電能質(zhì)量分析與控制2-肖湘寧

第二章電能質(zhì)量的數(shù)學分析方法

第一節(jié)概述

電能質(zhì)量主要的分析方法可以分為三種：時域、頻域和基于數(shù)學變換的分析方法。時域仿真方法在電能質(zhì)量分析中應用最為廣泛。eg.:EMTP/EMTDC/NETOMAC系統(tǒng)暫態(tài)仿真MATLAB/PSPICE/SABER電力電子電路仿真第二章電能質(zhì)量的數(shù)學分析方法

第一節(jié)概述頻域分析方法主要用于電能質(zhì)量中諧波問題。

頻譜分布、諧波潮流計算基于數(shù)學變換的方法

主要指傅立葉變換方法、短時傅立葉變換方法、矢量變換方法以及小波變換方法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡分析方法。第二節(jié)傅立葉變換與波形的數(shù)學分析方法一、非正弦周期信號分解為傅立葉三角級數(shù)周期性電壓和電流等信號都可用一個周期函數(shù)表示為

f（t）=f（t+kT）（k=0，1，2……）（2-1）其中：T——基本周期非正弦周期函數(shù)滿足狄里赫利條件時可分解為傅立葉級數(shù)，而在電氣工程中所處理的光滑函數(shù)通常都能滿足這個條件。

傅立葉的三角級數(shù)形式為（2-2）也可寫成（2-3）式中——周期函數(shù)的角頻率，

h——諧波次數(shù)。

比較式（2-2）和式（2-3），對h次諧波可得出下列關系利用三角函數(shù)的正交性，可求得為

從上面分析可知，傅立葉級數(shù)展開結(jié)果是離散的傅氏系數(shù)組合。電力系統(tǒng)的非正弦量往往有某種對稱性，對稱性可使傅立葉級數(shù)簡化。奇對稱偶對稱鏡對稱雙對稱如，表2-1中的方波為奇函數(shù)，只含正弦項，將其坐標原點變?yōu)槿鐖D2-1（a）示，則其傅立葉級數(shù)為（2-4）但無論如何選擇計時起點，總是有

把各次諧波的有名值或?qū)τ诨ǖ南鄬χ底鞒梢灾C波次數(shù)或諧波頻率未橫坐標的直線圖，稱為幅頻譜圖或簡稱頻譜圖。圖2-1（b）為方波的幅頻特性，第h次諧波的幅值與1/h成正比。傅立葉級數(shù)具有無窮項，但在實際工程中只截取有限項。表2-1中列出了常見的幾種波形的傅立葉級數(shù)和表征畸變波形的系數(shù)。二、連續(xù)傅立葉變換設f（t）為以連續(xù)非周期時間信號，若f（t）滿足狄里赫利條件及（2－5）那么，f（t）的傅立葉變換存在，并定義為（2－6）起反變化為（2－7）

是的連續(xù)函數(shù)，稱為信號f（t）的頻譜密度函數(shù)，或簡稱為頻譜，它又可進一步分成實部和虛部、幅度譜和相位譜，即（2－8）（2－9）（2－10）式中稱為幅度值，稱為相位譜。顯然，傅立葉變換的結(jié)果是連續(xù)譜。三、離散傅立葉變化為了計算傅立葉變換，需要用到數(shù)值積分，即取f（t）在R上的離散點的值來計算這個積分。

在實際應用中，我們希望在計算機上實現(xiàn)信號的頻譜分析及其他方面的處理工作，對信號的要求是：在時域和頻域應是離散的，且都是有限長。由此，給出DFT的定義。

給定實的或復的離散時間序列，設該序列絕對可和，即滿足，則（n＝0，1，…,N-1）（2－11）被稱為序列的離散傅立葉變換。（n＝0，1，…,N-1）（2－12）被稱為序列的逆離散傅立葉變換。式（2－12）中，n相當于對時間域的離散化，k相當于頻率域的離散化，且它們都是以N點為周期的。而離散傅立葉序列是以為周期的，且具有共軛對稱性。式（2－11）和式（2－12）又可表示為

(2-13)由此，對于離散傅立葉序列，我們可以用矩陣的形式進行表述

(2-14)離散傅立葉變換(DFT)是數(shù)字信號處理中最基本也是最常用的運算之一，它涉及到信號與系統(tǒng)的分析和綜合這一廣泛的信號處理領域，實際上其他許多算法，如相關、濾波、諧估計等也都可化為DFT來實現(xiàn)。由公式(2-13)可知，求出N點需要次復數(shù)乘法，N(N-1)次復數(shù)加法。眾所周知，實現(xiàn)1次復數(shù)乘法需要4次實數(shù)相乘及2次實數(shù)相加，實現(xiàn)1次復數(shù)加法則需要2次實數(shù)相加。當N很大時，其計算量是相當可觀的。例如，若N=1024，則需要1048576次復數(shù)實數(shù)相乘。所需時間過長，難以“實時”計算。四、內(nèi)奎斯特定理和頻譜混疊現(xiàn)象由離散傅立葉變換式(2-13)系數(shù)的共軛對稱性，即，可以看出，即幅頻特性是與縱坐標軸對稱的。由的周期性，即及，可以看出，即幅頻特性為周期性的偶函數(shù)(見圖2-2)。當采樣點數(shù)為N時，由式(2-13)僅給出N/2個頻譜分量的數(shù)值。例如選取每周期128個采樣點時，只能得到64個及以下的諧波幅值。

由此可以對采樣定理作這樣的解釋：采樣頻率至少是原信號最高頻率的2倍以上，即，采樣才能正確地表述原信號的信息。通常將最高頻率的2倍頻率稱為內(nèi)奎斯特頻率。由圖2-3可見，當采樣頻率低于內(nèi)奎斯特頻率時，原信號中高于的頻譜分量將會低于的頻率中再現(xiàn)，即會出現(xiàn)頻譜的混疊，會使頻譜分析出現(xiàn)誤差。

