2023年曲線積分與曲面積分知識點

第十章曲線積分與曲面積分

一、

重點兩類曲面積分及兩類曲面積分的計算和格林公式、高斯公式的應(yīng)用二、

難點對曲面?zhèn)鹊睦斫?把對坐標的曲面積分化成二重積分,運用格林公式求非閉曲線上的第二類曲線積分,及運用高斯公式計算非閉曲面上的第二類曲面積分。三、

內(nèi)容提綱１.

曲線(面）積分的定義:(１)

第一類曲線積分(存在時)表達第i個小弧段的長度,（）是上的任一點小弧段的最大長度。實際意義:當(dāng)ｆ(x,y）表達L的線密度時，表達L的質(zhì)量；當(dāng)f(x,ｙ)1時,表達Ｌ的弧長，當(dāng)f(x,y）表達位于L上的柱面在點(x,y）處的高時，表達此柱面的面積。(2）

第二類曲線積分(存在時）實際意義：設(shè)變力＝P（x，y)+Q（x,y)將質(zhì)點從點A沿曲線Ｌ移動到B點，則作的功為：,其中=（ｄx,dｙ）事實上，,分別是在沿X軸方向及Y軸方向所作的功。(３)

第一類曲面積分(存在時)表達第i個小塊曲面的面積,(）為上的任一點,是ｎ塊小曲面的最大直徑。實際意義:當(dāng)f(ｘ,y，z)表達曲面上點（x,y，z）處的面密度時,表達曲面的質(zhì)量，當(dāng)f(x,y,z)１時,表達曲面的面積。(4)

第二類曲面積分（存在時）其中，,分別表達將任意分為n塊小曲面后第I塊在yoｚ面，ｚｏx面,xoy面上的投影,dｙdz,ｄzｄｘ,ｄxdy分別表達這三種投影元素;()為上的任一點,是n塊小曲面的最大直徑。實際意義:設(shè)變力=P(x，y，z）+Ｑ(x，ｙ，z)＋R(ｘ,y，ｚ)為通過曲面的流體（穩(wěn)定流動且不可壓縮)在上的點(x,y,z)處的速度。則表達在單位時間內(nèi)從的一側(cè)流向指定的另一側(cè)的流量。2、曲線(面）積分的性質(zhì)兩類積分均有與重積分類似的性質(zhì)（1)

被積函數(shù)中的常數(shù)因子可提到積分號的外面(2）

對積分弧段（積分曲面)都具有可加性(3）

代數(shù)和的積分等與積分的代數(shù)和第二類曲線（面）積分有下面的特性,即第二類曲線（面）積分與曲線(面)方向（側(cè))有關(guān)=3、曲線（面）積分的計算（1）

曲線積分的計算a、

依據(jù)積分曲線Ｌ的參數(shù)方程，將被積表達式中的變量用參數(shù)表達b、

第一(二)類曲線積分化為定積分時用參數(shù)的最小值（起點處的參數(shù)值)作為積分下限(2）

曲面積分的計算方法1、

第一類曲面積分的計算ａ將積分曲面投向使投影面積非零的坐標面b將的方程先化成為投影面上兩變量的顯函數(shù),再將此顯函數(shù)代替被積表達式中的另一變量。C將ds換成投影面上用直角坐標系中面積元素表達的曲面面積元素２、

第二類曲面積分的計算a將積分曲面投向指定的坐標面b同1c依的指定的側(cè)決定二重積分前的“+”或“-”４、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1)

格林公式其中Ｐ、Ｑ在閉區(qū)域D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),Ｌ是D的正向邊界曲線。若閉區(qū)域D為復(fù)連通閉區(qū)域，P、Q在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則=其中(=1，2……n)均是Ｄ的正向邊界曲線。(2）

高斯公式=)dxｄydｚ其中P、Q、R在閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),是Q的邊界曲面的外側(cè)（３）

斯托克斯公式=其中P、Ｑ、R在包含曲面在內(nèi)的空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),是認為邊界的分片光滑曲面，的正向與的側(cè)向符合右手規(guī)則。5、平面上曲線積分與途徑無關(guān)的條件設(shè)Ｐ、Q在開單連同區(qū)域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),A、B為G內(nèi)任意兩點，則以下命題等價:（1）與途徑L無關(guān)（２）對于G內(nèi)任意閉曲線L,(３)在Ｇ內(nèi)處處成立（4）在Ｇ內(nèi),Pdx＋Ｑｄy為某函數(shù)Ｕ（x，y)的全微分６、通量與散度、環(huán)流量與旋度設(shè)向量=Ｐ(x,ｙ，z)+Ｑ(x,ｙ,z)+R（x,y,ｚ)則通量(或流量)=其中=(cos,cos,cｏs）為上點(x,y，z）處的單位法向量。散度div＝＋對坐標的曲面積分與的形狀無關(guān)的充要條件是散度為零。旋度環(huán)流量向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量為=四、

