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文檔簡介
長風(fēng)破浪會有時,直掛云帆濟滄海。住在富人區(qū)的她2023年江西陶瓷工藝美術(shù)職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請謹慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.試比較nn+1與(n+1)n(n∈N*)的大?。?/p>
當(dāng)n=1時,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
當(dāng)n=2時,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
當(dāng)n=3時,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
當(dāng)n=4時,有nn+1______(n+1)n(填>、=或<);
猜想一個一般性的結(jié)論,并加以證明.答案:當(dāng)n=1時,nn+1=1,(n+1)n=2,此時,nn+1<(n+1)n,當(dāng)n=2時,nn+1=8,(n+1)n=9,此時,nn+1<(n+1)n,當(dāng)n=3時,nn+1=81,(n+1)n=64,此時,nn+1>(n+1)n,當(dāng)n=4時,nn+1=1024,(n+1)n=625,此時,nn+1>(n+1)n,根據(jù)上述結(jié)論,我們猜想:當(dāng)n≥3時,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.①當(dāng)n=3時,nn+1=34=81>(n+1)n=43=64即nn+1>(n+1)n成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時,kk+1>(k+1)k成立,即:kk+1(k+1)k>1則當(dāng)n=k+1時,(k+1)k+2(k+2)k+1=(k+1)?(k+1k+2)k+1>(k+1)?(kk+1)k+1=kk+1(k+1)k>1即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,即當(dāng)n=k+1時也成立,∴當(dāng)n≥3時,nn+1>(n+1)n(n∈N*)恒成立.2.以知F是雙曲線x24-y212=1的左焦點,A(1,4),P是雙曲線右支上的動點,則|PF|+|PA|的最小值為______.答案:∵A點在雙曲線的兩只之間,且雙曲線右焦點為F′(4,0),∴由雙曲線性質(zhì)|PF|-|PF′|=2a=4而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5兩式相加得|PF|+|PA|≥9,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F’三點共線時等號成立.故為93.設(shè)P是邊長為23的正△ABC內(nèi)的一點,x,y,z是P到三角形三邊的距離,則x+y+z的最大值為______.答案:正三角形的邊長為a=23,可得它的高等于32a=3∵P是正三角形內(nèi)部一點∴點P到三角形三邊的距離之和等于正三角形的高,即x+y+z=3∵(x+y+z)2=(1×x+1×y+1×z)2≤(1+1+1)(x+y+z)=9∴x+y+z≤3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時,x+y+z的最大值為3故為:34.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點P(a,0,0),Q(4,1,2),且|PQ|=,則a=()
A.1
B.-1
C.-1或9
D.1或9答案:C5.某市為抽查控制汽車尾氣排放的執(zhí)行情況,選擇了抽取汽車車牌號的末位數(shù)字是6的汽車進行檢查,這樣的抽樣方式是(
)
A.抽簽法
B.簡單隨機抽樣
C.分層抽樣
D.系統(tǒng)抽樣答案:D6.用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角至多有一個鈍角”,正確的假設(shè)是()
A.三角形的內(nèi)角至少有一個鈍角
B.三角形的內(nèi)角至少有兩個鈍角
C.三角形的內(nèi)角沒有一個鈍角
D.三角形的內(nèi)角沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角答案:B7.若a,b∈R,求證:≤+.答案:證明略解析:證明
當(dāng)|a+b|=0時,不等式顯然成立.當(dāng)|a+b|≠0時,由0<|a+b|≤|a|+|b|≥,所以=≤=≤+.8.某海域內(nèi)有一孤島,島四周的海平面(視為平面)上有一淺水區(qū)(含邊界),其邊界是長軸長為2a,短軸長為2b的橢圓,已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2,且兩個導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上,現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域(船只的大小忽略不計),在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為θ1、θ2,那么船只已進入該淺水區(qū)的判別條件是______.答案:依題意,|MF1|+|MF2|≤2a?h1?cotθ1+h2?cotθ2≤2a;故為:h1?cotθ1+h2?cotθ2≤2a9.根據(jù)給出的程序語言,畫出程序框圖,并計算程序運行后的結(jié)果.
答案:程序框圖:模擬程序運行:當(dāng)j=1時,n=1,當(dāng)j=2時,n=1,當(dāng)j=3時,n=1,當(dāng)j=4時,n=2,…當(dāng)j=8時,n=2,…當(dāng)j=11時,n=2,當(dāng)j=12時,此時不滿足循環(huán)條件,退出循環(huán)程序運行后的結(jié)果是:2.10.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費由f(m)=1.06(0.50×[m]+1)給出,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整數(shù)(例如[3]=3,[3.7]=4,[3.1]=4),則從甲地到乙地通話時間為5.5分鐘的話費為()A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77C答案:由[m]是大于或等于m的最小整數(shù)可得[5.5]=6.所以f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×4=4.24.故選:C.11.函數(shù)y=ax+b和y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)的圖象只可能是()A.
B.
C.
D.