頻譜的混疊為了防止出現(xiàn)頻譜的混疊，可先使原信號提供帶寬低于fs/2的低通濾波器，濾去高于fs/2的分量。對這樣的信號采樣并作離散傅立葉變換，所得頻譜不發(fā)生混疊。這樣原信號中低于fs/2的頻率分量能夠得到準確的表述，但是在濾波的過程中將會失掉高于fs/2的頻率分量。例如對于方波信號，如果不經(jīng)過低通濾波而對其采樣作離散傅立葉變換，則會出現(xiàn)頻率混疊而引入誤差；如果經(jīng)過低通濾波，比如使其只包含7次以下的諧波分量，則再對其采樣作16點以上的離散傅立葉變換的頻譜分析，使不會出現(xiàn)混疊。但這樣已預先在方波中舍去了高于7次的諧波分量。

五、快速傅立葉變換

快速傅立葉變換(FFT)最早由J.W.Cooley和J.W.Tukey于1965年提出，他們巧妙地利用W因子的周期性和對稱性，導出了高效的快速算法，即快速傅立葉變換算法(FFT)。FFT使N點DFT的乘法計算量由N^2次將為N/2log2次。以N=1024為例，計算量將為5120次，僅為原來的4.88%。因此人們公認，F(xiàn)FT的問世是數(shù)字信號處理發(fā)展史上的一個轉(zhuǎn)折點，也可以稱之為一個里程碑。

自J.W.Cooley和J.W.Tukey的快速傅立葉變換算法提出之后，圍繞這一算法的新算法不斷涌現(xiàn)。迄今為止，快速傅立葉變換的發(fā)展方向主要有兩個：一個是針對N等于2的整數(shù)次冪的算法，如基2算法、基4算法和分裂基算法等。另一個是N不等于2的整數(shù)次冪的算法，它是以Winograd為代表的一類算法，如素因子算法和Winograd算法等。下面介紹經(jīng)典的Cooley-Tukey時間抽取(DIT)基2FFT算法，對于其他的FFT算法，讀者可參考有關書籍。時間抽取(DIT)基2FFT算法：

對于式(2-12)，令，M為正整數(shù)。我們可將按奇、偶分成兩組，即令及，于是

(2-15)由于式中，故式(2-15)又可表示為

(2-16)

令(2-17)(2-18)那么(2-19a)

都是N/2點的DFT，是N點的DFT，因此單用式(2-19)表示并不完全。但由于

(2-19b)這樣用就可完整表示(前N/2點用式(2-19a)表示，后N/2點用式(2-19b)表示)。時，及的關系如圖2-4所示。由以上分析可見，只要求出區(qū)間內(nèi)各個整數(shù)k值所對應的值，即可求出區(qū)間內(nèi)的全部值，這一點恰恰是FFT能大量節(jié)省計算的關鍵所在。由此，一個

N點的DFT分解為兩個N/2點

的DFT后，計算全部共需次復數(shù)乘法和次復數(shù)加法，而直接計算N點的DFT需要次復數(shù)乘法和次復數(shù)加法，由此可見，僅僅作了一次分解，即可使計算量差不多節(jié)省了一半。既然這樣分解是有效的，由于，N/2仍然是偶數(shù)，所以可以進一步把每個N/2點子序列[即]再按奇偶部分分解為兩個N/4點子序列。我們可按上述方法繼續(xù)加以分解，則則可分別表示為

(2-20a)(2-20b)同理可得

(2-21a)(2-21b)若N=8，這時都是2點的DFT，無需再分，即上述過程可用圖2-5表示。其基本運算單元如圖2-6表示。

推廣到點的DFT的一般情況，不難看出，第m次分解的結(jié)果是由點的DFT兩兩組成共個點的DFT。由于，通過次分解后，最終達到了N/2個兩點DFT的運算，從而構(gòu)成了由x(n)到X(k)的M級運算過程。其迭代過程如圖2-7所示。

六、傅立葉變換的特點及其應用

1.傅立葉變換的特點傅立葉變換是時域到頻域相互轉(zhuǎn)換的工具。從物理意義上講，傅立葉變換的實質(zhì)是把這個波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可以把對原函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為其權系數(shù)即傅立葉變換的研究。

從傅立葉變換式中可以看出，這些標準基是由正弦波及其高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。雖然傅里葉譜變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從時域和頻域?qū)π盘栠M行觀察，但不能把二者有機結(jié)合起來。這時因為信號的時域波形中不包括任任何頻域信息，而其傅里葉譜是信號的功能，完全不具備時域信息。也就是說，對于傅里葉譜中某一頻率，不知道這個頻率是什么時候產(chǎn)生的。這樣，在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。

在電能質(zhì)量分析領域中，傅里葉變換得到了廣泛應用。但是，在運用FFT時，必須滿足以下條件：①滿足采樣定理的要求，即采樣頻率必須是最高信號頻率的2倍以上；②被分析的波形必須是穩(wěn)態(tài)的、隨時間周期變化的。當采樣頻率或信號不能滿足上述條件時，利用FFT分析就會產(chǎn)生“頻譜混疊”和“頻譜泄露”現(xiàn)象，給分析帶來誤差。此外，對于一些非平穩(wěn)信號，例如電能質(zhì)量領域中的電壓暫降等問題，由于信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要，且信號在局部有突變，對它們僅從時域或頻域上分析是不夠的，因此它們不適合用傅里葉變換來進行分析。這是由于FFT變換是對整個時間段的積分，時間信息得不到充分利用，且信號若有任何突變量，其頻譜將散布于整個頻帶。這些問題，可采用后面介紹的小波變換來進行分析。2.快速傅里葉變換的應用在諧波分析儀中，一般都是對電壓及電流兩個時間信號同時進行采樣，同時作頻譜分析，以便快速給出它們的諧波幅值、相角以及諧波功率等。設有兩個離散時間序列，它們的頻譜序列分別為，由于兩者均為實序列，故可作成復序列一起進行FFT計算。設

