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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年陜西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.設(shè)a∈(0,1)∪(1,+∞),對(duì)任意的x∈(0,12],總有4x≤logax恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.答案:∵a∈(0,1)∪(1,+∞),當(dāng)0<x≤12時(shí),函數(shù)y=4x的圖象如下圖所示:∵對(duì)任意的x∈(0,12],總有4x≤logax恒成立,若不等式4x<logax恒成立,則y=logax的圖象恒在y=4x的圖象的上方(如圖中虛線所示)∵y=logax的圖象與y=4x的圖象交于(12,2)點(diǎn)時(shí),a=22,故虛線所示的y=logax的圖象對(duì)應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足22<a<1.故為:(22,1).2.已知a、b是不共線的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是______.答案:由于AB,AC有公共點(diǎn)A,∴若A、B、C三點(diǎn)共線則AB與AC共線即存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使AB=tAC即λ=at1=μt消去參數(shù)t得:λμ=1反之,當(dāng)λμ=1時(shí)AB=1μa+b此時(shí)存在實(shí)數(shù)1μ使AB=1μAC故AB與AC共線又由AB,AC有公共點(diǎn)A,∴A、B、C三點(diǎn)共線故A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是λμ=13.如圖:在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F(xiàn)分別是線段AB,BC上的點(diǎn),且EB=FB=1.
(1)求二面角C-DE-C1的大??;
(2)求異面直線EC1與FD1所成角的大??;
(3)求異面直線EC1與FD1之間的距離.答案:(1)以A為原點(diǎn)AB,AD,AA1分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系,則有D(0,3,0),D1(0,3,2),E(3,0,0),F(xiàn)(4,1,0),C1(4,3,2).(1分)于是DE=(3,-3,0),EC1=(1,3,2),F(xiàn)D1=(-4,2,2)(3分)設(shè)向量n=(x,y,z)與平面C1DE垂直,則有n⊥DEn⊥EC1?3x-3y=0x+3y+2z=0?x=y=-12z.∴n=(-z2,-z2,z)=z2(-1,-1,2),其中z>0.取n0=(-1,-1,2),則n0是一個(gè)與平面C1DE垂直的向量,(5分)∵向量AA1=(0,0,2)與平面CDE垂直,∴n0與AA1所成的角θ為二面角C-DE-C1的平面角.(6分)∴cosθ=n0?AA1|n0||AA1|=-1×0-1×0+2×21+1+4×0+0+4=63.(7分)故二面角C-DE-C1的大小為arccos63.(8分)(2)設(shè)EC1與FD1所成角為β,(1分)則cosβ=EC1?FD1|EC1||FD1|=1×(-4)+3×2+2×21+1+4×0+0+4=2114(10分)故異面直線EC1與FD1所成角的大小為arccos2114(11分)(3)設(shè)m=(x,y,z)m⊥EC1m⊥FD1?m=(17,-57,1)又取D1C1=(4,0,0)$}}\overm}=(\frac{1}{7},-\frac{5}{7},1)$$}}\overC}_1}=(4,0,0)$(13分)設(shè)所求距離為d,則d=|m?D1C1||m|=4315$}}\overC}}_1}|}}{|\vecm|}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$(14分).4.雙曲線x225-y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,雙曲線上一點(diǎn)P到F1的距離是12,則P到F2的距離是()A.17B.7C.7或17D.2或22答案:由題意,a=5,則由雙曲線的定義可知PF1-PF2=±10,∴PF2=2或22,故選D.5.曲線x=sin2ty=sint(t為參數(shù))的普通方程為______.答案:因?yàn)榍€x=sin2ty=sint(t為參數(shù))∴sint=y,代入x=sin2t,可得x=y2,其中-1≤y≤1.故為:x=y2,(-1≤y≤1).6.為了調(diào)查甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站受歡迎的程度,隨機(jī)選取了14天,統(tǒng)計(jì)上午8:00-10:00間各自的點(diǎn)擊量,得如下所示的統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖:
(1)甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站點(diǎn)擊量的極差,中位數(shù)分別是多少?
(2)甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10,40]間的頻率是多少?(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)
(3)甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站哪個(gè)更受歡迎?并說明理由。答案:解:(1)甲網(wǎng)站的極差為73-8=65,乙網(wǎng)站的極差為71-5=66;甲網(wǎng)站的中位數(shù)是56.5,乙網(wǎng)站的中位數(shù)是36.5。(2)甲網(wǎng)站點(diǎn)擊量在[10,40]間的頻率是;(3)甲網(wǎng)站的點(diǎn)擊量集中在莖葉圖的下方,而乙網(wǎng)站的點(diǎn)擊量集中在莖葉圖的上方,從數(shù)據(jù)的分布情況來看,甲網(wǎng)站更受歡迎。7.從直徑AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C,過點(diǎn)C作該圓的切線,切點(diǎn)為D,若∠ACD的平分線交AD于點(diǎn)E,則∠CED的度數(shù)是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.隨點(diǎn)C的變化而變化答案:B8.在邊長(zhǎng)為1的正方形中,有一個(gè)封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)的撒入100粒豆子,恰有60粒落在陰影區(qū)域內(nèi),那么陰影區(qū)域的面積為______.
答案:設(shè)陰影部分的面積為x,由概率的幾何概型知,則60100=x1,解得x=35.故為:35.9.已知P為x24+y29=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn),則PF2+PF1=______.答案:∵x24+y29=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn),∴根據(jù)橢圓的定義,可得|PF2|+|PF1|=2×2=4故為:410.設(shè)△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,則|CA+CB|=______.答案:∵△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,∴|CA|=1,|CB|=1,CA?CB=1×1×cosπ3=12∴|CA+CB|=CA2+2CA?CB+CB2=1+1+
2×12=3,故為:311.若一元二次方程x2+(a-1)x+1-a2=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是(
)
A.(-1,1)
B.(-∞,)∪[1,+∞)
C.(-1,]
D.[,1)答案:C12.設(shè)ABC是坐標(biāo)平面上的一個(gè)三角形,P為平面上一點(diǎn)且AP=15AB+25AC,則△ABP的面積△ABC的面積=()A.12B.15C.25D.23答案:連接CP并延長(zhǎng)交AB于D,∵P、C、D三點(diǎn)共線,∴AP=λAD+μAC且λ+μ=1設(shè)AB=kAD,結(jié)合AP=15AB+25AC得AP=k5AD+25AC由平面向量基本定理解之,得λ=35,k=3且μ=25∴AP=35AD+25AC,可得PD=25CD,∵△ABP的面積與△ABC有相同的底邊AB高的比等于|PD|與|CD|之比∴△ABP的面積與△ABC面積之比為25故選:C13.拋物線x2+y=0的焦點(diǎn)位于()
A.y軸的負(fù)半軸上
B.y軸的正半軸上
C.x軸的負(fù)半軸上
D.x軸的正半軸上答案:A14.在對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性回歸分析時(shí),有下列步驟:
①對(duì)所求出的回歸直線方程作出解釋;
②收集數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,n;
③求線性回歸方程;
④求相關(guān)系數(shù);
⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.