答案:對于A:函數(shù)y=ax+b遞增可得a>0,0<b<1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0故A正確對于B:函數(shù)y=ax+b遞增可得a>0,b>1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0,矛盾,故B不正確對于C:函數(shù)y=ax+b遞減可得a<0,0<b<1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0,矛盾,故C不正確對于D:函數(shù)y=ax+b遞減可得a<0,b>1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞增可得b>1且a>0,矛盾,故D不正確故選A12.一支田徑隊有男運動員112人,女運動員84人,用分層抽樣的方法從全體男運動員中抽出了32人,則應(yīng)該從女運動員中抽出的人數(shù)為()
A.12
B.13
C.24
D.28答案:C13.在莖葉圖中,樣本的中位數(shù)為______,眾數(shù)為______.答案:由莖葉圖可知樣本數(shù)據(jù)共有6,出現(xiàn)在中間兩位位的數(shù)據(jù)是20,24,所以樣本的中位數(shù)是(20+24)÷2=22由莖葉圖可知樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的是12,樣本的眾數(shù)是12為:22,1214.若直線l與直線2x+5y-1=0垂直,則直線l的方向向量為______.答案:直線l與直線2x+5y-1=0垂直,所以直線l:5x-2y+k=0,所以直線l的方向向量為:(2,5).故為:(2,5)15.某單位200名職工的年齡分布情況如圖,現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本、用系統(tǒng)抽樣法,將全體職工隨機按1~200編號,并按編號順序平均分為40組(1~5號,6~10號,…,196~200號).若第5組抽出的號碼為22,則第8組抽出的號碼應(yīng)是______.若用分層抽樣方法,則40歲以下年齡段應(yīng)抽取______人.答案:∵將全體職工隨機按1~200編號,并按編號順序平均分為40組,由分組可知,抽號的間隔為5,∵第5組抽出的號碼為22,∴第6組抽出的號碼為27,第7組抽出的號碼為32,第8組抽出的號碼為37.40歲以下的年齡段的職工數(shù)為200×0.5=100,則應(yīng)抽取的人數(shù)為40200×100=20(人).故為:37;2016.在極坐標(biāo)系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲線ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點的極坐標(biāo)為
______.答案:兩條曲線的普通方程分別為x2+y2=2y,x=-1.解得x=-1y=1.由x=ρcosθy=ρsinθ得點(-1,1),極坐標(biāo)為(2,3π4).故填:(2,3π4).17.若正四面體ABCD的棱長為1,M是AB的中點,則MC
?MD
=______.答案:在正四面體中,因為M是AB的中點,所以CM=12(CA+CB),DM=12(DA+DB),所以CM?DM=12(CA+CB)?12(DA+DB)=14(CA?DA+CB?DA+CA?DB+CB?DB)=14(1×1×cos60°+0+0+1×1×cos60°)=14×1=14.所以MC
?MD
=CM?DM=14.故為:
1
4
.18.直線l過點(-3,1),且它的一個方向向量n=(2,-3),則直線l的方程為______.答案:設(shè)直線l的另一個方向向量為a=(1,k),其中k是直線的斜率可得n=(2,-3)與a=(1,k)互相平行∴12=k-3?k=-32所以直線l的點斜式方程為:y-1=-32(x+3)化成一般式:3x+2y+7=0故為:3x+2y+7=019.將參數(shù)方程x=2sinθy=1+2cos2θ(θ為參數(shù),θ∈R)化為普通方程,所得方程是______.答案:由x=2sinθ
①y=1+2cos2θ
②,因為θ∈R,所以-1≤sinθ≤1,則-2≤x≤2.由①兩邊平方得:x2=2sin2θ③由②得y-1=2cos2θ④③+④得:x2+y-1=2,即y=-x2+3(-2≤x≤2).故為y=-x2+3(-2≤x≤2).20.下列對一組數(shù)據(jù)的分析,不正確的說法是()
A.?dāng)?shù)據(jù)極差越小,樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
B.?dāng)?shù)據(jù)平均數(shù)越小,樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
C.?dāng)?shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差越小,樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定
D.?dāng)?shù)據(jù)方差越小,樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定答案:B21.如圖,在半徑為7的⊙O中,弦AB,CD相交于點P,PA=PB=2,PD=1,則圓心O到弦CD的距離為______.答案:由相交弦定理得,AP×PB=CP×PD,∴2×2=CP?1,解得:CP=4,又PD=1,∴CD=5,又⊙O的半徑為7,則圓心O到弦CD的距離為d=r2-(CD2)2=7-(52)2=32.故為:32.22.已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則A1B1=A2B2是l1∥l2的()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件答案:當(dāng)A1B1=A2B2
時,兩直線可能平行,也可能重合,故充分性不成立.當(dāng)l1∥l2時,B1與B2可能都等于0,故A1B1=A2B2
不一定成立,故必要性不成立.綜上,A1B1=A2B2是l1∥l2的既非充分又非必要條件,故選D.23.設(shè)d1與d2都是直線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量,則下列關(guān)于d1與d2的敘述正確的是()A.d1=d2B.d1與d2同向C.d1∥d2D.d1與d2有相同的位置向量答案:根據(jù)直線的方向向量定義,把直線上的非零向量以及與之共線的非零向量叫做直線的方向向量.因此,線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量都應(yīng)該是共線的故選C.24.某細胞在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂一次(由1個細胞分裂成2個),則經(jīng)過兩個小時后,1個這樣的細胞可以分裂成______個.答案:由于每15分鐘分裂一次,則兩個小時共分裂8次.一個這樣的細胞經(jīng)過一次分裂后,由1個分裂成2個;經(jīng)過2次分裂后,由1個分裂成22個;…經(jīng)過8次分裂后,由1個分裂成28個.∴1個這樣的細胞經(jīng)過兩個小時后,共分裂成28個,即256個.故為:25625.若a、b是直線,α、β是平面,a⊥α,b⊥β,向量m在a上,向量n在b上,m=(0,3,4),n=(3,4,0),則α、β所成二面角中較小的一個余弦值為______.答案:由題意,∵m=(0,3,4),n=(3,4,0),∵cos<m,n>=m?n|m||n|=125?5=1225∵a⊥α,b⊥β,向量m在a上,向量n在b上,∴α、β所成二面角中較小的一個余弦值為1225故為122526.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=4cosθy=2sinθ(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,得曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ(ρ>0).
(Ⅰ)化曲線C1、C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(Ⅱ)設(shè)曲線C1與x軸的一個交點的坐標(biāo)為P(m,0)(m>0),經(jīng)過點P作曲線C2的切線l,求切線l的方程.答案:(Ⅰ)曲線C1:x216+y24=1;曲線C2:(x-1)2+(y+2)2=5;(3分)曲線C1為中心是坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,長半軸長是4,短半軸長是2的橢圓;曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓(2分)(Ⅱ)曲線C1:x216+y24=1與x軸的交點坐標(biāo)為(-4,0)和(4,0),因為m>0,所以點P的坐標(biāo)為(4,0),(2分)顯然切線l的斜率存在,設(shè)為k,則切線l的方程為y=k(x-4),由曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓得|k+2-4k|k2+1=5,解得k=3±102,所以切線l的方程為y=3±102(x-4)(3分)27.將參數(shù)方程x=1+2cosθy=2sinθ(θ為參數(shù))化成普通方程為
______.答案:由題意得,x=1+2cosθy=2sinθ?x-1=2cosθy=2sinθ,將參數(shù)方程的兩個等式兩邊分別平方,再相加,即可消去含θ的項,所以有(x-1)2+y2=4.28.已知直線方程l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,則l1與l2的關(guān)系()
A.平行
B.重合
C.相交
D.以上答案都不對答案:A29.若向量=(1,λ,2),=(-2,1,1),,夾角的余弦值為,則λ等于()
A.1
B.-1
C.±1
D.2答案:A30.右圖程序運行后輸出的結(jié)果為()
A.3456
B.4567
C.5678
D.6789
答案:A31.將參加數(shù)學(xué)競賽的1000名學(xué)生編號如下:0001,0002,0003,…,1000,打算從中抽取一個容量為50的樣本,按系統(tǒng)抽樣的辦法分成50個部分.如果第一部分編號為0001,0002,…,0020,從中隨機抽取一個號碼為0015,則第40個號碼為______.答案:∵系統(tǒng)抽樣是先將總體按樣本容量分成k=Nn段,再間隔k取一個.又∵現(xiàn)在總體的個體數(shù)為1000,樣本容量為50,∴k=20∴若第一個號碼為0015,則第40個號碼為0015+20×39=0795故為079532.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,拋物線上一點A的橫坐標(biāo)為x1(x1>0),過點A作拋物線C的切線l1交x軸于點D,交y軸于點Q,交直線l:y=p2于點M,當(dāng)|FD|=2時,∠AFD=60°.