(2-22)

頻譜算式為

(2-23)對按FFT方法計算，得

(2-24)(2-25)由于系數(shù)，故從而得(2-26)由式(2-24)及式(2-26)解得(2-27)所以，可以用兩個實序列構(gòu)成一個復序列，求其傅立葉變換，然后用式(2-27)求取兩個實序列的傅立葉變換。諧波分析儀可以通過及時測定電網(wǎng)電壓和電流中各次諧波的含有率和相角，從而掌握電網(wǎng)諧

諧波潮流分布、諧波阻抗和諧波放大等情況；另外，還可以用作電網(wǎng)諧波的實時監(jiān)控。諧波分析儀主要由完善的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和很強處理能力的FFT程序、統(tǒng)計分析程序以及實現(xiàn)各項功能的監(jiān)控程序組成。其工作原理框圖如圖2-8

所示。

諧波分析儀的軟件主要由實時數(shù)據(jù)采集子程序、FFT處理與統(tǒng)計子程序、功能操作子程序和顯示與輸出打印子程序四部分組成，其中FFT處理與統(tǒng)計子程序是軟件的核心部分。諧波分析儀的基本工作流程如圖2-9所示。

七、短時傅立葉變換

為了彌補傅里葉變換不能同時進行時域和頻域局部分析的缺陷，DennisGabor于1946年提出了短時傅立葉變換(Short-timeFourierTransform，也稱窗口傅立葉變換)。短時傅立葉變換的基本思想是：在傅立葉變換的框架中，把非平穩(wěn)過程看成是一系列短時平穩(wěn)信號的疊加，而短時性則是通過一個參數(shù)的平移來覆蓋整個時域，也就是說采用一個窗函數(shù)對信號作乘積運算來實現(xiàn)在附近的開窗和平移，然后再進行傅里葉變換。其表達式為

(2-28)

式中——積分核，；

——的復共軛。由短時傅立葉變換公式得知，表示的是的以為中心、左右為的局部時間內(nèi)的頻譜特性。窗口寬度的大小決定了時間域的分辨率。式(2-28)中實際是[即加窗后的]的傅氏變換。設為窗口函數(shù)的傅氏變換，由（2-29）可知，在時，短時傅立葉變換實際上描述的是信號頻譜經(jīng)頻域窗

卷積平滑后的結(jié)果[見式(2-29)]。其平滑作用對原函數(shù)頻譜的影響由的窗口決定，因此窗口函數(shù)的頻域窗口的大小又決定了短時傅立葉變換的頻域分辨率?？傊?，短時傅立葉變換的時域和頻域的分辨率是由窗函數(shù)在時域和頻域的窗口大小直接決定的，一旦窗口函數(shù)選定，其時頻分辨率就已經(jīng)確定，并且不隨頻率和時間而變化。通常，為了提高時域、頻域的分辨率，我們希望、都盡量小。但由傅立葉變換的性質(zhì)可知，、不可能同時減小，其一方面的減小必引起另一方面的增大。因此，對同一窗口函數(shù)來說，時域、頻域的分辨率是相關聯(lián)的。著名海森堡測不準原理告訴我們：(c為一常數(shù))，因此時域、頻域的分辨率不可能無限地無限提高。

由此可見，短時傅立葉變換雖然在一定程度上克服了傅立葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但也存在著自身不可克服的缺陷，即一旦窗函數(shù)選定，其時頻分辨率就已確定，并且不隨頻率和時間而變化。對于要分析的非平穩(wěn)信號來說，也許某一小時間段上是以高頻信息為主，我們希望以小時間窗口進行分析，而在緊跟著的一個長時間段上的一些低頻信息，我們希望以大時間窗口進行分析，因此，對一個時變的非穩(wěn)態(tài)信號，我們很難找到一個“好的”時間窗口來適合不同的時間段，這是短時傅立葉變換的不足之處。再者，短時傅立葉變換很難實現(xiàn)高效算法，由此限制了期應用范圍。

第三節(jié)小波變換與電能質(zhì)量擾動識別

小波(wavelet)變換是由法國理論物理學家Grossmann與法國數(shù)學家Morlet等共同提出的，是當前應用數(shù)學中一個迅速發(fā)展起來的新領域。經(jīng)過近十多年的探索與研究，小波變換的重要數(shù)學形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎更加堅實。與傅立葉變換、窗口傅立葉變換(Gabor變換)相比，小波變換是時間和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取有用的信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進行

多尺度細化分析(MultiscaleAnalysis)，解決了傅立葉變換不能解決的許多困難問題，因而贏得了“數(shù)學顯微鏡”的美譽。

小波變換在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數(shù)據(jù)壓縮、CT成像、地震勘探、大氣與海洋波的分析、分形力學、故障診斷等許多方面都取得了具有科學意義和應用價值的重要成果。小波變換在電力系統(tǒng)分析中也有廣泛的應用。除了微分方程的求解問題之外，原則上，能用Fourier分析的地方均可用小波分析，甚至能獲得更好的結(jié)果。一、連續(xù)小波變換

定義1設,其Fourier變換為,當滿足允許條件

(2-30)

時，我們稱為一個基本小波或母小波(MotherWavelet)。將基本小波伸縮和平移后得

(2-31)

稱其為一個小波序列。其中為伸縮參數(shù)，b為平移參數(shù)。對于任意函數(shù)的連續(xù)小波變換為

(2-32)其重構(gòu)公式為

(2-33)