如果根據(jù)可形性要求能夠作出變量x,y具有線性相關(guān)結(jié)論,則在下列操作順序中正確的是()
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①答案:D15.如圖,某公司制造一種海上用的“浮球”,它是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成.其中圓柱的高為2米,球的半徑r為0.5米.
(1)這種“浮球”的體積是多少立方米(結(jié)果精確到0.1m3)?
(2)假設(shè)該“浮球”的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為20元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為30元.求該“浮球”的建造費(fèi)用(結(jié)果精確到1元).答案:(1)∵球的半徑r為0.5米,∴兩個(gè)半球的體積之和為V球=43πr3=43π?18=16πm3,∵圓柱的高為2米,∴V圓柱=πr2?h=π×14×2=12πm3,∴該“浮球”的體積是:V=V球+V圓柱=23π≈2.1m3;(2)圓柱筒的表面積為2πrh=2πm2;兩個(gè)半球的表面積為4πr2=πm2,∵圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為20元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為30元,∴該“浮球”的建造費(fèi)用為2π×20+π×30=70π≈220元.16.設(shè)e1,e2為單位向量.且e1、e2的夾角為π3,若a=e1+3e2,b=2e1,則向量a在b方向上的射影為______.答案:∵e1、e2為單位向量,且e1和e2的夾角θ等于π3,∴e1?e2=1×1×cosπ3=12.∵a=e1+3e2,b=2e1,∴a?b=(e1+3e2)?(2e1)=2e12+6e1?e2=2+3=5.∴a在b上的射影為a?b|b|=52,故為52.17.橢圓x29+y216=1上一動(dòng)點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為()A.10B.8C.6D.不確定答案:根據(jù)橢圓的定義,可知?jiǎng)狱c(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為2a=8,故選B.18.
若向量
=(3,2),=(0,-1),=(-1,2),則向量2-的坐標(biāo)坐標(biāo)是(
)
A.(3,-4)
B.(-3,4)
C.(3,4)
D.(-3,-4)答案:D19.x+y+z=1,則2x2+3y2+z2的最小值為()
A.1
B.
C.
D.答案:C20.已知a=(1,0),b=(m,m)(m>0),則<a,b>=______.答案:∵b=(m,m)(m>0),∴b與第一象限的角平分線同向,且由原點(diǎn)指向遠(yuǎn)處,而a=(1,0)同橫軸的正方向同向,∴<a,b>=45°,故為:45°21.用數(shù)學(xué)歸納法證明“<n(n∈N*,n>1)”時(shí),由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()
A.2k-1
B.2k-1
C.2k
D.2k+1答案:C22.已知||=2,||=,∠AOB=150°,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=30°,設(shè)(m,n∈R),則=()
A.
B.
C.
D.答案:B23.已知a、b、c為某一直角三角形的三條邊長(zhǎng),c為斜邊.若點(diǎn)(m,n)在直線ax+by+2c=0上,則m2+n2的最小值是______.答案:根據(jù)題意可知:當(dāng)(m,n)運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)與已知直線作垂線的垂足位置時(shí),m2+n2的值最小,由三角形為直角三角形,且c為斜邊,根據(jù)勾股定理得:c2=a2+b2,所以原點(diǎn)(0,0)到直線ax+by+2c=0的距離d=|0+0+2c|a2+b2=2,則m2+n2的最小值為4.故為:4.24.下列命題中,錯(cuò)誤的是()
A.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行
B.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行
C.一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交,交線平行
D.一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交,則必與另一個(gè)相交答案:A25.已知的單調(diào)區(qū)間;
(2)若答案:(1)(2)證明略解析:(1)對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形
,得,(2)首先證明任意事實(shí)上,而
.26.函數(shù)數(shù)列{fn(x)}滿足:f1(x)=x1+x2(x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)]
(1)求f2(x),f3(x);
(2)猜想fn(x)的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.答案:(1)f2(x)=f1(f1(x))=f1(x)1+f21(x)=x1+2x2f3(x)=f1(f2(x))=f2(x)1+f22(x)=x1+3x2(2)猜想:fn(x)=x1+nx2(n∈N*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),f1(x)=x1+x22,已知,顯然成立②假設(shè)當(dāng)n=K(K∈N*)4時(shí),猜想成立,即fk(x)=x1+kx2則當(dāng)n=K+1時(shí),fk+1(x)=f1(fk(x))=fk(x)1+f2k(x)=x1+kx21+(x1+kx2)2=x1+(k+1)x2即對(duì)n=K+1時(shí),猜想也成立.結(jié)合①②可知:猜想fn(x)=x1+nx2對(duì)一切n∈N*都成立.27.在殘差分析中,殘差圖的縱坐標(biāo)為______.答案:有殘差圖的定義知道,作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差,橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào),或身高數(shù)據(jù),或體重的估計(jì)值,這樣做出的圖形稱為殘差圖.故為:殘差.28.下列給出的輸入語句、輸出語句和賦值語句
(1)輸出語句INPUT
a;b;c
(2)輸入語句INPUT
x=3
(3)賦值語句3=B
(4)賦值語句A=B=2
則其中正確的個(gè)數(shù)是()
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)答案:A29.“cosα=12”是“α=π3”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案:∵“coa=12”?“a=π3+2kπ,k∈Z,或a=53π+2kπ,k∈Z”,“a=π3”?“coa=12”.故選D.30.在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,則△ABC外接圓半徑r=a2+b22.運(yùn)用類比方法,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a,b,c,則其外接球的半徑R=______.答案:直角三角形外接圓半徑為斜邊長(zhǎng)的一半,由類比推理可知若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a,b,c,將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,其外接球的半徑R為長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.故為a2+b2+c22故為:a2+b2+c2231.在四面體O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),則OE=______(用a,b,c表示)答案:在四面體O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),∴OE=12(OA+OD)=OA2+OD2=12a+12×12(OB+OC)=12a+14(b+c)=12a+14b+14c,故為:12a+14b+14c.32.如圖,半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí),球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是______.
