第七章 單純形優(yōu)化法

第七章單純形優(yōu)化法§7-1概述單純形法是一種優(yōu)化設(shè)計方法和正交試驗相比的特點：計算簡便不受因素數(shù)的限制因素數(shù)的增加不會導(dǎo)致試驗次數(shù)大量增加它屬于非線性動態(tài)調(diào)優(yōu)過程發(fā)展簡史1962年，Spendley提出基本單純形法1965年，Nelder等提出改進單純形法之后，Routh提出加權(quán)形心法與控制加權(quán)形心法§7-2基本單純形一、雙因素基本單純形法 如果我們有一個試驗設(shè)計，只選有兩個影響因素，即因素數(shù)為2。分別取值a1和a2作為試驗的初點。記為A(a1,a2)。對其余兩個點分別設(shè)為B和C，再設(shè)三角形的邊長為a(步長)。那么B、C點就可以計算出來假設(shè)AB、AC、BC間距均為，等邊三角形可以算出B點為：B=(a1+p,a2+q)根據(jù)對稱性可知：C=(a1+q,a2+p)可以根據(jù)等邊三角形性質(zhì)解得：a2+pa2+qa2a1+pa1+qa1因素2因素1ABCDEo由A、B、C三點構(gòu)成得單純形稱為初始單純形首先在A、B、C三點下分別試驗，得出三個響應(yīng)值，比較其大小，找出最壞響應(yīng)值的點稱為壞點此處設(shè)A為壞點，去掉A點并取A的對稱點D點作為新試驗點，比較B、C、D三點響應(yīng)值的好壞此處設(shè)C為壞點，去點C點，取其反點E，此時C、D、E三點又構(gòu)成新的單純形…………重復(fù)以上結(jié)果，最終達到優(yōu)化試驗的目的二、新試驗點的計算方法 以初始單純形A、B、C為例，設(shè)A為壞點，A應(yīng)該去掉，求其反射點D，此時 A(a1,a2)、B=(a1+p,a2+q)、C=(a1+q,a2+p) D=B+C-A=(a1+p+q,a2+p+q) E=B+D-C=(a1+2p,a2+2q)即：[新試驗點]＝[留下各點之和]－[去掉點](9-8)三、多因素基本單純形設(shè)有n個因素n＋1個定點構(gòu)成的n維空間單純形，設(shè)有一點A=(a1,a2,

a3,…

an)，步長為a則其余各點為：

B=(a1+p,a2+q,a3+q,……an+q)C=(a1+q,a2+p,a3+q,……an+q)(n)=(a1+q,a2+q,…an-1+p,

an+q)(n+1)=(a1+q,a2+q,a3+q,……an+p)其中新點計算[新坐標點]＝2×[n留下點的坐標和]/n

－[去掉點坐標](9-11)四、n，p，q取值對應(yīng)表由(9-8)我們可以算出n取不同值的p、q的取值n2345678pqn9101112131415pq0.9660.9430.9260.9110.9010.8920.8830.2590.2360.2190.2040.1940.1850.1760.8780.8720.8650.8610.8550.8540.8480.1710.1650.1580.1540.1480.1470.141n、q、p取值對應(yīng)表五、小結(jié)用前面的例子，對兩因素問題A、B、C構(gòu)成初始單純形，在此三點上進行試驗規(guī)則1：去掉最壞點，用其對稱反射點作新試點例A、B、C中，A為最壞點，去掉A點并取A的對稱點D點作為新試驗點。D＝[留下各點之和]－[去掉點]＝B＋C－A在B、C、D三角形中繼續(xù)使用規(guī)則1，如果C為壞點，去點C點，取其反點E，此時C、D、E三點又構(gòu)成新的單純形。如果最壞點為D那么對稱點就會返回到與A重合，此時改用規(guī)則2規(guī)則2：去掉次壞點，用其對稱反射點作新試點對稱計算公式與前面相同經(jīng)過反復(fù)使用后，如果有一個點老是保留下來，必須使用規(guī)則3規(guī)則3：重復(fù)、停止和縮短步長一般一個點勁3次單純形后仍未被淘汰，它可能是一個很好點，也可能是偶然性或試驗誤差導(dǎo)致的假象。此時需要重復(fù)試驗：結(jié)果不好，淘汰；結(jié)果已很滿意則停止試驗反之則以它為起點縮短步長，繼續(xù)試驗六、特殊方法 前面介紹的單純形是正規(guī)的，任意兩點間的距離一樣，實際上，這個要求可以不要。尤其是由于各個因素所取的量綱不一樣（例如一個因素是溫度（℃），另一個因素是時間（秒）。即使量綱一樣所取的單位也可以不一樣。（一）直角單純形法 我們考慮雙因素模型，開始不從正三角形出發(fā)，而是從一個直角三角形出發(fā)，其頂點取值如下：=(a1,a2)=(a1+p1,a2)=(a1,a2+p2) 用圖表示如下a2+p2a2a1+2p1a1+p1a1因素2因素1