由于基本小波生成的小波在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，所以還應滿足一般函數(shù)的約束條件

(2-34)故是一個連續(xù)函數(shù)。為了滿足完全重構(gòu)條件式(2-34),在原點必須等于0，即

(2-35)二、離散小波變換

伸縮參數(shù)和平移參數(shù)b為連續(xù)取值的小波變換是連續(xù)小波變換，主要用于理論分析方面。在實際應用中，需要對伸縮參數(shù)和平移參數(shù)b進行離散化處理，通常選取，，這里m，n是整數(shù)，是大于1的固定伸縮步長，且與母小波的具體形式有關。這種離散化的基本思想體現(xiàn)了小波變換作為“數(shù)學顯微鏡”的主要功能。選擇適當?shù)姆糯蟊稊?shù)，在一個特定的位置研究一個函數(shù)或信號過程，然后再平移到另一位置繼續(xù)進行研究；如果放大倍數(shù)過大，也就是尺度太小，就可按小步長移動一個距離，反之亦然。這一點通過選擇遞增步長反比于放大倍數(shù)(也就是與尺度成比例)

很容易實現(xiàn)。而放大倍數(shù)的離散化則可由上述平移參數(shù)b的離散化來實現(xiàn)，于是離散小波可以定義為相應的小波變換

(2-36)

就稱為離散小波變換。三、二進制小波變換

為了使小波變換具有可變化的時間和頻率分辨率，適應待分析信號的非平穩(wěn)性，我們很自然地需要改變和b的大小，以使小波變換具有“變焦距”的功能。換言之，在實際中，經(jīng)常采用的是動態(tài)的采樣網(wǎng)絡，最常用的是二進制的動態(tài)采樣網(wǎng)絡，即、,每個網(wǎng)絡點對應的尺度為,而平移為。由此得到的小波

(2-37)稱為二進制小波(DyadicWavelet)。二進制小波在分析信號時具有變焦距的作用。假定有一放大倍數(shù)為，對應地觀測到信號的某部分內(nèi)容。如果想進一步觀看信號更小的細節(jié)，就需要增加放大倍數(shù)，即減少值；反之，若想了解信號更粗的內(nèi)容，則可以減少放大倍數(shù)，即增大值。正是在這個意義上，小波變換被譽為數(shù)學顯微鏡。

定義2設函數(shù)，如果存在兩個常數(shù)使得穩(wěn)定性條件幾乎處處成立，即

(2-38)則為一個二進制小波。若，則式(2-38)稱為最穩(wěn)定條件。而函數(shù)序列叫作的二進制小波變換，其中

上式相應的逆變換為二進制小波不同于連續(xù)小波的離散小波，它只是對尺度參數(shù)進行了離散化，而對時間域上的平移參量保持連續(xù)變化。因此，二進制小波不破壞信號在時間域上的平移不變量，這也正是它同正交小波基相比所具有的獨特優(yōu)點。四、多分辨分析

多分辨分析(Multi-resolutionAnalysis—MRA)，又稱為多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概念上的理論。其思想的形成來源于工程，其創(chuàng)建者S.mallat是在研究圖像處理問題時建立這套理論的。當時人們研究圖像的一種很普遍的方法是將圖像在不同尺度下分解，并將結(jié)果進行比較，以取得有用的信息。Meyer正交小波基的提出，使得S.mallat想到是否可以用正交小波基的多尺度特性將圖像展開，以得到圖像不同尺度的“信息增量”。

正是這種想法導致了多分辨分析理論的建立。多分辨分析不僅為正交小波基的構(gòu)造提供了一個簡單的方法，而且為正交小波變換的快速算法提供了理論依據(jù)。多分辨分析思想又同多采樣率濾波器組不謀而合，使得我們又可將小波變換與數(shù)字濾波器的理論結(jié)合起來。因此，多分辨分析在正交小波變換理論中具有非常重要的地位。

若我們把尺度理解為照相機的鏡頭的話，當尺度由大到小變化時，就相當于將照相機鏡頭由遠及近地接近目標。在大尺度空間里，對應以遠鏡頭來觀察目標，只能看到目標大致的概貌；在小尺度空間里，對應以近鏡頭來觀察目標，可觀測到目標的細微部分。因此，隨著尺度由大到小的變化，在各尺度上可以由粗及精地觀察目標，這就是多分辨(即多尺度)的思想。定義3

在空間中,多分辨分析是指滿足下列條件的一個空間序列：（1）單調(diào)性：，對任意；（2）逼近性：,；（3）伸縮性：；（4）平移不變性：對于任意，有；（5）正交基存在性：存在，使得構(gòu)成的正交基。

定理1

設是空間的多分辨逼近，則存在函數(shù)，使

(2-39)

構(gòu)成的規(guī)范正交基，其中稱為尺度函數(shù)。定理2

設是空間的多分辨逼近，為尺度函數(shù)，H為所對應的濾波器，空間是空間在上一級空間的正交補空間，則存在函數(shù)，其傅立葉變換滿足

(2-40)使構(gòu)成空間的規(guī)范正交基，其中稱為小波函數(shù)，G為所對應的濾波器。設是在空間中的投影，分辨對應在分辨率下的平滑逼近，是在空間中的投影，對應量平滑逼近間的細節(jié)差異，則有如下關系

(2-41)其中

(2-42a)(2-42b)(2-42c)

式中——對應在分辨率下的離散逼近；

——對應在分辨率下的離散細節(jié)，亦即小波變換系數(shù)。由于分辨率為的多分辨率分析子空間可以用有限子空間逼近，即

(2-43)任何函數(shù)，都可根據(jù)在空間中的投影和在空間中的投影完全重構(gòu)，即

(2-44)