答案:設(shè)圓柱的上底面半徑為r,球的半徑與上底面夾角為α,則r=Rcosα,圓柱的高為2Rsinα,圓柱的側(cè)面積為:2πR2sin2α,當(dāng)且僅當(dāng)α=π4時(shí),sin2α=1,圓柱的側(cè)面積最大,圓柱的側(cè)面積為:2πR2,球的表面積為:4πR2,球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是:2πR2.故為:2πR233.為了了解1200名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見,打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔k為______答案:由題意知本題是一個(gè)系統(tǒng)抽樣,總體中個(gè)體數(shù)是1200,樣本容量是40,根據(jù)系統(tǒng)抽樣的步驟,得到分段的間隔K=120040=30,故為:30.34.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且P、F1、F2三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為______.答案:由題意,P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且P、F1、F2三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形,故可分為兩類:①當(dāng)∠P為直角時(shí),設(shè)P的縱坐標(biāo)為y,則F1,F(xiàn)2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)∴|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=23∵∠P為直角,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∵|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=23∴|PF1||PF2|=2∴S△PF1F2=12|PF1||PF2|=1∵S△PF1F2=12|F1F2|×y=3y∴3y=1∴y=33②當(dāng)∠PF2F1為直角時(shí),P的橫坐標(biāo)為3設(shè)P的縱坐標(biāo)為y(y>0),則(3)24+y2=1,∴y=12故為:33
或1235.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離比M到定直線x=-2的距離小1.
(1)求證:M點(diǎn)的軌跡是拋物線,并求出其方程;
(2)大家知道,過圓上任意一點(diǎn)P,任意作互相垂直的弦PA、PB,則弦AB必過圓心(定點(diǎn)).受此啟發(fā),研究下面問題:
1過(1)中的拋物線的頂點(diǎn)O任意作互相垂直的弦OA、OB,問:弦AB是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)?若經(jīng)過,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo),否則說明理由;2研究:對(duì)于拋物線上某一定點(diǎn)P(非頂點(diǎn)),過P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否經(jīng)過定點(diǎn)?答案:(1)證明:由題意可知:動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離等于M到定直線x=-1的距離根據(jù)拋物線的定義可知,M的軌跡是拋物線所以拋物線方程為:y2=4x(2)(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),lAB:y=kx+b,(b≠0)由y=kx+by2=4x消去y得:k2x2+(2bk-4)kx+b2=0,x1x2=b2k2.∵OA⊥OB,∴OA?OB=0,∴x1x2+y1y2=0,y1y2=4bk所以x1x2+(x1x2)2=0,b≠0,∴b=-2k,∴直線AB過定點(diǎn)M(1,0),(ii)設(shè)p(x0,y0)設(shè)AB的方程為y=mx+n,代入y2=2x得y2-2my=-2n=0∴y1+y2=2m,y1y2-2n其中y1,y2分別是A,B的縱坐標(biāo)∵AP⊥PB∴kmax?kmin=-1即y1-y0x1-x0?y2-y0x2-x0=1∴(y1+y0)(y2+y0)=-4?y1y2+(y1+y2)y0+y02-4=0(-2n)+2my0+2x0+4=0,=my0+x0+2直線PQ的方程為x=my+my0+x0+2,即x=m(y+y0)+x0+2,它一定過點(diǎn)(x0+2,-y0)36.如果命題P:?∈{?},命題Q:??{?},那么下列結(jié)論不正確的是()A.“P或Q”為真B.“P且Q”為假C.“非P”為假D.“非Q”為假答案:命題P:?∈{?},命題Q:??{?},可直接看出命題Q,命題P都是正確的.故“P或Q”為真.“P且Q”為真.“非P”為假.“非Q”為假.故選B.37.沿著正四面體OABC的三條棱OA、OB、OC的方向有大小等于1、2、3的三個(gè)力f1、f2、f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦.答案:用a、b、c分別代表棱OA、OB、OC上的三個(gè)單位向量,則f1=a,f2=2b,f3=3c,則f=f1+f2+f3=a+2b+3c,∴|f|2=(a+2b+3c)?(a+2b+3c)=|a|2+4|b|2+9|c|2+4a?b+6a?c+12b?c=1+4+9+4|a||b|cos<a,b>+6|a||c|cos<a,c>+12|b||c|cos<b,c>=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25.∴|f|=5,即所求合力的大小為5,且cos<f,a>=f?a|f||a|=|a|2+2a?b+3a?c5=1+1+325=710.同理,可得cos<f,b>=45,cos<f,c>=910.38.函數(shù)y=2|x|的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇1,16],當(dāng)a變動(dòng)時(shí),函數(shù)b=g(a)的圖象可以是()A.
B.
C.
D.
答案:根據(jù)選項(xiàng)可知a≤0a變動(dòng)時(shí),函數(shù)y=2|x|的定義域?yàn)閇a,b],值域?yàn)閇1,16],∴2|b|=16,b=4故選B.39.已知直線的斜率為3,則此直線的傾斜角為()A.30°B.60°C.45°D.120°答案:∵直線的斜率為3,∴直線傾斜角α滿足tanα=3結(jié)合α∈[0°,180°),可得α=60°故選:B40.如圖,彎曲的河流是近似的拋物線C,公路l恰好是C的準(zhǔn)線,C上的點(diǎn)O到l的距離最近,且為0.4千米,城鎮(zhèn)P位于點(diǎn)O的北偏東30°處,|OP|=10千米,現(xiàn)要在河岸邊的某處修建一座碼頭,并修建兩條公路,一條連接城鎮(zhèn),一條垂直連接公路l,以便建立水陸交通網(wǎng).
