè)集列且如An=(n,+∞)（

n單調(diào)可測(cè)集列的性質(zhì)注：若An是遞減集列，若An是遞增集列，第三節(jié)開集的可測(cè)性第二章測(cè)度理論注：開集、閉集既是型集也是型集；

有理數(shù)集是型集，但不是型集；

無理數(shù)集是型集，但不是型集。有理數(shù)集可看成可數(shù)個(gè)單點(diǎn)集的并，而單點(diǎn)集是閉集；通過取余型集與型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開集與閉集互換）例區(qū)間是可測(cè)集，且注：零集、區(qū)間、開集、閉集、型集（可數(shù)個(gè)開集的交）、型集（可數(shù)個(gè)閉集的并）、Borel型集（粗略說：從開集出發(fā)通過取余，取交或并（有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）運(yùn)算得到）都是可測(cè)集。證明見書本p662.可測(cè)集與開集、閉集的關(guān)系即：可測(cè)集與開集、閉集只相差一小測(cè)度集（可測(cè)集“差不多”就是開集或閉集），從而可測(cè)集基本上是至多可數(shù)個(gè)開區(qū)間的并。證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知取F=Gc，則F為閉集(1).若E可測(cè)，則

證明:(1)當(dāng)mE<+∞時(shí)，由外測(cè)度定義知從而（這里用到mE<+∞）對(duì)每個(gè)Ei應(yīng)用上述結(jié)果(2)當(dāng)mE=+∞時(shí)，這時(shí)將E分解成可數(shù)個(gè)互不相交的可測(cè)集的并：例證明：對(duì)任意的1/n，例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，試各寫出一個(gè)與E只相差一小測(cè)度集的開集和閉集。例：設(shè)E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個(gè)與E*只相差一小測(cè)度集的開集和閉集。

開集:(0,1)

閉集：開集：閉集：空集3.可測(cè)集與集和集的關(guān)系

可測(cè)集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若E可測(cè)，則存在型集H,使(1).若E可測(cè)，則存在型集O,使(1).若E可測(cè)，則存在型集O,使(2).若E可測(cè)，則存在型集H,使證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知取H=Oc，則H為型集，且(1).若E可測(cè)，則存在型集O,使證明：對(duì)任意的1/n，

例：例：設(shè)E*為[0,1]中的無理數(shù)全體，試各寫出一個(gè)與E*只相差一零測(cè)度集的型集或型集。設(shè)E為