五、Mallat算法

信號分析專家Mallat受金字塔算法的啟發(fā)，以多分辨分析為基礎提出了著名的快速小波算法——Mallat算法(FWT)，這是小波理論突破性的成果，其作用和地位相當于傅里葉分析中的快速傅立葉變換(FFT)。

Mallat算法的主要思想是：如已知信號在分辨率下的離散逼近，則信號在分辨率下的離散逼近可由尺度函數(shù)構(gòu)成的低通濾波器對濾波而得；信號在兩種分辨率下的離散逼近之差——離散細節(jié)，可由小波函數(shù)構(gòu)成的高通濾波器對濾波而得。具體離散算法為

(2-45)

式中——分別為低通濾波器和高通濾波器的系數(shù)。從數(shù)字濾波器的角度來看，式(2-45)所描述的系數(shù)一次分解總過程可用如2-11表示。如以表示信號在尺度2°下的采樣近似值，則連續(xù)重復以上過程可得如圖2-11所示的原始采樣信號多尺度小波分解過程算法。

通過圖2-11所示的不斷分解，可得信號在不同分辨率下的離散逼近和離散細節(jié)，從而可對信號進行所希望的分析。Mallat算法不僅包括小波分解過程算法，還包括小波重構(gòu)過程算法。小波重構(gòu)過程是小波分解過程的逆過程，是用低分辨率下的離散逼近和離散細節(jié)重新構(gòu)造高分辨率下的離散逼近的過程。具體離散重構(gòu)算法如下

(2-46)信號重構(gòu)過程算法如圖2-12所示。連續(xù)重復以上過程可得利用小波分解后的系數(shù)重構(gòu)信號過程，如圖2-13所示。小波變換的出現(xiàn)為電能質(zhì)量分析提供了新的數(shù)學工具和研究方向。目前,國內(nèi)外已有許多學者開始應用小波變換對電能質(zhì)量若干問題進行研究,其應用主要集中在對電能質(zhì)量擾動進行檢測和定位、電能質(zhì)量擾動信號數(shù)據(jù)壓縮、電能質(zhì)量擾動識別以及暫態(tài)電能質(zhì)量擾動建模與分析等方面。在研究問題的過程中,一般采用的小波母函數(shù)有Morlet小波、Daubechies小波、樣條小波、Meyer小波等,而采用的算法一般為Mallat在多分辨(多尺度)分析(MRA)基礎上提出的塔式快速小波算法——Mallat算法。六、基于小波變換的電能質(zhì)量擾動分析

一方面，在應用小波變換方法對電能質(zhì)量擾動進行檢測和定位的問題上,大量的文獻表明,目前基于小波變換對電能質(zhì)量擾動進行檢測和定位所采用的小波及相應算法大體上可分為兩大類。一種是連續(xù)小波變換。盡管這種方法具有檢測精度高、抗噪性能好的優(yōu)點,但由于計算量太大,使得它的實際應用受到了限制。另一種是離散正交小波變換。該方法具有實現(xiàn)簡單、計算效率高{采用濾波器技術對長度為N的序列進行離散序列小波變換,需要O(N)次計算量,而采用FFT方法計算時需要O[Nlog(N)]次計算量}等優(yōu)點,克服了連續(xù)小波變換的缺點,已成為電能質(zhì)量擾動分析中普遍采用的方法。但由于該方法抗噪能力不如連續(xù)小波變換,當檢測到環(huán)境中的背景噪聲較強時,該方法的檢測精度將大大下降。

另一方面，在電能質(zhì)量擾動識別問題上，可采用小波變換和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(ANN)相結(jié)合的方法，即將小波變換在每個尺度得到的擾動信息作為擾動信號的特征量，并將這些特征量作為相應ANN的輸入信號，供ＡＮＮ來辨識擾動類型。該方法可對波形進行自動識別，并確定擾動類型。下面對小波分析在電能質(zhì)量擾動檢測和定位中的應用進行舉例說明。

電壓暫降(voltagesag)是配電系統(tǒng)中最常見的一種電壓擾動，當系統(tǒng)中發(fā)生短路故障、大容量電動機啟動、變壓器或電容器組投切時，都可能引起電壓暫降。近年來，微處理器控制設備和電力電子設備在工業(yè)中得到廣泛的應用，這些設備對電壓暫降特別敏感，電壓暫降往往會導致設備損壞或誤動作。因此，電壓暫降已成為近年來各方面都很關注的電能質(zhì)量問題，因而對它進行監(jiān)測和統(tǒng)計也就顯得特別重要。過去常采用電壓下降深度和持續(xù)時間兩個指標來表征電壓暫降。這兩個指標通常是從電壓均方根值曲線得到的，因此，很難對敏感的電力電子設備在供電電壓發(fā)生電壓暫降的起止時刻、電壓不平衡程度、畸變度和相位移等指標。其中，電壓暫降擾動起止時間的精確確定則是為獲取以上指標而首先要解決的問題。電壓暫降的起止時刻常常對應著電壓信號的奇異點，小波分析由于可在時-頻域局部化，并且時窗和頻窗的寬度可調(diào)節(jié)，所以能夠檢測到突變信號；當取小波母函數(shù)為平衡函數(shù)的一階導數(shù)時，信號的小波變換的模在信號的突變點取得局部極大值；如再考慮多分辨(多尺度)小波分析，則隨著尺度的增大，噪聲引起的小波變換模的極大值點迅速減少，因而突變信號引起的小波變換模的極大值點得以顯露，所以小波分析不但可以在低信噪比的信號中檢測到突變信號，而且可以濾去噪聲恢復原信號。因此可以通過小波分析來檢測擾動產(chǎn)生的奇異點，從而實現(xiàn)對電壓變換擾動起止時刻的精確確定。