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求拋物線C的方程;
(2)為了降低修路成本,必須使修建的兩條公路總長(zhǎng)最小,請(qǐng)給出修建方案(作出圖形,在圖中標(biāo)出此時(shí)碼頭Q的位置),并求公路總長(zhǎng)的最小值(精確到0.001千米)答案:(1)過點(diǎn)O作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A,以O(shè)A所在直線為x軸,OA的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系…(2分)由題意得,p2=0.4…(4分)所以,拋物線C:y2=1.6x…(6分)(2)設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F由題意得,P(5,53)…(8分)根據(jù)拋物線的定義知,公路總長(zhǎng)=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)當(dāng)Q為線段PF與拋物線C的交點(diǎn)時(shí),公路總長(zhǎng)最小,最小值為9.806千米…(16分)41.______稱為向量;常用
______表示,記為
______,又可用小寫字線表示為
______.答案:既有大小,又有方向的量叫做向量;表示方法:①常用有帶箭頭的線段來表示,記為有向線段AB,②又可用小寫字線表示為:a,b,c…,故為:既有大小,又有方向的量;有帶箭頭的線段,有向線段AB,a,b,c….42.已知:如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,,過A點(diǎn)的切線交CB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn),求證:AB2=BE·CD。
答案:證明:連結(jié)AC,因?yàn)镋A切⊙O于A,所以∠EAB=∠ACB,因?yàn)?,所以∠ACD=∠ACB,AB=AD,于是∠EAB=∠ACD,又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,所以∠ABE=∠D,所以△ABE∽△CDA,于是,即AB·DA=BE·CD,所以。43.將一枚骰子連續(xù)拋擲600次,請(qǐng)你估計(jì)擲出的點(diǎn)數(shù)大于2的大約是______次.答案:一顆骰子是均勻的,當(dāng)拋這顆骰子時(shí),出現(xiàn)的6個(gè)點(diǎn)數(shù)是等可能的,將一枚骰子連續(xù)拋擲600次,估計(jì)每一個(gè)嗲回溯出現(xiàn)的次數(shù)是100,∴擲出的點(diǎn)數(shù)大于2的大約有400次,故為:400.44.設(shè)a1,a2,…,an為正數(shù),證明a1+a2+…+ann≥n1a1+1a2+…+1an.答案:證明:∵a1,a2,…,an為正數(shù),∴要證明a1+a2+…+ann≥n1a1+1a2+…+1an,只要證明(a1+a2+…+an)(1a1+1a2+…1an)≥n2∵a1+a2+…+an≥nna1a2…an,1a1+1a2+…1an≥nn1a1a2…an∴兩式相乘,可得(a1+a2+…+an)(1a1+1a2+…1an)≥n2∴原不等式成立.45.(幾何證明選講選選做題)如圖,AC是⊙O的直徑,B是⊙O上一點(diǎn),∠ABC的平分線與⊙O相交于.D已知BC=1,AB=3,則AD=______;過B、D分別作⊙O的切線,則這兩條切線的夾角θ=______.答案:∵AC是⊙O的直徑,B是⊙O上一點(diǎn)∴∠ABC=90°∵∠ABC的平分線與⊙O相交于D,BC=1,AB=3∴∠C=60°,∠BAC=30°,∠ABD=∠CBD=45°由圓周角定理可知∠C=∠ADB=60°△ABD中,由正弦定理可得ABsin60°=ADsin45°即AD=3sin60°×sin45°=2∵∠BAD=30°+45°=75°∴∠BOD=2∠BAD=150°設(shè)所作的兩切線交于點(diǎn)P,連接OB,OD,則可得OB⊥PB,OD⊥PD即∠OBP=∠ODP=90°∴點(diǎn)ODPB共圓∴∠P+∠BOD=180°∴∠P=30°故為:2,30°46.方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2,則m的取值范圍是()
A.(-5,-4]
B.(-∞,-4]
C.(-∞,-2]
D.(-∞,-5)∪(-5,-4]答案:A47.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)與橢圓=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合,則拋物線方程是()
A.x2=±8y
B.y2=±8x
C.x2=±4y
D.y2=±4x答案:A48.通過隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:
男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110為了判斷愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān),由表中的數(shù)據(jù)此算得k2≈7.8,因?yàn)镻(k2≥6.635)≈0.01,所以判定愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān),那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為______.答案:由題意知本題所給的觀測(cè)值,k2≈7.8∵7.8>6.635,又∵P(k2≥6.635)≈0.01,∴這個(gè)結(jié)論有0.01=1%的機(jī)會(huì)說錯(cuò),故為:1%49.已知平面向量=(3,1),=(x,3),且⊥,則實(shí)數(shù)x的值為()
A.9
B.1
C.-1
D.-9答案:C50.甲、乙兩人對(duì)一批圓形零件毛坯進(jìn)行成品加工.根據(jù)需求,成品的直徑標(biāo)準(zhǔn)為100mm.現(xiàn)從他們兩人的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取5件,測(cè)得直徑(單位:mm)如下:
甲:105
102
97
96
100
乙:100
101
102
97
100
(I)分別求甲、乙的樣本平均數(shù)與方差,并由此估計(jì)誰加工的零件較好?
(Ⅱ)若從乙樣本的5件產(chǎn)品中再次隨機(jī)抽取2件,試求這2件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)品直徑為100mm的概率.答案:(Ⅰ).x甲=15(105+102+97+96+100)=100,.x乙=15(100+101+102+97+100)=100S甲=15(25+4+3+16+0)=545=10.8,S乙=15(0+1+4+9+0)=145=2.8.∵S甲>S乙,據(jù)此估計(jì)乙加工的零件好;(Ⅱ)從乙樣本的5件產(chǎn)品中再次隨機(jī)抽取2件的全部結(jié)果有如下10種:(100,101),(100,102),(100,97),(100,100),(101,102),(101,97),(101,100),(102,97),(102,100),(97,100).設(shè)事件A為“其中至少有一件產(chǎn)品直徑為100”,則時(shí)間A有7種.故P(A)=710.第2卷一.綜合題(共50題)1.若向量{}是空間的一個(gè)基底,則一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是()
A.
B.
C.
D.答案:C2.表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的______.答案:根據(jù)概率的定義:表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的概率;一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性很大,那么P的值接近1又不等于1,故為:概率.3.已知a、b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+3b|等于______.答案:解;∵a,b均為單位向量,∴|a|=1,|b|=1又∵兩向量的夾角為60°,∴a?b=|a||b|cos60°=12∴|a+3b|=|a|2+(3b)2+6a?b=1+9+3=13故為134.已知點(diǎn)A分BC所成的比為-13,則點(diǎn)B分AC所成的比為______.答案:由已知得B是AC的內(nèi)分點(diǎn),且2|AB|=|BC|,故B分AC
的比為ABBC=|AB||BC|=12,故為12.5.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共線,向量c=2e1-9e2.問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ,使向量d=λa+μb與c共線?答案:∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,若d與c共線,則存在實(shí)數(shù)k≠0,使d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,由2λ+2μ=2k-3λ+3μ=-9k得λ=-2μ.故存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ,只要λ=-2μ,就能使d與c共線.6.函數(shù)y=ax2+a與(a≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:D7.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖,中間的數(shù)字表示得分的十位數(shù),下列對(duì)乙運(yùn)動(dòng)員的判斷錯(cuò)誤的是()A.乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是28B.乙運(yùn)動(dòng)員得分的眾數(shù)為31C.乙運(yùn)動(dòng)員的場(chǎng)均得分高于甲運(yùn)動(dòng)員D.乙運(yùn)動(dòng)員的最低得分為0分答案:根據(jù)題意,可得甲的得分?jǐn)?shù)據(jù):8,14,16,13,23,26,28,30,30,39可得甲得分的平均數(shù)是22.7乙的得分?jǐn)?shù)據(jù):12,15,25,24,21,31,36,31,37,44可得乙得分的平均數(shù)是27.6,31出現(xiàn)了兩次,可得乙得分的眾數(shù)是1將乙得分?jǐn)?shù)據(jù)按從小到大的順序排列,位于中間的兩個(gè)數(shù)是25和31,故中位數(shù)是12(25+31)=28由以上的數(shù)據(jù),可得:乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是28,A項(xiàng)是正確的;乙運(yùn)動(dòng)員得分的眾數(shù)為31,B項(xiàng)是正確的;乙運(yùn)動(dòng)員的場(chǎng)均得分高于甲運(yùn)動(dòng)員,C各項(xiàng)是正確的.而D項(xiàng)因?yàn)橐疫\(yùn)動(dòng)員的得分沒有0分,故D項(xiàng)錯(cuò)誤故選:D8.