(1)求證:△AFQ為等腰三角形,并求拋物線C的方程;
(2)若B位于y軸左側(cè)的拋物線C上,過點B作拋物線C的切線l2交直線l1于點P,交直線l于點N,求△PMN面積的最小值,并求取到最小值時的x1值.答案:(1)設(shè)A(x1,x122p),則A處的切線方程為l1:y=x1px-x122p,可得:D(x12,0),Q(0,-x212p)∴|FQ|=p2+x212p=|AF|;∴△AFQ為等腰三角形.由點A,Q,D的坐標(biāo)可知:D為線段AQ的中點,∴|AF|=4,得:p2+x212p=4x21+p2=16∴p=2,C:x2=4y.(2)設(shè)B(x2,y2)(x2<0),則B處的切線方程為y=x22x-x224聯(lián)立y=x22x-x224y=x12x-x214得到點P(x1+x22,x1x24),聯(lián)立y=x12x-x214y=1得到點M(x12+2x1,1).同理N(x22+2x2,1),設(shè)h為點P到MN的距離,則S△=12|MN|?h=12×(x12+2x1-x22-2x2)(1-x1x24)=(x2-x1)(4-x1x2)216x1x2
①設(shè)AB的方程為y=kx+b,則b>0,由y=kx+bx2=4y得到x2-4kx-4b=0,得x1+x2=4kx1x2=-4b代入①得:S△=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb,要使面積最小,則應(yīng)k=0,得到S△=(1+b)2bb②令b=t,得S△(t)=(1+t2)2t=t3+2t+1t,則S′△(t)=(3t2-1)(t2+1)t2,所以當(dāng)t∈(0,33)時,S(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(33,+∞)時,S(t)單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=33時,S取到最小值為1639,此時b=t2=13,k=0,所以y1=13,解得x1=233.故△PMN面積取得最小值時的x1值為233.33.在極坐標(biāo)系中,圓ρ=-2cosθ的圓心的極坐標(biāo)是()
A.(1,)
B.(1,-)
C.(1,0)
D.(1,π)答案:D34.從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球,以下給出了三組事件:
①至少有1個白球與至少有1個黃球;
②至少有1個黃球與都是黃球;
③恰有1個白球與恰有1個黃球.
其中互斥而不對立的事件共有()組.
A.0
B.1
C.2
D.3答案:A35.BC是Rt△ABC的斜邊,AP⊥平面ABC,PD⊥BC于點D,則圖中共有直角三角形的個數(shù)是()A.8B.7C.6D.5答案:∵AP⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC,又PD⊥BC于D,連接AD,PD∩PA=A,∴BC⊥平面PAD,AD?平面PAD,∴BC⊥AD;又BC是Rt△ABC的斜邊,∴∠BAC為直角,∴圖中的直角三角形有:△ABC,△PAC,△PAB,△PAD,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB.故為:8.36.已知三個向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?答案:解:實數(shù)λ,μ,使p=λq+μr,則a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c∵a,b,c不共面,∴∴即存在實數(shù),,使p=λq+μr,故向量p、q、r共面.37.直線l:y-1=k(x-1)和圓C:x2+y2-2y=0的關(guān)系是()
A.相離
B.相切或相交
C.相交
D.相切答案:C38.在極坐標(biāo)系中,點A(2,π2)關(guān)于直線l:ρcosθ=1的對稱點的一個極坐標(biāo)為______.答案:在直角坐標(biāo)系中,A(0,2),直線l:x=1,A關(guān)于直線l的對稱點B(2,2).由于|OB|=22,OB直線的傾斜角等于π4,且點B在第一象限,故B的極坐標(biāo)為(22,π4),故為
(22,π4).39.對于回歸方程y=4.75x+2.57,當(dāng)x=28時,y
的估計值是______.答案:∵回歸方程y=4.75x+2.57,∴當(dāng)x=28時,y的估計值是4.75×28+2.57=135.57.故為:135.57.40.將程序補充完整
INPUT
x
m=xMOD2
IF______THEN
PRINT“x是偶數(shù)”
ELSE
PRINT“x是奇數(shù)”
END
IF
END.答案:本程序的作用是判斷出輸入的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),由其邏輯關(guān)系知,若邏輯是“是”則輸出“x是偶數(shù)”,若邏輯是“否”,則輸出“x是奇數(shù)”故判斷條件應(yīng)為m=0故為m=041.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),則(2a-3b)?(a+2b)=______.答案:∵2a-3b=(-10,13,-14),a+2b=(16,-4,0)∴(2a-3b)?(a+2b)=-10×16+13×(-4)=-212故為-21242.設(shè)z∈C,|z|≤2,則點Z表示的圖形是()A.直線x=2的左半平面B.半徑為2的圓面C.直線x=2的右半平面D.半徑為2的圓答案:由題意z∈C,|z|≤2,由得數(shù)的幾何意義知,點Z表示的圖形是半徑為2的圓面,故選B43.命題:“方程x2-1=0的解是x=±1”,其使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是()A.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”B.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”C.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”D.沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞答案:“x=±1”可以寫成“x=1或x=-1”,故選B.44.給定點A(x0,y0),圓C:x2+y2=r2及直線l:x0x+y0y=r2,給出以下三個命題:
①當(dāng)點A在圓C上時,直線l與圓C相切;
②當(dāng)點A在圓C內(nèi)時,直線l與圓C相離;
③當(dāng)點A在圓C外時,直線l與圓C相交.
