第三章 工程經(jīng)濟 含時間因素的貨幣等值計算 同濟大學

第三章含時間因素的貨幣等值計算3.1貨幣的時間價值1、含義

指初始貨幣在生產(chǎn)與流通中與勞動相結合，即作為資本或資金參與再生產(chǎn)和流通，隨著時間的推移會得到貨幣增值，用于投資就會帶來利潤；用于儲蓄會得到利息。2、原因（1）以貨幣表示的資源可以成為資本，存在投資的機會，從而產(chǎn)生對資本投入要素的回報。（2）消費者都存在一種潛在的期望，要求現(xiàn)在消費的節(jié)省以換回日后更多的消費。3.1貨幣的時間價值原資金投資儲蓄新資金原資金貨幣的時間價值原資金閑置=+3.1貨幣的時間價值

資金的價值是時間的函數(shù)，隨時間的推移而增值，所增值部分的資金就是原有資金的時間價值。

影響資金時間價值的因素：1、資金的使用（占用）時間長短；2、資金數(shù)額的大??；3、資金投入或回收的（時間）特點；4、資金周轉速度的快慢。3.1貨幣的時間價值

通常用貨幣單位來計量工程技術方案的得失，我們在經(jīng)濟分析時就主要著眼于方案在整個壽命期內(nèi)的貨幣收入和支出的情況，這種貨幣的收入和支出稱之為現(xiàn)金流量(CashFlow)。年末A方案B方案0-10000-100001+7000+10002+5000+30003+3000+50004+1000+7000

有一個總公司面臨兩個投資方案A、B，壽命期都是4年，初始投資也相同，均為10000元。實現(xiàn)利潤的總數(shù)也相同，但每年數(shù)字不同，具體數(shù)據(jù)見表。如果其他條件都相同，我們應該選用那個方案呢?3.1貨幣的時間價值300030003000方案D

3000300030006000

123456方案C01234560

30003000

兩個方案C和D，其他條件相同，僅現(xiàn)金流量不同。3.1貨幣的時間價值

貨幣的支出和收入的經(jīng)濟效應不僅與貨幣量的大小有關，而且與發(fā)生的時間有關。由于貨幣的時間價值的存在，使不同時間上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直接加以比較，這就使方案的經(jīng)濟評價變得比較復雜了。3.1貨幣的時間價值

01234

01234

400方案F方案E

200200200

100

200200

300

300

400

從現(xiàn)金流量的絕對數(shù)看，方案E比方案F好；但從貨幣的時間價值看，方案F似乎有它的好處。如何比較這兩個方案的優(yōu)劣就構成了本課程要討論的重要內(nèi)容。這種考慮了貨幣時間價值的經(jīng)濟分析方法，使方案的評價和選擇變得更現(xiàn)實和可靠。3.2利息公式（一）相關概念1、利息——一定數(shù)額貨幣經(jīng)過一定時間后資金的絕對增值，用“I”表示。廣義的利息信貸利息經(jīng)營利潤2、利率——利息遞增的比率，用“i”表示。每單位時間增加的利息

原金額（本金）×100%利率(i%)=

計息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度來計算，用“n”表示。3.2利息公式一）利息的種類1、單利計息1.單利——每期均按原始本金計息（利不生利）

設：I——利息

P——本金

n——計息期數(shù)

i——利率

F——本利和則有

例題1：假如以年利率6%借入資金1000元,共借4年,其償還的情況如下表年年初欠款年末應付利息年末欠款年末償還110001000×0.06=6010600210601000×0.06=6011200311201000×0.06=6011800411801000×0.06=60124012402、復利計息

將本期的利息轉為下期的本金，下期將按本利和的總額計息，這種計息方式稱為復利（計息）——利滾利年份年初本金P當年利息I年末本利和F

P(1+i)2…………P(1+i)n-1P(1+i)n

1

PP·iP(1+i)2P(1+i)P(1+i)·in－1P(1+i)n-2P(1+i)n-2·i

n

P(1+i)n-1P(1+i)n-1·iF=P(1+i)nI=F-P=P[(1+i)n-1]3.2利息公式

例題2：假如以年利率6%借入資金1000元,共借4年,其償還的情況如下表年初欠款年末應付利息年末欠款年末償還1234年10001000×0.06=601060010601060×0.06=63.601123.6001123.601191.0201191.021262.481262.481123.60×0.06=67.421191.02×0.06=71.46例3-3復利的威力