小波變換的一個重要特點是能表征函數(shù)的奇異性。函數(shù)在某點具有奇異性，是指信號在該點間斷或其階導數(shù)不連續(xù)。在數(shù)學上，通常采用Lipschitz指數(shù)來表征信號的奇異性。如信號在點的Lipschitz指數(shù)，則稱信號在點是奇異的。長期以來，傅立葉變換是研究信號奇異性的主要工具。一般可通過觀察信號的傅立葉變換的衰減性判斷其奇異性。

但由于傅立葉變換缺乏空間局部性，因而只能確定信號的整體性質(zhì)，而難以確定奇異點在空間的位置及其分布情況。小波變換則具有很好的空間局部化性質(zhì)，因而可用來分析信號的局部奇異性，通過信號的小波變換模的極值點在多尺度上的綜合表現(xiàn)來表示信號的突變或暫態(tài)特征。

圖2-14為一電壓暫降擾動波形。由圖可見，對應于電壓暫降擾動發(fā)生時刻(點a處)和電壓暫降擾動波形恢復時刻(點b處)，電壓的時域波形具有局部奇異性。由于小波變換所得小波系數(shù)數(shù)值的大小取決于信號在奇異點附近的特性以及小波變換所選取的尺度，因而在較小的尺度上，它能夠提供信號的局部化性質(zhì)。因此，信號在突變點的奇異點可通過小波變換模的局部極小值來描述。1.信號奇異性檢測原理

設積分為1而在無限遠處衰減為0的任意光滑函數(shù)用表示。由于任何一個低通光滑函數(shù)的導數(shù)為帶通函數(shù)，即滿足，所以可作為小波變換的基本小波。用表示函數(shù)對尺度因子的伸縮，則對應尺度因子的小波函數(shù)為信號在尺度上對應于基本小波的小波變換為

(2-47)(2-48)對于固定的尺度，即信號的局部的突變點，而的零交叉點對應于[即信號被平滑函數(shù)平滑]的拐點。因此，當小波取為光滑函數(shù)的一階導數(shù)[即]

時，小波變換模極大值的點對應于信號的突變點。另外，如在某區(qū)間，信號的小波變換系數(shù)在小尺度上無局部模極大值，則該信號在該區(qū)間無奇異性，信號的非Lipschitz指數(shù)的點集的閉包必定包含在信號的小波變換模極大值的閉包內(nèi)。這說明信號所有奇異點的位置，在尺度趨于零的過程中都可沿小波變換模極大值線定位，即可以利用小尺度上的小波變換模極大值點的位置來檢測信號的奇異點。

由于在電壓暫降擾動信號發(fā)生的起止社科，電壓波形中會出現(xiàn)一個細小的突變，通過小波變換可將這細小突變放大、顯示，從而檢測出這一突變，即能夠檢測出突變所對應的電壓暫降擾動信號的發(fā)生時刻和恢復時刻，這兩次突變的時間間隔即為擾動持續(xù)時間。這樣，就可以實現(xiàn)對短時低電壓擾動信號突變時刻的定位。2.檢測中的信號去噪

由于實際電壓信號的測量過程中總會引入噪聲，即檢測到的電壓擾動信號是由原始擾動信號和噪聲線性組合而成的。小波變換上線性變換，因此檢測到的信號的小波變換值也是由原始擾動信號的小波變換值和噪聲的小波變換值疊加而成的。這樣，小波變換模極大值也就是有可能是由檢測噪聲所產(chǎn)生。因此，對于實際電壓信號，當背景噪聲信號較強時，僅利用小波變換模極大值檢測其奇異點從而判斷擾動的發(fā)生時刻和恢復時刻，有可能會產(chǎn)生較大誤差。

定理3

函數(shù)的奇異點與小波變換模極大值之間有以下關系：如為函數(shù)的局部奇異點，即在該點上函數(shù)的小波變換有極大值，則在的某個領域內(nèi)對任意給定的，存在一常數(shù)A，使在采用離散二進制尺度的小波變換中，上式變?yōu)椤Ｒ虼擞?/p>

(2-49)由式(2-49)可知，如函數(shù)在t處的Lipschitz指數(shù)為正值，則隨著j的增大，尺度不斷增大，小波變換模極大值的幅值也變大；如函數(shù)具有負的Lipschitz指數(shù)，則情況相反。通常認為檢測噪聲為噪聲，是一個幾乎處處奇異的隨機分布函數(shù)，具有負的Lipschitz指數(shù)。因此，由式(2-49)可知，其小波變換模極大值的幅值將隨尺度j的增大而減小，從而主要集中在小尺度上。而一般電壓擾動信號具有正的Lipschitz指數(shù)，其小波變換模極大值的幅值隨尺度j的增大而增大。由此，可根據(jù)電壓擾動信號噪聲的小波變換模極大值在不同尺度上傳遞特性的不同，將擾動信號所對應的小波變換模極大值與由白噪聲引起的小波變換模極大值區(qū)別開來，然后根據(jù)擾動信號所對應的小波變換模極大值點來判斷電壓電壓暫降擾動的開始點和結(jié)束點的位置。3.電壓暫降擾動信號檢測算法

取光滑函數(shù)為三次樣條光滑函數(shù)，則其一階導數(shù)為緊支二次樣條小波函數(shù)。對應的波形如圖2-15所示。三次樣條光滑函數(shù)和緊支二次樣條小波函數(shù)相應的傅立葉變換分別為具有緊支集的二次樣條小波函數(shù)相應的濾波器傳遞函數(shù)為采用上述小波在5個相鄰尺度上計算信號的小波變換，并將其存入數(shù)組，檢測在這5個相鄰尺度上小波變換的極值。如在這5個相鄰尺度上相應位置都有小波極值，而且其值不小于某一定值，則這一點便是候選點。