其中正確的命題個數(shù)是()
A.0
B.1
C.2
D.3答案:D45.(《幾何證明選講》選做題)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,⊙O分別切AC、BC于M、N,圓心O在AB上,⊙O的半徑為4,OA=5,則OB的長為______.答案:連接OM,ON,則∵⊙O分別切AC、BC于M、N∴OM⊥AC,ON⊥BC∵∠C=90°,∴OMCN為正方形∵⊙O的半徑為4,OA=5∴AM=3∴CA=7∵ON∥AC∴ONAC=OBBA∴47=OBOB+5∴OB=203故為:20346.已知直線l1:3x-y+2=0,l2:3x+3y-5=0,則直線l1與l2的夾角是______.答案:因為直線l1的斜率為3,故傾斜角為60°,直線l2的斜率為-3,傾斜角為120°,故兩直線的夾角為60°,即兩直線的夾角為π3,故為
π3.47.以拋物線的焦點弦為直徑的圓與其準(zhǔn)線的位置關(guān)系是(
)
A.相切
B.相交
C.相離
D.以上均有可能答案:A48.下面五個命題:(1)所有的單位向量相等;(2)長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量;(3)由于零向量的方向不確定,故0與任何向量不平行;(4)對于任何向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中正確命題的序號為:______.答案:(1)單位向量指模為1的向量,方向可為任意的,故錯誤;(2)由共線向量的定義,方向相反的兩個向量一定是共線向量,故錯誤;(3)規(guī)定:零向量與任何向量為平行向量,故錯誤;(4)因為|a+b|2=a2+b2+2a?b≤a2+b2+2|a|?|b|=(|a|+|b|)2,故正確故為:(4)49.已知z=1+i,則|z|=______.答案:由z=1+i,所以|z|=12+12=2.故為2.50.若直線的參數(shù)方程為,則直線的斜率為(
)A.B.C.D.答案:D第2卷一.綜合題(共50題)1.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是(
)
A.
B.
C.
D.答案:B2.設(shè)A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B={2}.
(1)求a的值及集合A、B;
(2)設(shè)全集U=A∪B,求(CUA)∪(CUB)的所有子集.答案:解:(1)∵A∩B={2},∴2∈A,∴8+2a+2=0,∴a=﹣5;B={2,﹣5}(2)U=A∪B=,∴CUA={﹣5},CUB=∴(CUA)∪(CUB)=∴(CUA)∪(CUB)的所有子集為:,{﹣5},{},{﹣5,}.3.已知橢圓的短軸長等于2,長軸端點與短軸端點間的距離等于5,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:由題意可得2b=2a2+b2=(5)2,解得b=1a=2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y2=1或y24+x2=1.故為x24+y2=1或y24+x2=1.4.已知直線l的參數(shù)方程為x=3+12ty=7+32t(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為x=4cosθy=4sinθ(θ為參數(shù)).
(I)將曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;
(II)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,試求線段AB的長.答案:(I)由x=4cosθy=4sinθ得x2=16cos2θy2=16sin2θ故圓的方程為x2+y2=16.(II)把x=3+12ty=7+32t代入方程x2+y2=16,得t2+83t+36=0∴線段AB的長為|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=43.5.下面哪個不是算法的特征()A.抽象性B.精確性C.有窮性D.唯一性答案:根據(jù)算法的概念,可知算法具有抽象性、精確性、有窮性等,同一問題,可以有不同的算法,故選D.6.P是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓上一點,過焦點F2作∠F1PF2外角平分線的垂線,垂足為M,則點M的軌跡是()
A.橢圓
B.圓
C.雙曲線
D.雙曲線的一支答案:B7.已知z=1+i,則|z|=______.答案:由z=1+i,所以|z|=12+12=2.故為2.8.解不等式|2x-1|<|x|+1.答案:根據(jù)題意,對x分3種情況討論:①當(dāng)x<0時,原不等式可化為-2x+1<-x+1,解得x>0,又x<0,則x不存在,此時,不等式的解集為?.②當(dāng)0≤x<12時,原不等式可化為-2x+1<x+1,解得x>0,又0≤x<12,此時其解集為{x|0<x<12}.③當(dāng)x≥12
時,原不等式可化為2x-1<x+1,解得12≤x<2,又由x≥12,此時其解集為{x|12≤x<2},?∪{x|0<x<12
}∪{x|12≤x<2
}={x|0<x<2};綜上,原不等式的解集為{x|0<x<2}.9.已知圓C:x2+y2=12,直線l:4x+3y=25.
(1)圓C的圓心到直線l的距離為______;
(2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為______.答案:(1)由題意知圓x2+y2=12的圓心是(0,0),圓心到直線的距離是d=2532+42=5,(2)由題意知本題是一個幾何概型,試驗發(fā)生包含的事件是從這個圓上隨機的取一個點,對應(yīng)的圓上整個圓周的弧長,滿足條件的事件是到直線l的距離小于2,過圓心做一條直線交直線l與一點,根據(jù)上一問可知圓心到直線的距離是5,在這條垂直于直線l的半徑上找到圓心的距離為3的點做半徑的垂線,根據(jù)弦心距,半徑,弦長之間組成的直角三角形得到符合條件的弧長對應(yīng)的圓心角是60°根據(jù)幾何概型的概率公式得到P=60°360°=16故為:5;1610.某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者,若用隨機變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數(shù),則數(shù)學(xué)期望Eξ______(結(jié)果用最簡分數(shù)表示).答案:用隨機變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數(shù),ξ可取0,1,2,當(dāng)ξ=0時,表示沒有選到女生;當(dāng)ξ=1時,表示選到一個女生;當(dāng)ξ=2時,表示選到2個女生,∴P(ξ=0)=C25C27=1021,P(ξ=1)=C15C12C27=1021,P(ξ=2)=C22C27=121,∴Eξ=0×1021+1×1021+2×121=47.故為:4711.已知直線y=kx+1與橢圓x25+y2m=1恒有公共點,則實數(shù)m的取值范圍為()A.m≥1B.m≥1,或0<m<1C.0<m<5,且m≠1D.m≥1,且m≠5答案:由于直線y=kx+1恒過點M(0,1)要使直線y=kx+1與橢圓x25+y2m=1恒有公共點,則只要M(0,1)在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上從而有m>0m≠505+1m≤1,解可得m≥1且m≠5故選D.12.已知、分別是的外接圓和內(nèi)切圓;證明:過上的任意一點,都可作一個三角形,使得、分別是的外接圓和內(nèi)切圓.答案:略解析:證:如圖,設(shè),分別是的外接圓和內(nèi)切圓半徑,延長交于,則,,延長交于;則,即;過分別作的切線,在上,連,則平分,只要證,也與相切;設(shè),則是的中點,連,則,,,所以,由于在角的平分線上,因此點是的內(nèi)心,(這是由于,,而,所以,點是的內(nèi)心).即弦與相切.13.三棱柱ABC-A1B1C1中,M、N分別是BB1、AC的中點,設(shè),,=,則等于()
A.