同樣比較三個頂點響應(yīng)值的結(jié)果，若最壞，則新點就用對稱公式

=+-=(a1+p1,a2+p2) 在得到點后，再用、、三點試驗，比較其結(jié)果，若最壞，則取其對稱點做新試驗點=+-=(a1+2p1,a2) 、、構(gòu)成一個新單純形，比較其結(jié)果，若最壞，則用規(guī)則2去掉次壞點，若次壞點為，則新點

=+-=(a1+2p1,a2-p2) 如此等等，有時還會使用規(guī)則3，直至結(jié)果滿意為止。一般在任意n個因素時 =(a1,a2,

a3,…

an)

=(a1+p1,a2,a3,……an)

=(a1,a2+p2,a3,……an) ………… (n)=(a1,a2,…an-1+pn-1,

an) (n+1)=(a1,a2,a3,……an+pn)（二）、雙水平單純形法§7-3改進單純形法為了解決優(yōu)化結(jié)果精度和優(yōu)化速度的矛盾，可以采用可變步長推移單純形，此即改進單純形法，既能加快優(yōu)化速度，又能獲得較好的優(yōu)化精度。改進單純形法是1965年J．A．Nelder等提出來的，它是在基本單純形法的基礎(chǔ)上引入了反射、擴大、收縮與整體收縮規(guī)則，變固定步長為可變步長，較好地解決了優(yōu)化速度與優(yōu)化精度之間的矛盾，是各種單純形優(yōu)化法中應(yīng)用最廣泛的一種單純形優(yōu)化方法。兩因素單純形的推移過程因素1因素2BACDEONA改進單純形ND單純形的整體收縮因素1因素2ABCC’A’在單純形的推移過程中，新實驗點在空間的位置坐標按以下方法計算：討論：a＝1，此時(9-19)式變差基本單純形中新點的計算公式，此時新試驗點為去掉點的等距離反射點，這時改進單純形又變成了基本單純形a>1，按基本單純形法（a＝1）計算出新點后，對新試驗點做試驗得出新試驗點的響應(yīng)值。如果新點的響應(yīng)值好，說明我們搜索方向正確，可以進一步沿AD搜索。因此取a>1，稱為擴大。如果擴大點E不如反射點D好，則“擴大”失敗，仍采用D，由反射點何留下點構(gòu)成的單純形BCD繼續(xù)優(yōu)化-1<a<0，按（a＝1）計算出來的反射點D的響應(yīng)值最壞，此時采用-1<a<0（稱為內(nèi)收縮）計算新試驗點，此時形成新的單純形BNAC0<a<1，按基本單純形法（a＝1）計算除反射點D響應(yīng)值最壞。但比去掉點A響應(yīng)值好。此時采用0<a<1，稱為收縮，新試點仍按(9-19)式計算，此時形成新的單純形BCND如果去掉點與其反射點連線AD方向上所有點的響應(yīng)值都比去掉點A壞，則不能沿此方向搜索。這時應(yīng)以單純形中最好點為初點，到其它各點的一半為新點，構(gòu)成新的單純形BA’C’進行優(yōu)化。此時步長減半，稱為“整體收縮”§7-4加權(quán)形心法基本單純形和改進單純形都是采用去掉點的反射方向為新試驗點的搜索方向，這就意味著，去掉點的反射方向作為近似的優(yōu)化方向，就是梯度變化最大的方向?qū)嶋H上，這個方向是一個近似的梯度最大方向，這樣的搜索結(jié)果可能導(dǎo)致搜索次數(shù)的增加和搜索結(jié)果精度的降低為了解決這個問題，提出了加權(quán)形心法，加權(quán)形心法利用加權(quán)形心代替單純的反射形心，使新點的搜索方向更接近實際的最優(yōu)方向因素1因素2BCOEE'O形心點O和加權(quán)形心點O如圖，使W、B、C三個頂點組成的一個二因素的優(yōu)化過程的一個單純形，并知W點的響應(yīng)最壞，B的響應(yīng)最好。