如上所述，檢測噪聲也可能產(chǎn)生小波變換模極大值，因此，需采用以下方法將其與擾動信號區(qū)別開來。在不同尺度上，當某小波變換的系數(shù)的模大于其相鄰兩點的值且至少嚴格大于其中一點的值時，記下該點坐標和相應的小波變換系數(shù)；然后，將不同尺度上的小波變換模極大值按尺度增加的次序排列起來，即可得信號的小波變換模極大值圖。在小尺度上，小波變換的時間定位最精確，但由于檢測噪聲的存在，特別是當噪聲較強時，有可能無法區(qū)分擾動信號的奇異點與檢測噪聲。但是，隨著尺度數(shù)的增加，由擾動信號奇異點產(chǎn)生的小波變換模極大值逐漸增大，而由檢測噪聲產(chǎn)生的小波變換模極大值要比檢測噪聲產(chǎn)生的小波變換模極大值大得多，從而可將兩者區(qū)別開來。為此，可在較大尺度上選擇閾值，將每一小波變換模極大值與該尺度上的最大小波變換模極大值相比，如比值小于閾值，則說明該小波變換模極大值是由噪聲產(chǎn)生的，可將其去除。然后對于尺度上余下的各極大值點向上搜索其對應的模極大值線，并將尺度上不在任一模極大值線上的極大值點舍去，則在小尺度上剩下的小波變換模極大值點中幅值最大的2個模極大值所對應的就是電壓暫降發(fā)生的開始點和恢復點。4.仿真算例圖2-16為實測的電壓暫降擾動波形。圖2-17為原擾動信號采用本文中提出的緊支二次樣條小波函數(shù)在5個二進尺度上所得小波變換的結(jié)果。圖2-18為原擾動信號及相應各尺度上小波變換模極大值。圖2-19為原擾動信號去除檢測噪聲影響后各尺度上的小波變換模極大值。由圖2-18可見，在第一級尺度上，由于檢測噪聲的存在，小波變換模極大值點的密度很大。隨著小波變換尺度的增大，那些與檢測噪聲相對應的模極大值點的幅值不斷減小，小波變換模極大值點的密度很快減小。由圖2-19可知，在小尺度上，根據(jù)幅值最大的兩個模極大值點，可以很容易地判斷出相應的短時低電壓發(fā)生的開始點和恢復點以及擾動的持續(xù)時間。仿真結(jié)果表明：信號的局部奇異性可通過信號的小波變換模極大值來表征。信號奇異點對應的小波變換模極大值與檢測噪聲對應的小波變換模極大值在不同的小波變換尺度上的傳遞性質(zhì)上不同的。利用這一特性，可以用小波變換對電能質(zhì)量分析中的電壓暫降信號的局部奇異性進行分析，實現(xiàn)電壓暫降擾動的產(chǎn)生、結(jié)束時刻的精確定位。

第四節(jié)矢量變換與瞬時無功功率理論

在電工技術中，常將一組變量以列矩陣來表示，并稱其為矢量；一組變量的線性變換以矩陣形式表示稱為矢量變換。在電能質(zhì)量分析和控制中，往往通過矢量變換使問題的分析求解得以簡化。例如，當三相供電系統(tǒng)供電電壓為對稱的正弦交流時，可通過矢量變換，用撤除負荷電流基波有功分量的補償電流矢量作為可控變量，來實時補償三相負荷的無功功率變動量，以抑制電力系統(tǒng)的電壓動態(tài)變化。

矢量變換有多種形式，可分為變換、變換以及120變換等。

從坐標變換和電機工程的觀點來看，變換和120變換屬于定子坐標系變換，而變換屬于轉(zhuǎn)子坐標系變換。一、矢量變換

1.變換假定同步電機的定子三相繞組空間上互差120°，且通以時間上互差120°的三相正弦交流電，此時，在空間上會建立一個角速度為的旋轉(zhuǎn)磁場。另外，若定子空間上有互相垂直的兩相繞組,且在繞組中通以互差90°的兩相平衡交流電流時，也能建立與三相繞組等效的旋轉(zhuǎn)磁場,因而可用兩相繞組等效代替定子三相繞組的作用。這就是變換的思路,也是變換的思路,也是變換的物理解釋。如圖2-20所示，習慣上取相軸線與a相軸線重合

(為的是使變換關系式簡化并且具有統(tǒng)一的形式)，相繞組軸線則越前相

90°。從上面的分析可以看出，變換是根據(jù)電機雙反應原理所作的變換，其變換后的參考坐標仍置于電機定子側(cè)，abc三相正弦交流電流經(jīng)過變換后，在兩相繞組上呈現(xiàn)為兩相交流電。

假設同步電機的定子三相繞組通以時間上互差120°的三相正弦交流電，其分別為，而經(jīng)過變換后的兩相電流分別為，則變換的公式為

(2-50)其反變換為(2-51)2.dq變換

變換，即著名的派克變換，是一種將參考坐標自旋轉(zhuǎn)電機的定子側(cè)轉(zhuǎn)移到轉(zhuǎn)子側(cè)的坐標變換。1928年，派克(R.H.Park)提出用坐標系統(tǒng)來表示同步電機基本方程，奠定了同步電機暫態(tài)分析的理論基礎、經(jīng)過半個多世紀，變換在電能質(zhì)量分析、無功補償及電機調(diào)速等技術領域又開拓了新的應用。

如圖2-21所示，定子三相繞組的軸線a、b、c順序逆時針排列，轉(zhuǎn)子d軸相對定子a相軸線逆時針以角速度旋轉(zhuǎn)(初角度的選擇任意)，q軸超前

d軸90°電角度。

從物理的角度來看，定子三相電流相量的作用與轉(zhuǎn)子兩軸線直流電流以角速度(相對定子a相軸線)旋轉(zhuǎn)相當。相當于定子三相基波有功電流的作用，而相當于定子三相基波無功電流的作用。這就是變換的思路，也是變換的物理解釋。其矢量圖如圖2-22所示。

