概率第四章講義

第4章大數(shù)定律與中心極限定理

大數(shù)定律中心極限定理1武漢科技大學(xué)理學(xué)院第一節(jié)大數(shù)定律依概率收斂定義及性質(zhì)大數(shù)定律小結(jié)2武漢科技大學(xué)理學(xué)院

實(shí)踐中，頻率具有穩(wěn)定性，大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性，這種穩(wěn)定性是大數(shù)定律研究的背景。3武漢科技大學(xué)理學(xué)院一、概念1.定義：4武漢科技大學(xué)理學(xué)院請(qǐng)注意:5武漢科技大學(xué)理學(xué)院2.依概率收斂的性質(zhì)3、大數(shù)定律6武漢科技大學(xué)理學(xué)院1.（切比雪夫大數(shù)定律）二、常用的大數(shù)定律7武漢科技大學(xué)理學(xué)院由切比雪夫不等式證明：8武漢科技大學(xué)理學(xué)院2.伯努利大數(shù)定律證：該大數(shù)定律說(shuō)明：事件發(fā)生的頻率依概率收斂于該事件發(fā)生的概率。9武漢科技大學(xué)理學(xué)院3.辛欽大數(shù)定律注意：與切比雪夫大數(shù)定律相比較，辛欽大數(shù)定律的條件去掉了“方差存在”，但增加了“服從同一分布”的要求。10武漢科技大學(xué)理學(xué)院11武漢科技大學(xué)理學(xué)院第二節(jié)中心極限定理中心極限定理例題課堂練習(xí)12武漢科技大學(xué)理學(xué)院正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn)中心極限定理將從理論上對(duì)此加以解釋.為什么？13武漢科技大學(xué)理學(xué)院定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）的標(biāo)準(zhǔn)化變量14武漢科技大學(xué)理學(xué)院請(qǐng)注意:15武漢科技大學(xué)理學(xué)院定理2(棣莫佛－拉普拉斯（DeLaplace定理）

設(shè)隨機(jī)變量(n=1,2,‥‥)服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有證由定理1即證。該定理表明二項(xiàng)分布的極限分布為正態(tài)分布，從而參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，當(dāng)n充分大時(shí)，可用正態(tài)分布來(lái)近似.16武漢科技大學(xué)理學(xué)院(1)雖然在一般情況下，我們很難求出及

的分布的確切形式，但在獨(dú)立同分布中心極限定理的條件下，當(dāng)n很大時(shí)，可知其近似服從正態(tài)分布.中心極限定理的應(yīng)用(2)參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，當(dāng)n充分大時(shí)，可用正態(tài)分布來(lái)近似.17武漢科技大學(xué)理學(xué)院例1根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.18武漢科技大學(xué)理學(xué)院由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16解：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似服從N(0,1)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.211919武漢科技大學(xué)理學(xué)院例2.(供電問(wèn)題)某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設(shè)開(kāi)工率為0.6,并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?20武漢科技大學(xué)理學(xué)院用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，解：對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作,工作的概率0.6,共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).依題意，X~B(200,0.6),現(xiàn)在的問(wèn)題是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求滿足設(shè)需供電N千瓦，（由于每臺(tái)車床在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦，X臺(tái)工作所需電力即X千瓦.）21武漢科技大學(xué)理學(xué)院由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是P(X≤N)這里

np=120,np(1-p)=48查正態(tài)分布函數(shù)表得從中解得N≥141.5,即所求N=142.也就是說(shuō),應(yīng)供應(yīng)142千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn).≥3.1,故22武漢科技大學(xué)理學(xué)院例3在天平上重復(fù)稱量一重量為a的物體，假設(shè)每次稱量的隨機(jī)誤差服從(-1,1)內(nèi)的均勻分布，用表示n

次稱量的均值，求

n

使例4抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多余10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受，問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到0.9？23武漢科技大學(xué)理學(xué)院例1于是解24武漢科技大學(xué)理學(xué)院25武漢科技大學(xué)理學(xué)院例：一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪沖擊縱搖角大于3°的概率為p＝1/3，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問(wèn)其中有29500～30500次縱搖角大于3°的概率是多少？解：設(shè)在90000次波浪沖擊中，縱搖角大于3°的次數(shù)為X，則26武漢科技大學(xué)理學(xué)院思考