如圖,已知平行六面體OABC-O1A1B1C1,點(diǎn)G是上底面O1A1B1C1的中心,且,則用
表示向量為(
)
A.
B.
C.
D.
答案:A9.對(duì)于函數(shù)f(x),在使f(x)≤M成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最小值稱為函數(shù)f(x)的“上確界”則函數(shù)f(x)=(x+1)2x2+1的上確界為()A.14B.12C.2D.4答案:因?yàn)閒(x)=(x+1)2x2+1=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1又因?yàn)閤2+1=|x|2+1≥2|x|≥2x∴2xx2+1≤1.∴f(x)≤2.即在使f(x)≤M成立的所有常數(shù)M中,M的最小值為2.故選C.10.已知圓的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,則點(diǎn)P(3,2)滿足()
A.是圓心
B.在圓上
C.在圓內(nèi)
D.在圓外答案:C11.已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()
A.圓
B.橢圓
C.雙曲線
D.拋物線答案:B12.已知函數(shù)f(x)滿足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=2,則:f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+f(8)f(7)+…+f(2006)f(2005)=______答案:∵f(p+q)=f(p)f(q),∴f(p+1)=f(p)f(1)即f(p+1)f(p)=f(1)=2,∴f(2)f(1)=2,f(4)f(3)=2…f(2006)f(2005)=2即f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+f(8)f(7)+…+f(2006)f(2005)=2×1003=2006故為:200613.不等式ax2+bx+2>0的解集是(-,),則a+b的值是()
A.10
B.-10
C.14
D.-14答案:D14.已知x+5y+3z=1,則x2+y2+z2的最小值為______.答案:證明:35(x2+y2+z2)×(1+25+9)≥(x+5y+3z)2=1∴x2+y2+z2≥135,則x2+y2+z2的最小值為135,故為:135.15.若m∈{-2,-1,1,2},n∈{-2,-1,1,2,3},則方程x2m+y2n=1表示的是雙曲線的概率為______.答案:由題意,方程x2m+y2n=1表示雙曲線時(shí),mn<0,m>0,n<0時(shí),有2×2=4種,m<0,n>0時(shí),有2×3=6種∵m,n的取值共有4×5=20種∴方程x2m+y2n=1表示的是雙曲線的概率為4+620=12故為:1216.設(shè)、、為實(shí)數(shù),,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是(
)A.B.C.且D.且答案:D解析:若,則,則.若,則對(duì)于二次函數(shù),由可得結(jié)論.17.若向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)M、A、B、C互不重合且無三點(diǎn)共線,且滿足下列關(guān)系(O為空間任一點(diǎn)),則能使向量成為空間一組基底的關(guān)系是()
A.
B.
C.
D.答案:C18.對(duì)于非零的自然數(shù)n,拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸相交于An,Bn兩點(diǎn),若以|AnBn|表示這兩點(diǎn)間的距離,則|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2009B2009|的值
等于______.答案:令(n2+n)x2-(2n+1)x+1=0,得x1=1n,x2=1n+1所以An(1n,0),Bn(1n+1,0)所以|AnBn|=1n-1n+1,所以|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2009B2009|=(11-12)+(12-13)+┉+(12009-12010)=1-12010=20092010.故為:20092010.19.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂一次(由一個(gè)分裂成兩個(gè)),這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4096個(gè)需經(jīng)過()A.12小時(shí)B.4小時(shí)C.3小時(shí)D.2小時(shí)答案:設(shè)共分裂了x次,則有2x=4
096,∴2x=212,又∵每次為15分鐘,∴共15×12=180(分鐘),即3個(gè)小時(shí).故為C20.若一點(diǎn)P的極坐標(biāo)是(r,θ),則它的直角坐標(biāo)如何?答案:由題意可知x=rcosθ,y=rsinθ.所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)是(r,θ)的直角坐標(biāo)為:(rcosθ,rsinθ).21.設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量
a=(x1,y1,0),
b=(x2,y2,0)與向量
c=(1,1,1)的夾角都等于45°.
(1)求x1+y1和x1y1的值;
(2)求<
a,
b>的大?。鸢福海?)∵單位向量a=(x1,y1,0)與向量c=(1,1,1)的夾角等于45°∴|a|=x21+y21=1,cos45°=a?
c|a|?
|c|=13(x1+y1)=22∴x1+y1=62,x1?y1=-14(2)同理可知x2+y2=22,x2?y2=-14∴x1?x2=-14,y1?y2=-14cos<a,b>=a?b|a|?|b|=x1?x2+y1?y2=-12∴<a,b>=120°22.已知A、B、C三點(diǎn)共線,A分的比為λ=-,A,B的縱坐標(biāo)分別為2,5,則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為()
A.-10
B.6
C.8
D.10答案:D23.
若向量,滿足||=||=2,與的夾角為60°,則|+|=()
A.
B.2
C.4
D.12答案:B24.關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法為______.