B.
C.
D.答案:A14.若將推理“四邊形的內(nèi)角和為360°,所以平行四邊形的內(nèi)角和為360°”改為三段論的形式,則它的小前提是______.答案:將推理“四邊形的內(nèi)角和為360°,所以平行四邊形的內(nèi)角和為360°”改為三段論的形式,因為四邊形的內(nèi)角和為360°,平行四邊形是四邊形,所以平行四邊形的內(nèi)角和為360°大前提:四邊形的內(nèi)角和為360°;小前提:平行四邊形是四邊形;結(jié)論:平行四邊形的內(nèi)角和為360°.故為:平行四邊形是四邊形.15.設(shè)隨機變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,則P()等于()
A.
B.
C.
D.答案:C16.用三段論的形式寫出下列演繹推理.
(1)若兩角是對頂角,則該兩角相等,所以若兩角不相等,則該兩角不是對頂角;
(2)矩形的對角線相等,正方形是矩形,所以,正方形的對角線相等.答案:(1)兩個角是對頂角則兩角相等,大前提∠1和∠2不相等,小前提∠1和∠2不是對頂角.結(jié)論(2)每一個矩形的對角線相等,大前提正方形是矩形,小前提正方形的對角線相等.結(jié)論17.設(shè)隨機變量X~B(10,0.8),則D(2X+1)等于()
A.1.6
B.3.2
C.6.4
D.12.8答案:C18.設(shè)a,b是不共線的兩個向量,已知=2+m,=+,=-2.若A,B,D三點共線,則m的值為()
A.1
B.2
C.-2
D.-1答案:D19.把點按向量平移到點,則的圖象按向量平移后的圖象的函數(shù)表達式為(
).A.B.C.D.答案:D解析:,由可得,所以平移后的函數(shù)解析式為20.求證:答案:證明見解析解析:證明:此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧,放縮拆項時,不一定從第一項開始,須根據(jù)具體題型分別對待,即不能放的太寬,也不能縮的太窄,真正做到恰倒好處。21.若命題P(n)對n=k成立,則它對n=k+2也成立,又已知命題P(2)成立,則下列結(jié)論正確的是()
A.P(n)對所有自然數(shù)n都成立
B.P(n)對所有正偶數(shù)n成立
C.P(n)對所有正奇數(shù)n都成立
D.P(n)對所有大于1的自然數(shù)n成立答案:B22.已知,向量與向量的夾角是,則x的值為()
A.±3
B.±
C.±9
D.3答案:D23.極坐標(biāo)方程ρcos2θ=0表示的曲線為()
A.極點
B.極軸
C.一條直線
D.兩條相交直線答案:D24.若過點A(4,0)的直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點,則直線l的斜率的取值范圍為______.答案:設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0∵直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點,∴圓心到直線l的距離小于等于半徑即|2k-4k|k2+1≤1,解得-33≤
k≤33∴直線l的斜率的取值范圍為[-33,33]故為[-33,33]25.下面是一個算法的偽代碼.如果輸出的y的值是10,則輸入的x的值是______.答案:由題意的程序,若x≤5,y=10x,否則y=2.5x+5,由于輸出的y的值是10,當(dāng)x≤5時,y=10x=10,得x=1;當(dāng)x>5時,y=2.5x+5=10,得x=2,不合,舍去.則輸入的x的值是1.故為:1.26.以雙曲線x24-y216=1的右焦點為圓心,且被其漸近線截得的弦長為6的圓的方程為______.答案:雙曲線x24-y216=1的右焦點為F(25,0),一條漸近線為2x+y=0.∴所求圓的圓心為(25,0).∵所求圓被漸近線2x+y=0截得的弦長為6,∴圓心為(25,0)到漸近線2x+y=0的距離d=455=4,圓半徑r=9+16=5,∴所求圓的方程是(x-25)2+y2=25.故為(x-25)2+y2=25.27.設(shè)x1、x2、y1、y2是實數(shù),且滿足x12+x22≤1,
證明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).答案:證明略解析:分析:要證原不等式成立,也就是證(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.(1)當(dāng)x12+x22=1時,原不等式成立.……………3分(2)當(dāng)x12+x22<1時,聯(lián)想根的判別式,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)…7分其根的判別式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).………9分由題意x12+x22<1,函數(shù)f(x)的圖象開口向下.又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,………11分因此拋物線與x軸必有公共點.∴Δ≥0.∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,…………13分即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).……………14分28.下列語句不屬于基本算法語句的是()
A.賦值語句
B.運算語句
C.條件語句
D.循環(huán)語句答案:B29.參數(shù)方程表示什么曲線?答案:見解析解析:解:顯然,則即得,即30.函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x+2是定義在[a,b]上的偶函數(shù),則a+b=______.答案:∵函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x+2是定義在[a,b]上的偶函數(shù),∴其定義域關(guān)于原點對稱,既[a,b]關(guān)于原點對稱.所以a與b互為相反數(shù)即a+b=0.故為:0.31.己知集合A={sinα,cosα},則α的取值范圍是______.答案:由元素的互異性可得sinα≠cosα,∴α≠kπ+π4,k∈z.故α的取值范圍是{α|α≠kπ+π4,k∈z},故為{α|α≠kπ+π4,k∈z}.32.已知數(shù)列{an}前n項的和為Sn,且滿足an=n2
(n∈N*).