如果搜索優(yōu)化過程中函數(shù)不出現(xiàn)異常，那么搜索最優(yōu)點的方向明顯應(yīng)當(dāng)更靠近WB的方向，而不是靠近WC的方向。因此可以通過加權(quán)的辦法來使搜索的方向由原來的WE（反射方向）變?yōu)閃E'方向（加權(quán)方向），此時用加權(quán)形心點O代替反射形心點O§7-5單純形優(yōu)化的參數(shù)選擇在試驗中，我們只研究優(yōu)化條件，可用基本單純形法時，首先必須確定研究的因素由于單純形法不受因素的限制，考察的因素可以相對的多些因素確定后，據(jù)分析儀器和試驗要求，規(guī)定因素變化的上下限，據(jù)上下限的范圍確定步長的大小。步長較大，優(yōu)化速度加快，精度較差；步長太小試驗次數(shù)增多，優(yōu)化速度變慢一、試驗指標試驗指標是用于衡量和考核試驗響應(yīng)的各種數(shù)值在分析測試中可將儀器響應(yīng)值作為試驗指標，但有時須轉(zhuǎn)換稱其它的數(shù)量，試驗指標是數(shù)量化的，以便直接比較結(jié)果的大小二、初始單純形的構(gòu)成本章第一節(jié)介紹的方法是根據(jù)初始點和步長來計算初始單純形的各個頂點，各因素的步長是相同的實際過程中，各因素步長和單位并不相同，利用這種方法會變得很麻煩，在實際應(yīng)用中問題較多我們介紹下述兩個構(gòu)成初始單純形的方法（一）long系數(shù)表法D.E.Long提出一種用系數(shù)表構(gòu)成初始單純形各頂點的方法，可以解決試驗設(shè)計中初始單純形的構(gòu)成問題使用時把表中的對應(yīng)值乘上該因素的步長后，再加到初始點坐標上1234567891010ABCDEFGHIJ01.000.500.500.500.500.500.500.500.500.50000.8660.2890.2890.2890.2890.2890.2890.2890.2890000.8170.2040.1580.2040.2040.2040.2040.20400000.7910.1580.1580.1580.1580.1580.158000000.7750.1290.1290.1290.1290.1290000000.7640.1090.1090.1090.10900000000.7560.0940.0940.094000000000.7500.0830.0830000000000.7450.07500000000000.742因素頂點Long系數(shù)表例：有一個二因素的設(shè)計過程，其初始點為(10.0,2.0)；步長為1.0和0.5，據(jù)Long系數(shù)表來計算其余兩個頂點的坐標頂點1：（10.0,2.0）頂點2：（10.0+1.00×1.0，1.0+0×0.5）

=（11.0,2.0）頂點3：（10.0+0.5×1.0，2.0+0.866×0.5）

=（10.5，2.433）（二）均勻設(shè)計表法利用Long系數(shù)表法所構(gòu)成的初始單純形各頂點在空間的分布是不均勻的，因此進行的是不均勻優(yōu)化均勻設(shè)計表改變了這個缺點，使各頂點在空間均勻分布，這樣進行的優(yōu)化就是整體的均勻優(yōu)化據(jù)所選因素的因素數(shù)，確定一個比較合適的均勻表，使用時把表中的對應(yīng)數(shù)值乘以響應(yīng)因素的步長，加到初始點坐標上即可例：我們有一個四因素的優(yōu)化過程，因此可以選用四因素的均勻設(shè)計表。設(shè)初點為(1.0,1.0,1,0,1.0);步長為0.5,1.0,1.5,2.0。要求計算初始單純形的各頂點四因素均勻設(shè)表U5(54)頂點1