①這是一個(gè)六面體;
②這是一個(gè)四棱臺(tái);
③這是一個(gè)四棱柱;
④這是一個(gè)四棱柱和三棱柱的組合體;
⑤這是一個(gè)被截去一個(gè)三棱柱的四棱柱.答案:①因?yàn)橛辛鶄€(gè)面,屬于六面體的范圍,②這是一個(gè)很明顯的四棱柱,因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交與一點(diǎn),所以不正確.③如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱,④可以有四棱柱和三棱柱組成,⑤和④的想法一樣,割補(bǔ)方法就可以得到.故為:①③④⑤.25.已知f(x)=,求不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集。答案:解:原不等式等價(jià)于或解得或即故不等式的解集為。26.若f(x)在定義域[a,b]上有定義,則在該區(qū)間上()A.一定連續(xù)B.一定不連續(xù)C.可能連續(xù)也可能不連續(xù)D.以上均不正確答案:f(x)有定義是f(x)在區(qū)間上連續(xù)的必要而不充分條件.有定義不一定連續(xù).還需加上極限存在才能推出連續(xù).故選C.27.若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為3,數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的標(biāo)準(zhǔn)差為23,則實(shí)數(shù)a的值為______.答案:數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差是數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差的a2倍;則數(shù)據(jù)ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差為3a2,標(biāo)準(zhǔn)差為3a2=23解得a=±2故為:±228.關(guān)于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有兩實(shí)根,且一個(gè)大于4,一個(gè)小于4,求m的取值范圍。答案:解:令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14,依題意得或,即或,解得。29.設(shè)A(3,4),在x軸上有一點(diǎn)P(x,0),使得|PA|=5,則x等于()
A.0
B.6
C.0或6
D.0或-6答案:C30.若f(x)=x2,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2,下列不等式總成立的是(
)
A.f()≤
B.f()<
C.f()≥
D.f()>答案:A31.設(shè)x1、x2、y1、y2是實(shí)數(shù),且滿足x12+x22≤1,
證明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).答案:證明略解析:分析:要證原不等式成立,也就是證(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.(1)當(dāng)x12+x22=1時(shí),原不等式成立.……………3分(2)當(dāng)x12+x22<1時(shí),聯(lián)想根的判別式,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)…7分其根的判別式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).………9分由題意x12+x22<1,函數(shù)f(x)的圖象開口向下.又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,………11分因此拋物線與x軸必有公共點(diǎn).∴Δ≥0.∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,…………13分即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).……………14分32.設(shè)x+y+z=1,求F=2x2+3y2+z2的最小值.答案:∵1=(x+y+z)2=(12?2x+13?3y+1?z)2≤(12+13+1)(2x2+3y2+z2)∴F=2x2+3y2+z2≥611(8分)當(dāng)且僅當(dāng)2x12=3y13=z1且x+y+z=1,x=311,y=211,z=611F有最小值611(12分)33.設(shè)隨機(jī)變量X~B(10,0.8),則D(2X+1)等于()
A.1.6
B.3.2
C.6.4
D.12.8答案:C34.不等式的解集是(
)
A.(-3,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-3)∪(2,+∞)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)答案:C35.若函數(shù)y=f(x)的定義域是[2,4],則y=f(log12x)的定義域是()A.[12,1]B.[4,16]C.[116,14]D.[2,4]答案:∵y=f(log12x),令log12x=t,∴y=f(log12x)=f(t),∵函數(shù)y=f(x)的定義域是[2,4],∴y=f(t)的定義域也為[2,4],即2≤t≤4,∴有2≤log12x≤4,解得:116≤x≤14,∵函數(shù)的定義域即解析式中自變量的取值范圍,∴y=f(log12x)的定義域?yàn)?16≤x≤14,即:[116,14].故選C.36.在統(tǒng)計(jì)中,樣本的標(biāo)準(zhǔn)差可以近似地反映總體的()
A.平均狀態(tài)
B.頻率分布
C.波動(dòng)大小
D.最大值和最小值答案:C37.一平面截球面產(chǎn)生的截面形狀是______;它截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀是______.答案:根據(jù)球的幾何特征,一平面截球面產(chǎn)生的截面形狀是圓;當(dāng)平面與圓柱的底面平行時(shí),截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀為圓;當(dāng)平面與圓柱的底面不平行時(shí),截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀為橢圓;故為:圓,圓或橢圓38.若隨機(jī)變量ξ~N(2,9),則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望c=()
A.4
B.3
C.2
D.1答案:C39.已知向量a=(-2,1),b=(-3,-1),若單位向量c滿足c⊥(a+b),則c=______.答案:設(shè)c=(x,y),∵向量a=(-2,1),b=(-3,-1),單位向量c滿足c⊥(a+b),∴c?a+c?b=0,∴-2x+y-3x-y=0,解得x=0,∴c=(0,y),∵c是單位向量,∴0+y2=1,∴y=±1.故c=(0,1),或c=(0,-1).故為:(0,1)或(0,-1).40.2010年廣州亞運(yùn)會(huì)乒乓球男單決賽中,馬龍與王皓在前三局的比分分別是9:11、11:8、11:7,已知馬琳與王皓的水平相當(dāng),比賽實(shí)行“七局四勝”制,即先贏四局者勝,求(1)王皓獲勝的概率;
(2)比賽打滿七局的概率.(3)記比賽結(jié)束時(shí)的比賽局?jǐn)?shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.答案:(1)在馬龍先前三局贏兩局的情況下,王皓取勝有兩種情況.第一種是王皓連勝三局;第二種是在第四到第六局,王皓贏了兩局,第七局王皓贏.在第一種情況下王皓取勝的概率為(12)3=18;在第二種情況下王皓取勝的概率為為C23(12)3×12=316,王皓獲勝的概率18+316=516;(3分)(2)比賽打滿七局有兩種結(jié)果:馬龍勝或王皓勝.記“比賽打滿七局,馬龍勝”為事件A,則P(A)=C13(12)3×12=316;記“比賽打滿七局,王皓勝”為事件B,則P(B)=C23(12)3×12=316;因?yàn)槭录嗀、B互斥,所以比賽打滿七局的概率為P(A)+P(B)=38.(7分)(3)比賽結(jié)束時(shí),比賽的局?jǐn)?shù)為5,6,7,則打完五局馬龍獲勝的概率為12×12=14;打完六局馬琳獲勝的概率為C12(12)2×12=14,王皓取勝的概率為(12)3=18;比賽打滿七局,馬龍獲勝的概率為C13(12)3×12=316,王皓取勝的概率為為C23(12)3×12=316;所以ξ的分布列為ξ567P(ξ)143838Eξ=5×14+6×38+7×38=498.(12分)41.為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí),則解密得到的明文為()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7答案:∵明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,∴當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí),則a+2b=142b+c=92c+3d=234d=28,解得a=6b=4c=1d=7,解密得到的明文為6,4,1,7故選C.42.在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,若AC′=xAB+2yBC-3zC′C,則x+y+z等于______.答案:根據(jù)向量的加法法則可得,AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1,2y=1,-3z=1∴x=1,y=12,z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故為:7643.如果關(guān)于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集為空集,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為______.答案:|x-4|-|x+5|的幾何意義就是數(shù)軸上的點(diǎn)到4的距離與到-5的距離的差,差的最大值為9,如果關(guān)于x的不等式|x-4|-|x+5|≥b的解集為空集,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為b>9;故為:b>9.44.圓x2+y2=1上的點(diǎn)到直線x=2的距離的最大值是
______.答案:根據(jù)題意,圓上點(diǎn)到直線距離最大值為:半徑+圓心到直線的距離.而根據(jù)圓x2+y2=1圓心為(0,0),半徑為1∴dmax=1+2=3故為:345.給出一個(gè)程序框圖,輸出的結(jié)果為s=132,則判斷框中應(yīng)填()
A.i≥11
B.i≥10
C.i≤11
D.i≤12
答案:A46.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)向量其中,若且0≤μ≤λ≤1,那么C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是()
A.