(Ⅰ)求s1、s2、s3的值;
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明sn=n(n+1)(2n+1)6
(n∈N*).答案:(Ⅰ)∵an=n2,n∈N*∴s1=a1=1,s2=a1+a2=1+4=5,s3=a1+a2+a3=1+4+9=14.…(6分)(Ⅱ)證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=s1=1,右邊=1×(1+1)(2+1)6=1,所以等式成立.…(8分)(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時結(jié)論成立,即Sk=k(k+1)(2k+1)6,…(10分)那么,Sk+1=Sk+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6即n=k+1時,等式也成立.…(13分)根據(jù)(1)(2)可知對任意的正整數(shù)n∈N*都成立.…(14分)33.若A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},則A∩B=()
A.{2,1}
B.{(2,1)}
C.{1,2}
D.{(1,2)}答案:D34.(幾何證明選講選選做題)如圖,圓的兩條弦AC、BD相交于P,弧AB、BC、CD、DA的度數(shù)分別為60°、105°、90°、105°,則PAPC=______.答案:連接AB,CD∵弧AB、CD、的度數(shù)分別為60°、90°,∴弦AB的長度等于半徑,弦CD的長度等于半徑的2倍,即ABCD=12,∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ABP∽△CDP∴ABCD=PAPC∴PAPC=12=22,故為:2235.已知向量a=(1,1)與b=(2,3),用坐標(biāo)表示2a+b為______.答案:根據(jù)題意,a=(1,1)與b=(2,3),則2a+b=2(1,1)+(2,3)=(4,5);故為(4,5).36.若直線ax+by+1=0與圓x2+y2=1相離,則點P(a,b)的位置是()
A.在圓上
B.在圓外
C.在圓內(nèi)
D.以上都有可能答案:C37.已知二項分布滿足X~B(6,23),則P(X=2)=______,EX=______.答案:∵X服從二項分布X~B(6,23)∴P(X=2)=C26(13)4(23)2=20243∵隨機變量ξ服從二項分布ξ~B(6,23),∴期望Eξ=np=6×23=4故為:20243;438.已知雙曲線的焦點在y軸,實軸長為8,離心率e=2,過雙曲線的弦AB被點P(4,2)平分;
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求弦AB所在直線方程;
(3)求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積.答案:(1)∵雙曲線的焦點在y軸,∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1;∵實軸長為8,離心率e=2,∴a=4,c=42,∴b2=c2-a2=16.或∵實軸長為8,離心率e=2,∴雙曲線為等軸雙曲線,a=b=4.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216-x216=1.(2)設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k(x-4),A,B的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2).∴k=y1-y2x1-x2,x1+x22=4,y1+y22=2;∴y1216-x1216=1
y2216-x2216=1?y12-y2216-x12-x2216=0?(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8,y1+y2=4,得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0,∴y1-y2x1-x2×14-12=0,∴14k-12=0,∴k=2;所以弦AB所在直線方程為y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.(3)等軸雙曲線y216-x216=1的漸近線方程為y=±x.∴直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形.又漸近線與弦AB所在直線的交點坐標(biāo)分別為(6,6),(2,-2),∴直角三角形兩條直角邊的長度分別為62、22;∴直線AB與漸近線所圍成三角形的面積S=12×62×22=12.39.如圖所示,圓的內(nèi)接△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點E,連接BE,已知BD=3,CE=7,BC=5,則線段BE=()
A.
B.
C.
D.4
答案:B40.從某校隨機抽取了100名學(xué)生,將他們的體重(單位:kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),由圖中數(shù)據(jù)可知m=______,所抽取的學(xué)生中體重在45~50kg的人數(shù)是______.答案:由頻率分步直方圖知,(0.02+m+0.06+0.02)×5=1,∴m=0.1,∴所抽取的體重在45~50kg的人數(shù)是0.1×5×100=50人,故為:0.1;5041.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分,罰不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,求
(1)他罰球1次的得分X的數(shù)學(xué)期望;
(2)他罰球2次的得分Y的數(shù)學(xué)期望;
(3)他罰球3次的得分η的數(shù)學(xué)期望.答案:(1)X的取值為1,2,則因為P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7.(2)Y的取值為0,1,2,則P(Y=0)=0.32=0.09,P(Y=1)=C12×0.7×0.3=0.42,P(Y=2)=0.72=0.49Y的概率分布列為Y012P0.090.420.49所以EY=0×0.09+1×0.42+2×0.49=1.4.(3)η的取值為0,1,2,3,則P(η=0)=0.33=0.027,P(η=1)=C13×0.7×0.32=0.189,P(η=2)=C23×0.72×0.3=0.441,P(η=3)=0.73=0.343∴η的概率分布為η0123P0.0270.1890.4410.343所以Eη=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1.42.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù),且y=f(x)的圖象過點(2,1),則f(x)=______.答案:因為函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù),且y=f(x)的圖象過點(2,1),所以函數(shù)y=ax經(jīng)過(1,2),所以a=2,所以函數(shù)y=f(x)=log2x.故為:log2x.43.(本題10分)設(shè)函數(shù)的定義域為A,的定義域為B.(1)求A;
(2)若,求實數(shù)a的取值范圍答案:(1);(2)。解析:略44.質(zhì)地均勻的正四面體玩具的4個面上分別刻著數(shù)字1,2,3,4,將4個這樣的玩具同時拋擲于桌面上.
(1)求與桌面接觸的4個面上的4個數(shù)的乘積不能被4整除的概率;
(2)設(shè)ξ為與桌面接觸的4個面上數(shù)字中偶數(shù)的個數(shù),求ξ的分歧布列及期望Eξ.答案:(1)不能被4整除的有兩種情形;①4個數(shù)均為奇數(shù),概率為P1=(12)4=116②4個數(shù)中有3個奇數(shù),另一個為2,概率為P2=C34(12)3?14=18這兩種情況是互斥的,故所求的概率為P=116+18=316(2)ξ為與桌面接觸的4個面上數(shù)字中偶數(shù)的個數(shù),由題意知ξ的可能取值是0,1,2,3,4,根據(jù)符合二項分布,得到P(ξ=k)=Ck4(12)4(k=0,1,2,3,4),ξ的分布列為∵ξ服從二項分布B(4,12),∴Eξ=4×12=2.45.一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱.這個四棱錐的底面為正方形,且底面邊長與各側(cè)棱長相等,這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等.設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為h1,h2,h,則h1:h2:h3=()
A.:1:1
B.:2:2
C.:2:
D.:2:答案:B46.已知一直線的斜率為3,則這條直線的傾斜角是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案:設(shè)直線的傾斜角為α,由直線的斜率為3,得到:tanα=3,又α∈(0,180°),所以α=60°.故選C47.口袋內(nèi)有100個大小相同的紅球、白球和黑球,其中有45個紅球,從中摸出1個球,摸出白球的概率為0.23,則摸出黑球的概率為______.答案:∵口袋內(nèi)有100個大小相同的紅球、白球和黑球從中摸出1個球,摸出白球的概率為0.23,∴口袋內(nèi)白球數(shù)為32個,又∵有45個紅球,∴為32個.從中摸出1個球,摸出黑球的概率為32100=0.32故為0.3248.函數(shù)f(x)=2|log2x|的圖象大致是()
A.
B.
C.
D.