1626年荷蘭東印度公司花了24美元從印第安人手中買下了曼哈頓島。而到2000年1月1日，曼哈頓島的價值已經(jīng)達到了約2.5萬億美元。這筆交易無疑很合算。但是，如果改變一下思路，東印度公司也許并沒有占到便宜。如果當時的印第安人拿著這24美元去投資，分別按照8%的單利和復利利率計算，結果如下單利（美元）復利（萬億美元）到2000年，這24美元復利計息將變成約76萬億美元，幾乎是其2.5萬億美元價值的30倍。而按照單利計算這24美元僅變成742美元。3.2利息公式(二)等值的含義

貨幣等值(equivalence)是考慮了貨幣的時間價值的等值。貨幣的等值包括三個因素：（1）金額（2）金額發(fā)生的時間（3）利率3.2利息公式1、一次支付復利公式

F

——將來值(FutureValue/worth)；i

——利率(interestrate)；n

——計息期數(shù)(number)；P

——現(xiàn)在值(PresentValue/worth)；記為（F/P,i,n）,則有F=P(F/p,i,n)案例

（三）利息公式第一年年初第一年年末第二年年末第n年年末PP+Pi=P(1+i)P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2…………P(1+i)n1、一次支付復利公式

在第一年年初，以年利率6%投資1000元，則到第四年年末可得本利和若干？分析2、一次支付現(xiàn)值公式2、一次支付現(xiàn)值公式

為了在第四年年末得到1262.50元，按年利率6%計算，現(xiàn)在必須投資多少？分析3、等額支付系列復利公式3、等額支付系列復利公式3、等額支付系列復利公式

連續(xù)5年每年年末借款1000元，按年利率6%計算，第5年年末累積借款若干？分析4、等額支付系列積累基金公式4、等額支付系列積累基金公式

如果要在第5年年末得到資金1000元，按年利率6%計算，從現(xiàn)在起連續(xù)5年每年必須存儲若干？分析5、等額支付系列資金恢復公式5、等額支付系列資金恢復公式5、等額支付系列資金恢復公式

如果現(xiàn)在以年利率5%投資1000元，在今后的8年中，每年年末以相等的數(shù)額提取回收本利和，則每年年末可以等額提取若干？分析6、等額支付系列現(xiàn)值公式6、等額支付系列現(xiàn)值公式

按年利率6%計算，為了能夠在今后5年中每年年末得到100萬元的利潤，現(xiàn)在應投資若干？分析7.均勻梯度系列公式7.均勻梯度系列公式A=A1+A2

注：如支付系列為均勻減少，則有A=A1－A27.均勻梯度系列公式等額支付系列復利公式7.均勻梯度系列公式等額支付系列積累基金公式例

假定某人第一年末把1000元存入銀行，以后9年每年遞增存款200元。如年利率為8%，若這筆存款折算成10年的年末等額支付系列，相當于每年存入多少？解

每年應存入1744元。

7.均勻梯度系列公式8.運用利息公式應注意的問題

（1）為了實施方案的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初。（2）方案實施過程中的經(jīng)常性支出，假定發(fā)生在計息期（年）末。（3）本年的年末即是下一年的年初。（4）P是在當前年度開始時發(fā)生。（5）F是在當前以后的第n年年末發(fā)生。（6）A是在考察期間各年年末發(fā)生。當問題包括P和A時，系列的第一個A是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當問題包括F和A時，系列的最后一個A是和F同時發(fā)生。（7）均勻梯度系列中，第一個G發(fā)生在系列的第二年年末。8.運用利息公式應注意的問題

(四)名義利率和有效利率1、離散式復利按期（年、季、月和日）計息的方法

如果名義利率為r，一年中計息n次，每次計息的利率為r/n，根據(jù)一次支付復利系數(shù)公式，

年末本利和為：

F=P[1+r/n]n

一年末的利息為：

P[1+r/n]n

－P

按定義，利息與本金之比為利率，則年有效利率i為：

例3-6：現(xiàn)投資1000元，時間為10年，年利率為8%，每季度計息一次，求10年末的將來值。

F=？1000…012340季度每季度的有效利率為8%÷4=2%，用年實際利率求解:年有效利率i為：i=（1+2%）4－1=8.2432%F=1000（F/P，8.2432%，10）=2208（元）用季度利率求解:F=1000（F/P，2%，40）=1000×2.2080=2208（元）解：例:某企業(yè)向銀行借款1000元,年利率為4%,如按季度計息,則第3年應償還本利和累計為()元。

