數學建模課程學習

第一講

數學建模簡介

一種分享，一個問題，一系概念，一串思考，一些例子，一份作業(yè)^^今日導讀:1.1一種分享學會解數學題物理問題à數學問題實際問題à數學問題實際問題à數學問題à軟件解問題：樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？1.2一個問題不是開玩笑，這就是數學建模，從不同角度思考一個問題，想盡所有可能。到底什么是數學建模？1.3一系概念1.3一系概念1.3.1數學模型數學建模的全過程現實對象的信息數學模型現實對象的解答數學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數學問題選擇適當的數學方法求得數學模型的解答將數學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現實對象的信息檢驗得到的解答實踐現實世界數學世界理論實踐1.3一系概念1.3.2建模全過程1.3一系概念1.3.3建模領域數學建模的基本方法機理分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數據的統(tǒng)計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數數學建模的方法和步驟1.3.4模型假設針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中模型建立用數學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數學工具數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟模型準備模型假設模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型求解各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數據的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用數學建模的一般步驟模型的分類1）按變量的性質分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機性模型非線性模型多變量模型2）按時間變化對模型的影響分靜態(tài)模型參數定常模型動態(tài)模型參數時變模型1.3.53）按模型的應用領域（或所屬學科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數學模型、醫(yī)學數學模型、地質數學模型、數量經濟學模型、數學社會學模型等。4）按建立模型的數學方法（或所屬數學分支）分初等模型、幾何模型、線性代數模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、預報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對模型結構的了解程度分白箱模型：其內在機理相當清楚的學科問題，包括力學、熱學、電學等?；蚁淠Ｐ停浩鋬仍跈C理尚不十分清楚的現象和問題，包括生態(tài)、氣象、經濟、交通等。黑箱模型：其內在機理（數量關系）很不清楚的現象，如生命科學、社會科學等。

數學建模示例

例一桌子的穩(wěn)定性問題

問題：將四條腿一樣長的正方形桌子放在不平的地面上，不允許將其移到別處，但可繞中心旋轉，是否總能設法使它的四條腿同時著地，即放穩(wěn)。模型假設

1）地面為光滑連續(xù)曲面；

2）相對地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長的；

3）只要有一點著地就視為已經著地，即將與地面的接觸視為幾何上的點接觸；

4）方桌的中心不動，四條腿等長。1.4一些例子模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續(xù)函數對任意,f(),g()至少一個為0數學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數;對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數,據連續(xù)函數的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定連續(xù)函數的介值定理oxyab思考題1：長方形的椅子會有同樣的性質嗎？oxyABCD思考題1長方形椅子穩(wěn)定性問題表示A,B與地面距離之和表示C,D與地面距離之和則由三點著地，有ACABCD建模步驟重現模型準備模型假設模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用更多簡單例子練習1.（河內塔問題）有8個大小不等的圓盤依次其半徑從大到小套在樁A上，現在將8個圓盤移到空樁B或C上（仍保持從大到小的順序）。移動過程中要求一次只能移動一個圓盤且始終保持大盤在下，小盤在上，當然樁也可利用。試問至少多少次可以完成？1.5一串練習模型建立：先將樁A的上面的7個盤按要求移到樁C上，這需要移動a7次，再將樁A上的最大盤移到樁B上，這需要移動1次，最后又將C上的7個盤按要求再移到樁B上，又需要a7次。于是得到遞推關系模型求解：可得1.模型準備與假設2.模型建立3.模型求解4.模型分析與檢驗5模型應用2.某人第一天上午8:00有A點出發(fā)，與下午6:00到達B處。第二天上午8:00他又從B出出發(fā)按原路返回，并于下午6:00回到A處。此人必在兩天中同一時間經過路中同一個地點，為什么？我們從A點為始點記路程，設從A點到B點的路程函數為f(t)，即t時刻走的距離為f(t)；同樣，設從B點到A點的路程為g(t)。由題意知又注意f(t)，g(t)都是時刻t的連續(xù)函數，因此h(t)也是t時刻的連續(xù)函數，由連續(xù)函數的介值定理,一定存在某時刻t0使h(t0)=0，即f(t0)=g(t0).1.模型準備與假設2.模型建立3.模型求解4.模型分析與檢驗5模型應用3.兄妹兩人，哥哥和妹妹分別在離家4km和2km且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以4km/h和2km/h的速度步行回家。家中的狗以6km/h的速度一直在兩人之間來回奔跑。問半個小時后，狗仔何處？一個小時后狗仔何處？

4.某人由A處到B處去，途中需到河邊取些水，如下圖。問走那條路最近？（用盡可能簡單的辦法求解。）dAB河5.大小包裝問題在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1，試用比例方法構造模型解釋這種現象。（1）分析商品價格C與商品重量w的關系。（2）給出單位重量價格c與w的關系，并解釋其實際意義。提示：決定商品價格的主要因素：生產成本、包裝成本、其他成本。單價隨重量增加而減少單價的減少隨重量增加逐漸降低交流平臺郵箱：dhsxjm@Qq:2227205535選群主991848653，建群馬上行動：去圖書館看相關書籍（至少1-2本）或購買內容：《數學建?！贰稊祵W建模案例》《數學建模與數學實驗》