難點解析本章中對在xoy面上的投影（為(＝其中為有向曲面上各點處的法向量與Z軸的夾角余弦。為在xoy上投影區(qū)域的面積。此規(guī)定直接決定了將一個第二類曲面積分化為二重積分時正負號的選擇,此規(guī)定貌似復(fù)雜，但其最基本的思想?yún)s非常簡樸：即基于用正負數(shù)來表達具有相反意義的量。比如,當(dāng)溫度高于零度時用正數(shù)表達，當(dāng)溫度低于零度使用負數(shù)表達。從引進第二類曲線積分的例子看是為了求穩(wěn)定流動的不可壓縮的流體流向指定側(cè)的流量。假如我們用正數(shù)來表達流體流向指定側(cè)的流量,很自然,當(dāng)流體流向指定側(cè)的反向時用負數(shù)表達就顯得合情合理了。因此上面的規(guī)定就顯得非常自然合理了。五、

典型例題例1、計算：圓周解:由輪換對成性，得＝=＝=例２、設(shè)L:為成平面區(qū)域D，計算解:（格林公式)==例３、求，其中為曲面的外側(cè)。解法一、將分為上半球面：和下半球面：解法二、運用高斯公式＝）ｄxdyｄz=0(對稱性）例４、求曲線y＝及所圍成的圖形的面積。解：求曲線的交點Ｂ(1,1)，C(，)法一、定積分法則所求面積為A=+=＝法二、二重積分法設(shè)所給曲線圍成的閉區(qū)域為D.則Ａ=＝＋=+=法三、曲線積分法設(shè)所給曲線圍成的圖形的邊界曲線為L,則A===++=＋（）=例5、計算，Ｌ：從點A(－Ｒ,０)到點B（Ｒ,０)的上半圓周。解:法一用曲線積分與途徑無關(guān)由于在xoy面上恒成立，且及在xoy面上連續(xù),所以曲線積分與途徑無關(guān)。于是==＝0法二、用曲線積分與途徑無關(guān),則=0（其中C（0,R)）法三、用曲線積分與途徑無關(guān),則=＝==0法四、用格林公式由于且及在閉曲線ACBA上圍成的閉區(qū)域Ｄ上連續(xù)。故由格林公式得==0于是=０＝0法五、用定積分計算,則L的參數(shù)方程為，Ｌ的起點A相應(yīng)與,綜點相應(yīng)于，于是＝==＝0例六、計算對坐標的曲面積分其中是的下側(cè)解：設(shè)為平面Ｚ=ｈ被錐面所圍成部分的上側(cè)。則=ｄｘdydz=)dxdydz=0又＝==0所以原式==0－0=0

六．曲線積分與曲面積分自測題一、填空：（45分)1、其中L為正向星形線2、L為ｘoy面內(nèi)直線x＝ａ上的一段，則3、設(shè)=++,則div＝4、=其中：平面x=０,y＝0，ｚ=0，x=1,y=2,ｚ=３所圍成的立體的表面外側(cè)。二、選擇題(45分)1、

設(shè)=P(ｘ，y）+Q(x,y）,(x,y)D，且P、Q在區(qū)域Ｄ內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又L:是Ｄ內(nèi)任一曲線,則以下4個命題中,錯誤的是A若與途徑無關(guān)，則在D內(nèi)必有Ｂ若與途徑無關(guān)，則在D內(nèi)必有單值函數(shù)u（x,y),使得du(ｘ,y）=P(x，y)dｘ+Q（x,y)dyC若在D內(nèi)，則必有與途徑無關(guān)D若對D內(nèi)有一必曲線Ｃ,恒有，則與途徑無關(guān)２、

已知為某函數(shù)的全微分，則a等于A-１;B0;C１；D2;３、

設(shè)曲線積分與途徑無關(guān),其中具有連續(xù)得到數(shù)，且＝0,則等于Ａ;B;C;D１;4、設(shè)空間區(qū)域由曲面平面ｚ=0圍成，其中a為正常數(shù),記的表面外側(cè)為S,的體積為V，則A０;ＢV;Ｃ2Ｖ；D3V;三、計算(610)1、

計算Ｉ=,其中為圓周:2、

計算曲線積分其中L為圓周,L的方向為逆時針方向。3、

計算其中