A.1125B.1120C.1127D.1172F=1000(F/P,1%,4×3)=1000(F/P,1%,12)=1127元答案:C

F=？1000…012312季度解:例:已知某項目的計息期為月,月利率為8‰,則項目的年名義利率為()。

A.8%B.8‰C.9.6%D.9.6‰解:（年）名義利率=每一計息期的有效利率×一年中計息期數(shù)

所以r=12×8‰=96‰=9.6%答案:C2、連續(xù)式復利名義利率和有效利率下表給出了名義利率為12%分別按不同計息期計算的實際利率：復利周期每年計息數(shù)期各期實際利率實際年利率一年半年一季一月一周一天連續(xù)1241252365∞12.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%0.000012.0000%12.3600%12.5509%12.6825%12.7341%12.7475%12.7497%將年名義利率化為年有效利率，再比較1計息期為一年的等值計算從利息表上查到，當n=9，1.750落在6%和7%之間。6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839從用直線內(nèi)插法可得相同有效利率名義利率直接計算例：當利率為多大時，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元？解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750

計算表明，當利率為6.41%時，現(xiàn)在的300元等值于第9年年末的525元。

例：當利率為8%時，從現(xiàn)在起連續(xù)6年的年末等額支付為多少時與第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000×0.1363=1363(元/年)計算表明，當利率為8%時，從現(xiàn)在起連續(xù)6年1363元的年末等額支付與第6年年末的10000等值。解：100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%例：當利率為10%時，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的年末等額支付為600元，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？解：

P=A(P/A,10%,5)=2774.59元

計算表明，當利率為10%時，從現(xiàn)在起連續(xù)5年的600元年末等額支付與第0年的現(xiàn)值2274.50元是等值的。2計息期短于一年的等值計算

（1）計息期和支付期相同例：年利率為12%，每半年計息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)3年，每半年為100元的等額支付，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？

解：每計息期的利率

（每半年一期）n=(3年)×(每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元計算表明，按年利率12%，每半年計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年每半年支付100元的等額支付與第0年的現(xiàn)值491.73元的現(xiàn)值是等值的。

（1）計息期和支付期相同2.計息期短于支付期例：按年利率為12%，每季度計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末支付借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多大？

0123456789101112季度F=？100010001000式中，r=12%，n=4，i=12%÷4=3%。

239F=？季度

0123456789101112經(jīng)轉變后計息期與支付期重合（單位：元）F=A（F/A，3%，12）=239×14.192=3392元第三種方法：將名義利率轉化為年有效利率，以一年為基礎進行計算。年有效利率是由此可得

F／A，12．55%，3F=1000(3．3923)=3392元通過三種方法計算表明，按年利率12%，每季度計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)三年的1000元等額年末借款與第三年年末的3392元等值。

假定現(xiàn)金流量是：第6年年末支付300元，第9，10，11，12年年末各支付60元，第13年年末支付210元，第15，16，17年年末各支付80元。如按年利率5%計息，與此等值的現(xiàn)金流量的現(xiàn)值P為多少？解先把所有的支付畫出現(xiàn)金流量圖（圖3-13）圖3-13

現(xiàn)金流量圖（單位：元）3.3等值計算實例

然后根據(jù)現(xiàn)金流量圖利用公式進行計算：

P/F，5%，6P/A，5%，4P/F，5%，8P/F，5%，13P=300（0.7462）+60（3.5456）（0.6768）+210（0.5303）

F/A，5%，3P/F，5%，17+80（3.153）（0.4363）

=589.27（元）這個現(xiàn)金流量，按年利率5%計息，與其等值的現(xiàn)值為589.27元。3.3等值計算實例例3-15求每半年向銀行借1400元，連續(xù)借10年的等額支付系列的等值將來值。利息分別按：（a）年利率12%，每半年計息一次；（b）年利率為12%，每季度計息一次兩種情況計息。解兩種計息情況的將來值（a）計息期等于支付期

F/A，6%，20

F=1400（36.7856）=51500元（b）計息期短于支付期

A/F，3%，2F/A，3%，40

F=1400（0.4926）（75.4013）=52000元3.3等值計算實例某人購買一套住房總價150萬，其中申請70%

期限為20年、年利率為5%的商業(yè)抵押貸款，約定按月等額還款。每月要還多少？這種貸款的年有效利率是多少？解貸款總額P=150×70%=105萬元，每月還款額為即每月要還款近7000元。

這種還款方式下，年實際有效利率為

3.3等值計算實例