第七章 第二講 偏導(dǎo)數(shù)

第二講偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中。

嶺：1、本義:山道;山坡；2、頂上有路可通行的山,亦泛指山峰；3、相連的山,山脈；4、高大的山脈;山脈的干系。峰：1、山頂；

2、最高點(diǎn);頂點(diǎn)；

3、拔地而起的高山；

4、突起。一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法類似地,可定義函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的定義

下頁設(shè)函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)的某一鄰域內(nèi)有定義若極限存在則稱此極限為函數(shù)zf(x

y)在點(diǎn)(x0

y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)

記作下頁一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義

偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)

如果函數(shù)zf(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么f(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)),記作偏導(dǎo)函數(shù)下頁一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義

偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)

偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)

下頁偏導(dǎo)函數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)

例如三元函數(shù)uf(x

y

z)在點(diǎn)(x

y

z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為其中(x

y

z)是函數(shù)uf(x

y

z)的定義域的內(nèi)點(diǎn)

偏導(dǎo)數(shù)的求法

求函數(shù)對(duì)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只要把其它自變量看作常數(shù),然后按一元函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)即可.

下頁偏導(dǎo)函數(shù)

例1

求zx23xyy2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).

解

例2

求zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù).

解

下頁

解

證

下頁

例3

例4

練習(xí)求三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解把y和z看作常數(shù),得到把z,x看作常數(shù),得到把x,y看作常數(shù),得到

證

本例說明一個(gè)問題:偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào),不能看作分子分母之商.

下頁例5

已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證下頁偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]yz=f(x,

y0)z=f(x0,

y)是截線z=f(x,

y0)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率.是截線z=f(x0,

y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y是截線z=f(x,

y0)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Tx對(duì)x軸的斜率.是截線z=f(x0,

y)在點(diǎn)(x0,

y0)處的切線Ty對(duì)y軸的斜率.下頁偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性

對(duì)于多元函數(shù)來說,即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).例如首頁但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù).在點(diǎn)(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示：提示：當(dāng)點(diǎn)P(x

y)沿直線ykx趨于點(diǎn)(00)時(shí)有因此函數(shù)f(x

y)在(00)的極限不存在當(dāng)然也不連續(xù)

二、高階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)zf(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導(dǎo)數(shù),則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)zf(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).函數(shù)zf(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè):其中fxy(x,y)、fyx(x,y)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).類似地可定義三階、四階以及n階偏導(dǎo)數(shù).下頁

解

此例中兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)是相等的.下頁下頁那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等

定理

解

證

下頁

例7

證

例8

提示

下頁結(jié)束

證

例8

四全微分有且一元函數(shù)微分推廣到多元函數(shù)就是全微分.已知一元函數(shù)在可微,即微分是的線性函數(shù)，并且與之差是比是高階無窮小.定理1若二元函數(shù)f在其定義域內(nèi)一點(diǎn)(x0,y0)處可微,則f在該點(diǎn)關(guān)于每個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在．此時(shí),于是,函數(shù)的全微分

(2)

可惟一地表示為與一元函數(shù)一樣,若約定自變量的增量等于自變量的微分，即則全微分又可寫為若函數(shù)f在區(qū)域D的每一點(diǎn)(x,y)都可微,則稱函數(shù)f在區(qū)域D上可微，且f在