答案:C49.已知直線ax+by+c=0(a,b,c都是正數(shù))與圓x2+y2=1相切,則以a,b,c為三邊長的三角形()
A.是銳角三角形
B.是鈍角三角形
C.是直角三角形
D.不存在答案:C50.使關(guān)于的不等式有解的實數(shù)的最大值是(
)A.B.C.D.答案:D解析:令則的最大值為。選D。還可用Cauchy不等式。第3卷一.綜合題(共50題)1.若圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3,則()
A.k1<k2<k3
B.k2<k1<k3
C.k3<k2<k1
D.k1<k3<k2
答案:B2.下列說法中正確的有()
①平均數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響,中位數(shù)受樣本中的每一個數(shù)據(jù)影響;
②拋擲兩枚硬幣,出現(xiàn)“兩枚都是正面朝上”、“兩枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬幣正面朝上”的概率一樣大
③用樣本的頻率分布估計總體分布的過程中,樣本容量越大,估計越準(zhǔn)確.
④向一個圓面內(nèi)隨機地投一個點,如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的,則該隨機試驗的數(shù)學(xué)模型是古典概型.A.①②B.③C.③④D.④答案:中位數(shù)數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響,平均數(shù)受樣本中的每一個數(shù)據(jù)影響,故①不正確,拋擲兩枚硬幣,出現(xiàn)“兩枚都是正面朝上”的概率是14“兩枚都是反面朝上的概率是14、“恰好一枚硬幣正面朝上的概率是12”,故②不正確,用樣本的頻率分布估計總體分布的過程中,樣本容量越大,估計越準(zhǔn)確.正確向一個圓面內(nèi)隨機地投一個點,如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的,則該隨機試驗的數(shù)學(xué)模型是幾何概型,故④不正確,故選B.3.已知一次函數(shù)f(x)=4x+3,且f(ax+b)=8x+7,則a-b=______.答案:∵f(x)=4x+3,f(ax+b)=4(ax+b)+3=4ax+4b+3=8x+7,∴4a=84b+3=7,解得a=2,b=1,∴a-b=1.故為:1.4.若平面α與β的法向量分別是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),則平面α與β的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.無法判斷答案:∵a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),∴a+b=(1-1,0+0,-2+2)=(0,0,0),即a+b=0由此可得a∥b∵a、b分別是平面α與β的法向量∴平面α與β的法向量平行,可得平面α與β互相平行.5.下面哪個不是算法的特征()A.抽象性B.精確性C.有窮性D.唯一性答案:根據(jù)算法的概念,可知算法具有抽象性、精確性、有窮性等,同一問題,可以有不同的算法,故選D.6.給出下列四個命題,其中正確的一個是()
A.在線性回歸模型中,相關(guān)指數(shù)R2=0.80,說明預(yù)報變量對解釋變量的貢獻率是80%
B.在獨立性檢驗時,兩個變量的2×2列聯(lián)表中對角線上數(shù)據(jù)的乘積相差越大,說明這兩個變量沒有關(guān)系成立的可能性就越大
C.相關(guān)指數(shù)R2用來刻畫回歸效果,R2越小,則殘差平方和越大,模型的擬合效果越好
D.線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,表明兩個隨機變量線性相關(guān)性越強答案:D7.在同一坐標(biāo)系中,y=ax與y=a+x表示正確的是()A.
B.
C.
D.
答案:由y=x+a得斜率為1排除C,由y=ax與y=x+a中a同號知若y=ax遞增,則y=x+a與y軸的交點在y軸的正半軸上,由此排除B;若y=ax遞減,則y=x+a與y軸的交點在y軸的負半軸上,由此排除D,知A是正確的;故選A.8.集合{1,2,3}的真子集的個數(shù)為()A.5B.6C.7D.8答案:集合的真子集為{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有7個.故選C.9.已知函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)任意兩個實數(shù)a,b,當(dāng)a<b時,都有f(a)<f(b).試用反證法證明:函數(shù)f(x)的圖象與x軸至多有一個交點.答案:證明:假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與x軸至少有兩個交點,…(2分)(1)若f(x)的圖象與x軸有兩個交點,不妨設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1<x2,…(5分)由已知,函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)任意實數(shù)x1,x2,當(dāng)x1<x2時,有f(x1)<f(x2).…(7分)又根據(jù)假設(shè),x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點,所以,f(x1)=f(x2)=0,…(9分)這與f(x1)<f(x2)矛盾,…(10分)所以,函數(shù)f(x)的圖象不可能與x軸有兩個交點.…(11分)(2)若f(x)的圖象與x軸交點多于兩個,可同理推出矛盾,…(12分)所以,函數(shù)f(x)的圖象不可能與x軸有兩個以上交點.綜上,函數(shù)f(x)的圖象與x軸至多有一個交點…(14分)10.一個路口的紅綠燈,紅燈的時間為30秒,黃燈的時間為5秒,綠燈的時間為40秒,一學(xué)生到達該路口時,見到紅燈的概率是()A.25B.58C.115D.35答案:由題意知本題是一個那可能事件的概率,試驗發(fā)生包含的事件是總的時間長度為30+5+40=75秒,設(shè)紅燈為事件A,滿足條件的事件是紅燈的時間為30秒,根據(jù)等可能事件的概率得到出現(xiàn)紅燈的概率P(A)=構(gòu)成事件A的時間長度總的時間長度=3075=25.故選A.11.有3名同學(xué)要爭奪2個比賽項目的冠軍,冠軍獲得者共有______種可能.答案:第一個項目的冠軍有3種情況,第二個項目的冠軍也有3種情況,根據(jù)分步計數(shù)原理,冠軍獲得者共有3×3=9種可能,故為9.12.一圓錐側(cè)面展開圖為半圓,平面α與圓錐的軸成45°角,則平面α與該圓錐側(cè)面相交的交線為()A.圓B.拋物線C.雙曲線D.橢圓答案:設(shè)圓錐的母線長為R,底面半徑為r,則:πR=2πr,∴R=2r,∴母線與高的夾角的正弦值=rR=12,∴母線與高的夾角是30°.由于平面α與圓錐的軸成45°>30°;則平面α與該圓錐側(cè)面相交的交線為橢圓.故選D.13.復(fù)數(shù)Z=arccosx-π+(-2x)i(x∈R,i是虛數(shù)單位),在復(fù)平面上的對應(yīng)點只可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:∵a=arccosx-π,arccosx∈[0,π],∴a<0,∵b=-2x<0,∴復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點的實部和虛部都小于零,∴復(fù)數(shù)在第三象限,故選C.14.(幾何證明選講選做題)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線,交BC的延長線于點D,延長DA交△ABC的外接圓于點F,連接FB,F(xiàn)C.
