正、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值_第1頁
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文檔簡介

第二課時正、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值

同步導(dǎo)學(xué)方案課后強(qiáng)化演練1.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(單調(diào)性、最值、圖象及與x軸的交點等).2.能利用性質(zhì)解決一些簡單問題.正、余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)名稱圖象與性質(zhì)性質(zhì)分類y=sinxy=cosx相同處定義域值域周期性(-∞,+∞)(-∞,+∞)[-1,1][-1,1]T=2πT=2π正、余弦函數(shù)的所有性質(zhì)都是針對自變量x本身而言的.正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,其圖象在對稱中心和對稱軸處對應(yīng)的分別為函數(shù)的零點和最值點.正弦函數(shù)有單調(diào)區(qū)間,但并不是定義域上的單調(diào)函數(shù),即:它在整個定義域內(nèi)并不單調(diào).余弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心,同正弦函數(shù)一樣,也分別對應(yīng)余弦函數(shù)的最值點和零點.正弦曲線和余弦曲線都既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.比較正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象,我們可以看出,其實二者是完全一樣的,只是位置有所變動,這就決定了余弦函數(shù)與正弦函數(shù)有著許多相似的性質(zhì).甚至,二者之間有著相似的解題方法和技巧,這對幫助我們學(xué)好余弦函數(shù)是很有利的.求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的單調(diào)區(qū)間,一般將ωx+φ視作整體,代入y=sinx或y=cosx相關(guān)的單調(diào)區(qū)間所對應(yīng)的不等式,解之即得.這里實際上采用的是整體的思想,這是研究三角函數(shù)性質(zhì)的重要數(shù)學(xué)思想,一般地,ω<0時,y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)變形為y=-Asin(-ωx-φ),y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)變形為y=Acos(-ωx-φ),再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.所有的這些變形都是為了使x前面的系數(shù)為正值.同時要注意A<0時單調(diào)區(qū)間的變化. 三角函數(shù)的單調(diào)性【名師點撥】求三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A、ω≠0)或y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的單調(diào)區(qū)間,一定要注意到函數(shù)中A與ω的符號.如果ω<0,一般利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù),再求解. 比較三角函數(shù)值的大小【思路探索】

利用誘導(dǎo)公式將異名三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù),非同一單調(diào)區(qū)間的角,轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,再利用函數(shù)的單調(diào)性比較.(2)∵sin2012°=sin(360°×5+212°)=sin212°=-sin32°,cos157°=cos(90°+67°)=-sin67°,∵0°<32°<67°<90°,∴sin32°<sin67°,∴-sin32°>-sin67°,即sin2012°>cos157°.【名師點撥】比較兩個三角函數(shù)值的大小,一般應(yīng)先化為同名三角函數(shù),并運(yùn)用誘導(dǎo)公式把角化在同一個單調(diào)區(qū)間上,利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小. 正、余弦函數(shù)的最值問題求下列函數(shù)的值域.【思路探索】

對于(1),(2)利用函數(shù)的圖象求解;對于(3)可用換元法求解.(3)∵sin2x+cos2x=1,∴cos2x=1-sin2x,∴y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1.設(shè)sinx=t,-1≤t≤1,則原函數(shù)可化為y=-t2+2t-1,對稱軸為t=1.∴當(dāng)t=1時,ymax=-1+2-1=0,當(dāng)t=-1時,ymin=-1-2-1=-4,∴函數(shù)y=cos2x+2sinx-2的值域為[-4,0].【名師點撥】(1)對于形如y=a+bsinx或y=a+bcosx類型的函數(shù)求值域時,主要是利用三角函數(shù)的圖象求解,在解題時一定要注意函數(shù)的定義域.(2)對于形如y=Asin2x+Bsinx+C或y=Acos2x+Bcosx+C類型的函數(shù)求值域時,可采用換元法求解.1.下列函數(shù)在區(qū)間[0,π]上是單調(diào)函數(shù)的是(

)A.y=sinx

B.y=cos2xC.y=sin2x

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