B.
C.
D.
答案:A47.已知四邊形ABCD,
點(diǎn)E、
F、
G、
H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),
求證:
EF=HG.答案:證明:∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),∴HG=12AC,EF=12AC,∴EF=HG.48.在極坐標(biāo)系中,極點(diǎn)到直線ρcosθ=2的距離為______.答案:直線ρcosθ=2即x=2,極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0),故極點(diǎn)到直線ρcosθ=2的距離為2,故為2.49.如圖,△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是邊BC,AB,CA的中點(diǎn),在以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線段中所表示的向量中,
(1)與向量FE共線的有
______.
(2)與向量DF的模相等的有
______.
(3)與向量ED相等的有
______.答案:(1)∵EF是△ABC的中位線,∴EF∥BC且EF=12BC,則與向量FE共線的向量是BC、BD、DC、CB、DB、CD;(2))∵DF是△ABC的中位線,∴DF∥AC且DF=12AC,則與向量DF的模相等的有CE,EA,EC,AF;(3)∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥AB且DE=12AB,則與向量ED相等的有AF,F(xiàn)B.50.全稱命題“任意x∈Z,2x+1是整數(shù)”的逆命題是()
A.若2x+1是整數(shù),則x∈Z
B.若2x+1是奇數(shù),則x∈Z
C.若2x+1是偶數(shù),則x∈Z
D.若2x+1能被3整除,則x∈Z
E.若2x+1是整數(shù),則x∈Z答案:A第3卷一.綜合題(共50題)1.在下列四個(gè)命題中,正確的共有()
①坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率;
②直線的傾斜角的取值范圍是[0,π];
③若一條直線的斜率為tanα,則此直線的傾斜角為α;
④若一條直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tanα.
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)答案:A2.用反證法證明“a>b”時(shí),反設(shè)正確的是()
A.a(chǎn)>b
B.a(chǎn)<b
C.a(chǎn)=b
D.以上都不對(duì)答案:D3.關(guān)于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的兩根異號(hào),且負(fù)數(shù)根的絕對(duì)值比正數(shù)根大,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.-3<m<0
B.0<m<3
C.m<-3或m>0
D.m<0或m>3答案:A4.若集合A={1,2,3},則集合A的真子集共有()A.3個(gè)B.5個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)答案:由集合A={1,2,3},所以集合A的真子集有?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7個(gè).故選C.5.利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法計(jì)算y=x2與y=4所圍成的區(qū)域Ω的面積時(shí),可以先運(yùn)行以下算法步驟:
第一步:利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)在[0,1]區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a,b;
第二步:對(duì)隨機(jī)數(shù)a,b實(shí)施變換:答案:根據(jù)題意可得,點(diǎn)落在y=x2與y=4所圍成的區(qū)域Ω的點(diǎn)的概率是100-34100=66100,矩形的面積為4×4=16,陰影部分的面積為S,則有S16=66100,∴S=10.56.故為:10.56.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,且過點(diǎn)P(2,4),則該拋物線的方程是______.答案:設(shè)所求拋物線方程為y2=ax,依題意42=2a∴a=8,故所求為y2=8x.故為:y2=8x7.一個(gè)盒子中裝有4張卡片,上面分別寫著四個(gè)函數(shù):f1(x)=x3,f2(x)=x4,f3(x)=2|x|,f4(x)=x+1x,現(xiàn)從盒子中任取2張卡片,將卡片上的函數(shù)相乘得到一個(gè)新函數(shù),所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率是______.答案:要使所得函數(shù)為奇函數(shù),取出的兩個(gè)函數(shù)必須是一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù).而所給的4個(gè)函數(shù)中,有2個(gè)奇函數(shù)、2個(gè)偶函數(shù).所有的取法種數(shù)為C24=6,滿足條件的取法有2×2=4種,故所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率是46=23,故為23.8.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
廣告費(fèi)用x(萬元)
2
3
4
5
銷售額y(萬元)
27
39
48
54
根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為()
A.65.5萬元
B.66.2萬元
C.67.7萬元
D.72.0萬元答案:A9.如圖是《集合》的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,如果要加入“子集”,那么應(yīng)該放在()
A.“集合”的下位
B.“含義與表示”的下位
C.“基本關(guān)系”的下位
D.“基本運(yùn)算”的下位
答案:C10.關(guān)于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有兩實(shí)根,且一個(gè)大于4,一個(gè)小于4,求m的取值范圍。答案:解:令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14,依題意得或,即或,解得。11.若直線l經(jīng)過點(diǎn)A(-1,1),且一個(gè)法向量為n=(3,3),則直線方程是______.答案:設(shè)直線的方向向量m=(1,k)∵直線l一個(gè)法向量為n=(3,3)∴m?n=0∴k=-1∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A(-1,1)∴直線l的方程為y-1=(-1)×(x+1)即x+y=0故為x+y=012.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離為()
A.2
B.
C.
D.答案:D13.已知圓C:x2+y2-4y-6y+12=0,求:
(1)過點(diǎn)A(3,5)的圓的切線方程;
(2)在兩條坐標(biāo)軸上截距相等的圓的切線方程.答案:(l)設(shè)過點(diǎn)A(3,5)的直線?的方程為y-5=k(x-3).因?yàn)橹本€?與⊙C相切,而圓心為C(2,3),則|2k-3-3k+5|k2+1=1,解得k=34所以切線方程為y-5=34(x-3),即3x-4y+11=0.由于過圓外一點(diǎn)A與圓相切的直線有兩條,因此另一條切線方程為x=3.(2)因?yàn)樵c(diǎn)在圓外,所以設(shè)在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程x+y=a或y=kx.由直線與圓相切得,|2+3-a|2=1或|2k-3|k2+1=1,解得a=5士2,k=6±223故所求的切線方程為x+y=5士2或y=6±223x.14.命題“存在實(shí)數(shù)x,,使x>1”的否定是()
A.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x>1
B.不存在實(shí)數(shù)x,使x≤1
C.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x≤1
D.存在實(shí)數(shù)x,使x≤1答案:C15.已知l∥α,且l的方向向量為(2,-8,1),平面α的法向量為(1,y,2),則y=______.答案:∵l∥α,∴l(xiāng)的方向向量(2,-8,1)與平面α的法向量(1,y,2)垂直,∴2×1-8×y+2=0,解得y=12.故為12.16.在直徑為4的圓內(nèi)接矩形中,最大的面積是()
A.4
B.2
C.6
D.8答案:D17.(選做題)已知矩陣.122x.的一個(gè)特征值為3,求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.答案:矩陣M的特征多項(xiàng)式為.λ-1-2-2λ-x.=(λ-1)(λ-x)-4…(1分)因?yàn)棣?=3方程f(λ)=0的一根,所以x=1…(3分)由(λ-1)(λ-1)-4=0得λ2=-1,…(5分)設(shè)λ2=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=xy,則-2x-2y=0-2x-2y=0得x=-y…(8分)令x=1則y=-1,所以矩陣M的另一個(gè)特征值為-1,對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=1-1…(10分)18.三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分別是BB1、AC的中點(diǎn),設(shè),,=,則等于()
A.