(1)求證:FB=FC;
(2)若AB是△ABC外接圓的直徑,∠EAC=120°,BC=33,求AD的長.答案:(1)證明:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC;∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓,∴∠DAC=∠FBC;
…2′∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC.…5(2)∵AB是圓的直徑,∴∠ACD=90°∵∠EAC=120°,∴∠DAC=60°,∴∠D=30°…7′在Rt△ACB中,∵BC=33,∠BAC=60°,∴AC=3又在Rt△ACD中,∠D=30°,AC=3,∴AD=6
…10′15.正方形ABCD的邊長為1,=,=,則|+|=(
)
A.0
B.2
C.
D.2答案:C16.若x、y∈R+且x+2y≤ax+y恒成立,則a的最小值是()A.1B.2C.3D.1+22答案:由題意,根據(jù)柯西不等式得x+2y≤(1+2)(x+y)∴x+2y≤3(x+y)要使x+2y≤ax+y恒成立,∴a≥3∴a的最小值是3故選C.17.已知A,B兩點的極坐標(biāo)為(6,)和(8,),則線段AB中點的直角坐標(biāo)為()
A.(,-)
B.(-,)
C.(,-)
D.(-,-)答案:D18.若直線過點(1,2),(),則此直線的傾斜角是()
A.60°
B.45°
C.30°
D.90°答案:C19.已知點A(5,0)和⊙B:(x+5)2+y2=36,P是⊙B上的動點,直線BP與線段AP的垂直平分線交于點Q.
(1)證明點Q的軌跡是雙曲線,并求出軌跡方程.
(2)若(BQ+BA)?QA=0,求點Q的坐標(biāo).答案:(1)∵點Q在線段AP的垂直平分線上,∴|QP|=|QA|,∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6.∴點Q的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線.(4′)其軌跡方程是x29-y216=1.(7′)(2)以A、B、Q為三個頂點作平行四邊形ABQC,則BQ+BA=BC∵(BQ+BA)?QA=0,∴BC?QC=0,∴平行四邊形ABQC是菱形,∴|BA|=|BQ|.(8′)∴點Q在圓(x+5)2+y2=100上.解方程組(x+5)2+y2=100x29-y216=1.(10′)得Q(-395,±485)或Q(215,±865).(12′)20.函數(shù)y=(12)x的值域為______.答案:因為函數(shù)y=(12)x是指數(shù)函數(shù),所以它的值域是(0,+∞).故為:(0,+∞).21.已知正方形ABCD的邊長為a,則|AC+AD|等于______.答案:∵正方形ABCD的邊長為a,∴AC=2a,AC與AD的夾角為45°|AC+AD|2=|AC
|2+2AC?AD+|AD|2=2a2+2×2a×a×22+a2=5a2∴|AC+AD|=5a故為:5a22.下列命題:
①垂直于同一直線的兩直線平行;
②垂直于同一直線的兩平面平行;
③垂直于同一平面的兩直線平行;
④垂直于同一平面的兩平面平行;
其中正確的有()
A.③④
B.①②④
C.②③
D.②③④答案:C23.在調(diào)試某設(shè)備的線路設(shè)計中,要選一個電阻,調(diào)試者手中只有阻值分別為0.7KΩ,1.1KΩ,1.9KΩ,2.0KΩ,3.5KΩ,4.5KΩ,5.5KΩ七種阻值不等的定值電阻,他用分數(shù)法進行優(yōu)法進行優(yōu)選試驗時,依次將電阻值從小到大安排序號,則第1個試點的電阻的阻值是(
).答案:3.5kΩ24.設(shè)橢圓C1的離心率為513,焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為
______答案:根據(jù)題意可知橢圓方程中的a=13,∵ca=513∴c=5根據(jù)雙曲線的定義可知曲線C2為雙曲線,其中半焦距為5,實軸長為8∴虛軸長為225-16=6∴雙曲線方程為x216-y29=1故為:x216-y29=125.(幾何證明選講選做題)如圖,⊙O中,直徑AB和弦DE互相垂直,C是DE延長線上一點,連接BC與圓0交于F,若∠CFE=α(α∈(0,π2)),則∠DEB______.答案:∵直徑AB和弦DE互相垂直∴AB平分DE∴BD=BE,∠D=∠BED∵DEFB四點共圓∴∠EFC=∠D=α∴∠DEB=α故為:α26.點P(1,3,5)關(guān)于平面xoz對稱的點是Q,則向量=()
A.(2,0,10)
B.(0,-6,0)
C.(0,6,0)
D.(-2,0,-10)答案:B27.(1+2x)7的展開式中第4項的系數(shù)是______
(用數(shù)字作答)答案:(1+2x)7的展開式的通項為Tr+1=Cr7?(2x)r∴(1+2x)7的展開式中第4項的系數(shù)是C37?23=280,故為:280.28.經(jīng)過拋物線y2=2x的焦點且平行于直線3x-2y+5=0的直線的方程是()
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0答案:A29.已知a,b,c,d都是正數(shù),S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c,則S的取值范圍是______.答案:∵a,b,c,d都是正數(shù),∴S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c>aa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1;S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c<aa+b+bb+a+cc+d+dd+c=2∴1<S<2.故為:(1,2)30.設(shè)a,b∈R.“a=O”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案:因為a,b∈R.“a=O”時“復(fù)數(shù)a+bi不一定是純虛數(shù)”.“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”則“a=0”一定成立.所以a,b∈R.“a=O”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要而不充分條件.故選B.31.若集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},則A∪B=______.答案:因為集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},所以A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10},故為:{x|2<x<10}.32.在z軸上與點A(-4,1,7)和點B(3,5,-2)等距離的點C的坐標(biāo)為
______.答案:由題意設(shè)C(0,0,z),∵C與點A(-4,1,7)和點B(3,5,-2)等距離,∴|AC|=|BC|,∴16+1+(7-z)2=9+25+(z+2)2,∴18z=28,∴z=149,∴C點的坐標(biāo)是(0,0,149)故為:(0,0,149)33.如圖所示,以直角三角形ABC的直角邊AC為直徑作⊙O,交斜邊AB于點D,過點D作⊙O的切線,交BC邊于點E.則BEBC=______.答案:連接CD,∵AC是⊙O的直徑,∴CD⊥AB.∵BC經(jīng)過半徑OC的端點C且BC⊥AC,∴BC是⊙O的切線,而DE是⊙O的切線,∴EC=ED.∴∠ECD=∠CDE,∴∠B=∠BDE,∴DE=BE.∴BE=CE=12BC.∴BEBC=12.
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