由圖2-22可得

(2-52)由式(2-52)可以解出

(2-53)

若由式(2-53)求解式(2-52)，則需增加一個方程，在有零序電流時增加，而在無中性線或無零序電流時，則增加。此外，為使三相和兩相的變換功率守恒(即三相功率之和等于兩相功率之和)，對變換系數(shù)進行修改，最終可得標準變換矩陣方程式為

(2-54)其反變換矩陣方程式為

(2-55)通過上面分析可以看出，經(jīng)過變換、三相交流系統(tǒng)中的基波電流有功分量和無功分量在d-q坐標系表示為直流分量(相當于定子三相基波有功電流，而相當于定子三相基波無功電流)。換一個角度講，當被變換的三相電流軸既有基波電流，又有高次諧波電流時，那么，經(jīng)過變換后所獲得的直流分量對應原來的h-1次諧波電流。因此，在電能質(zhì)量分析中，可以利用變換及反變換的結(jié)果來獲取除了基波成分之外的其他諧波分量之和。另外，通過以上分析可知，變換和變換的結(jié)果是有本質(zhì)區(qū)別的。變換屬于定子坐標系變換，其變換后的結(jié)果仍是頻率保持不變的交流分量，且變換后兩變量為正交分量；而變換則屬于轉(zhuǎn)子坐標系變換，其變換后的結(jié)果為直流分量(對應原來的基波電流)和諧波分量(對應原來的h-1次諧波電流)?！纠?-1】若給出無中性線的三相不平衡波動負荷的三相電流，在電源僅向負荷提供與電壓同相的基波有功電流的情況下，如何實現(xiàn)負荷的基波無功電流和諧波電流的補償？解設三相不平衡波動負荷的三相電流分別為,

通過變換可得

(2-56)將上式中的計算結(jié)果分解為

(2-57)

式中——分別為的直流分量；

——分別為的交流分量。為補償負荷的基波無功電流和諧波電流，而電源只向負荷提供與電壓同相的基波有功電流，只要將變換至軸的電流，經(jīng)選頻電路濾除的直流分量，便可得欲被補償?shù)娜酂o功電流()，從而構(gòu)成補償電流矢量，以該矢量為可控變量，控制靜止無功補償器的輸出。由反變換矩陣方程式(2-55)可算出補償電流為

(2-58)上述變換矢量控制框圖可用2-23表示。

3.120變換

120變換又稱對稱分量變換，它是一種把三相電流相量用正序、負序和零序?qū)ΨQ分量來表示的變換。這種變換方法在《電力系統(tǒng)暫態(tài)分析》中已有詳細闡述，這里不再作詳細的說明，只列出其變換公式以供參考。其變換公式為

(2-59)

式中，互為共軛。

120變換的反變換公式為

(2-60)4.矢量相互變換的矩陣算式

(1)坐標系矢量和坐標系矢量

(2-61)(2-62)(2)坐標系矢量和120坐標系矢量

(2-63)(2-64)(3)坐標系矢量和120坐標系矢量

(2-65)(2-66)三、瞬時無功功率理論

三相電路瞬時無功功率理論由S.Fryze、

W.Quade和Akagi(赤木泰文)等先后提出，隨后

得到廣泛深入地研究并逐漸完善。該理論突破了傳統(tǒng)的以平均值為基礎的功率定義，系統(tǒng)地定義了瞬時無功功率、瞬時有功功率等瞬時功率量，以該理論為基礎，可以得到用于有源電力補償器的諧波和無功電流實時檢測方法。此方法在工程應用中受到極大的關注。

1.瞬時有功功率和瞬時無功功率

設三相平衡電路各項電壓和電流的瞬時值分別為和。為了分析問題方便，把它們變換到兩相正交的坐標系上，經(jīng)變換可以得到兩相瞬時電壓和兩相瞬時電流，即

(2-67)(2-68)式中

在圖2-24所示的平面上,矢量和分別可以合成為(旋轉(zhuǎn))電壓矢量和電流矢量(實際上矢量和分別為和在軸和軸的投影)，即

(2-69)(2-70)

式中根據(jù)式(2-67)和式(2-68)引入瞬時有功功率和瞬時無功功率，有

(2-71)(2-72)式(2-71)和式(2-72)寫成矩陣形式為

(2-73)

式中把式(2-67)、式(2-72)代入上式，可得出對于三相電壓、電流的表達式

(2-74)(2-75)

由此可將和作出含項的分解。如果不作變換，在有中線電流的情況下，三相有3個獨立電流分量，就不能唯一確定地將三相電流作出含項的分解，這就是為什么要作變換來分析的一個原因。

2.瞬時有功電流和瞬時無功電流

定義4

三相電路瞬時有功電流和瞬時無功電流分別為矢量在矢量及其法線上的投影，即

(2-77a)(2-77b)

式中定義5

相的瞬時無功電流(瞬時有功電流),為三相電路瞬時無功電流(瞬時無功電流)分別在()軸上的投影，即

(2-78a)(2-78b)(2-78c)(2-78d)

3.瞬時無功功率理論和傳統(tǒng)功率理論比較

傳統(tǒng)意義上的有功功率、無功功率等是在平均值基礎上定義的，而瞬時無功功率理論軸的概念，都是在瞬時值的基礎上定義的。瞬時無功功率理論中的概念，在形式上和傳統(tǒng)理論非常相似，可以看成是傳統(tǒng)理論的推廣和延伸。下面分析三相對稱電壓和電流均為正弦波時的情況，設三相電壓、電流分別為