B.
C.
D.答案:A19.若2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,則過點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的直線方程是______.答案:∵2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,∴點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在直線2x+3y=4上,又因?yàn)檫^兩點(diǎn)確定一條直線,故所求直線方程為2x+3y=4故為:2x+3y=420.如圖,割線PAB經(jīng)過圓心O,PC切圓O于點(diǎn)C,且PC=4,PB=8,則△PBC的外接圓的面積為______.答案:∵PC切圓O于點(diǎn)C,∴根據(jù)切割線定理即可得出PC2=PA?PB,∴42=8PA,解得PA=2.∴ACCB=PAPC=12∴tanB=12∴sinB=55設(shè)△PBC的外接圓的半徑為R,則455=2R,解得R=25.∴△PBC的外接圓的面積為20π故為:20π21.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+2y+3z=1,則x2+y2+z2的最小值為______.答案:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2+)(12+22+32)故x2+y2+z2≥114,當(dāng)且僅當(dāng)x1=y2=z3,即:x2+y2+z2的最小值為114.故為:11422.方程x2+y2=1(xy<0)的曲線形狀是()
A.
B.
C.
D.
答案:C23.已知函數(shù)①f(x)=3lnx;②f(x)=3ecosx;③f(x)=3ex;④f(x)=3cosx.其中對(duì)于f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量x1都存在唯一個(gè)個(gè)自變量x2,使f(x1)f(x2)=3成立的函數(shù)序號(hào)是______.答案:根據(jù)題意可知:①f(x)=3lnx,x=1時(shí),lnx沒有倒數(shù),不成立;②f(x)=3ecosx,任一自變量f(x)有倒數(shù),但所取x】的值不唯一,不成立;③f(x)=3ex,任意一個(gè)自變量,函數(shù)都有倒數(shù),成立;④f(x)=3cosx,當(dāng)x=2kπ+π2時(shí),函數(shù)沒有倒數(shù),不成立.所以成立的函數(shù)序號(hào)為③故為③24.設(shè)向量a=(x+1,y),b=(x-1,y),點(diǎn)P(x,y)為動(dòng)點(diǎn),已知|a|+|b|=4.
(1)求點(diǎn)p的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)p的軌跡與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)F(1,0)的直線交點(diǎn)P的軌跡于B、C兩點(diǎn),試推斷△ABC的面積是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.答案:(1)由已知,(x+)2+y2+(x-1)2+1=4,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M是以點(diǎn)E(-1,0),F(xiàn)(1,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.因?yàn)閏=1,a=2,則b2=a2-c2=3.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M方程是x24+y23=1(2)設(shè)直線BC的方程x=my+1與(1)中的橢圓方程x24+y23=1聯(lián)立消去x可得(3m2+4)y2+6my-9=0,設(shè)點(diǎn)B(x1,y1),C(x2,y2)則y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,所以|BC|=m2+1(y1+y2)2-4y1y2=12(m2+1)3m2+4點(diǎn)A到直線BC的距離d=31+m2S△ABC=12|BC|d=181+m23m2+4令1+m2=t,t≥1,∴S△ABC=12|BC|d=18t3t2+1=183t+1t≤92故三角形的面積最大值為9225.已知空間三點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),若A,B,C三點(diǎn)共線,則p=______,q=______.答案:∵A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),∴AB=(1,-1,3),AC=(p-1,-2,q+4)∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴AB=λAC∴(1,-1,3)=λ(p-1,-2,q+4),∴1=λ(p-1)-1=-2λ,3=λ(q+4),∴λ=12,p=3,q=2,故為:3;226.若直線ax+by+c=0(a,b,c都是正數(shù))與圓x2+y2=1相切,則以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是()
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.不能確定答案:B27.如圖所示,設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),并且AP=15AB+25AC,則△ABP與△ABC的面積之比等于()A.15B.12C.25D.23答案:連接CP并延長(zhǎng)交AB于D,∵P、C、D三點(diǎn)共線,∴AP=λAD+μAC且λ+μ=1設(shè)AB=kAD,結(jié)合AP=15AB+25AC得AP=k5AD+25AC由平面向量基本定理解之,得λ=35,k=3且μ=25∴AP=35AD+25AC,可得PD=25CD,∵△ABP的面積與△ABC有相同的底邊AB高的比等于|PD|與|CD|之比∴△ABP的面積與△ABC面積之比為25故選:C28.甲乙兩人在罰球線投球命中的概率為,甲乙兩人在罰球線上各投球一次,則恰好兩人都中的概率為()
A.
B.
C.
D.答案:A29.72的正約數(shù)(包括1和72)共有______個(gè).答案:72=23×32.∴2m?3n(0≤m≤3,0≤n≤2,m,n∈N)都是72的正約數(shù).m的取法有4種,n的取法有3種,由分步計(jì)數(shù)原理共3×4個(gè).故為:12.30.若圓x2+y2=9上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的,則所得到的曲線的方程是()
A.
B.
C.
D.答案:C31.下列各圖象中,哪一個(gè)不可能是函數(shù)
y=f(x)的圖象()A.
B.
C.
D.
答案:函數(shù)表示每個(gè)輸入值對(duì)應(yīng)唯一輸出值的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.選項(xiàng)D,對(duì)于x=1時(shí)有兩個(gè)輸出值與之對(duì)應(yīng),故不是函數(shù)圖象故選D.32.向量化簡(jiǎn)后等于()
A.
B.
C.
D.答案:C33.若實(shí)數(shù)X、少滿足,則的范圍是()
A.[0,4]
B.(0,4)
C.(-∝,0]U[4,+∝)
D.(-∝,0)U(4,+∝))答案:D34.已知直線ax+by+c=0(a,b,c都是正數(shù))與圓x2+y2=1相切,則以a,b,c為三邊長(zhǎng)的三角形()
A.是銳角三角形
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