2023年圓的相關知識點

圓的相關知識最佳配以簡樸的習題掌握劉蕾老師整合板塊一:圓的有關概念一、圓的定義：1.描述性定義：在一個平面內，線段繞它固定的一個端點旋轉一周,另一個端點隨之旋轉所形成的圖形叫做圓,其中固定端點叫做圓心,叫做半徑.２．集合性定義:平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓,頂點叫做圓心,定長叫做半徑.３.圓的表達方法：通常用符號表達圓，定義中認為圓心,為半徑的圓記作“”，讀作“圓”.４.同圓、同心圓、等圓:圓心相同且半徑相等的圓叫同圓;圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓;可以重合的兩個圓叫做等圓.注意:同圓或等圓的半徑相等.二、弦和弧1.弦:連結圓上任意兩點的線段叫做弦．2.直徑：通過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的倍.3．弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距.4.弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.認為端點的圓弧記作，讀作弧.5.等弧:在同圓或等圓中,可以互相重合的弧叫做等?。叮雸A：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧都叫做半圓.7.優(yōu)弧、劣弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,小于半圓的弧叫做劣弧.8．弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．三、圓心角和圓周角1．圓心角:頂點在圓心的角叫做圓心角．將整個圓分為等份,每一份的弧相應的圓心角，我們也稱這樣的弧為的?。畧A心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．2．圓周角:頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.３.圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論１:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等．推論2：半圓（或直徑)所對的圓周角是直角,的圓周角所對的弦是直徑.推論3：假如三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形.4．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中,假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所相應的其余各組量分別相等.板塊二：圓的對稱性與垂徑定理一、圓的對稱性1.圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形,對稱軸是通過圓心的任意一條直線.2．圓的中心對稱性:圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.3.圓的旋轉對稱性：圓是旋轉對稱圖形,無論繞圓心旋轉多少角度,都能與其自身重合．二、垂徑定理1.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條?。?．推論1：⑴平分弦(不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧;⑵弦的垂直平分線通過圓心,并且平分弦所對的兩條弧;⑶平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條?。?推論２：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.板塊三:點與圓的位置關系一、點與圓的位置關系點與圓的位置關系有:點在圓上、點在圓內、點在圓外三種,這三種關系由這個點到圓心的距離與半徑的大小關系決定.設的半徑為，點到圓心的距離為,則有:點在圓外；點在圓上；點在圓內.如下表所示：位置關系圖形定義性質及鑒定點在圓外點在圓的外部點在的外部.點在圓上點在圓周上點在的圓周上.點在圓內點在圓的內部點在的內部.二、擬定圓的條件1.圓的擬定擬定一個圓有兩個基本條件:①圓心（定點）,擬定圓的位置；②半徑（定長）,擬定圓的大小.只有當圓心和半徑都擬定期,遠才干擬定．2．過已知點作圓⑴通過點的圓:以點以外的任意一點為圓心，以的長為半徑，即可作出過點的圓,這樣的圓有無數(shù)個.⑵通過兩點的圓:以線段中垂線上任意一點作為圓心，以的長為半徑,即可作出過點的圓，這樣的圓也有無數(shù)個.⑶過三點的圓:若這三點共線時,過三點的圓不存在;若三點不共線時，圓心是線段與的中垂線的交點，而這個交點是唯一存在的,這樣的圓有唯一一個．⑷過個點的圓:只可以作個或個,當只可作一個時，其圓心是其中不共線三點擬定的圓的圓心.３.定理:不在同一直線上的三點擬定一個圓.注意:⑴“不在同一直線上”這個條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點不能作圓；⑵“擬定”一詞的含義是“有且只有”,即“唯一存在”.４．三角形的外接圓⑴通過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點,叫做三角形的外心,這個三角形叫做這個圓的內接三角形．⑵三角形外心的性質：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等;②三角形的外接圓有且只有一個,即對于給定的三角形，其外心是唯一的,但一個圓的內接三角形卻有無數(shù)個,這些三角形的外心重合．⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半)；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.板塊四：直線和圓的位置關系一、直線和圓的位置關系的定義、性質及鑒定設的半徑為,圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關系如下表:位置關系圖形定義性質及鑒定相離直線與圓沒有公共點.直線與相離相切直線與圓有唯一公共點,直線叫做圓的切線，唯一公共點叫做切點.直線與相切相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線.直線與相交從另一個角度,直線和圓的位置關系還可以如下表達：直線和圓的位置關系相交相切相離公共點個數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關系公共點名稱交點切點無直線名稱割線切線無二、切線的性質及鑒定1．切線的性質:定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1：通過圓心且垂直于切線的直線必通過切點.推論２:通過切點且垂直于切線的直線必通過圓心．2.切線的鑒定定義法:和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；距離法:和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；定理：通過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.3.切線長和切線長定理：⑴切線長:在通過圓外一點的圓的切線上,這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．⑵切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.三、三角形內切圓1.定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心,這個三角形叫做圓的外切三角形.2.多邊形內切圓:和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形．板塊五:圓和圓的位置關系一、圓和圓的位置關系的定義、性質及鑒定設的半徑分別為（其中),兩圓圓心距為,則兩圓位置關系如下表：位置關系圖形定義性質及鑒定外離兩個圓沒有公共點,并且每個圓上的點都在另一個圓的外部.兩圓外離外切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外,每個圓上的點都在另一個圓的外部．兩圓外切相交兩個圓有兩個公共點．兩圓相交內切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外,一個圓上的點都在另一個圓的內部．兩圓內切內含兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部，兩圓同心是兩圓內含的一種特例．兩圓內含說明:圓和圓的位置關系，既考慮了他們公共點的個數(shù),又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點的個數(shù)來分,又可分為三大類:相離、相切、相交,其中相離兩圓沒有公共點,它涉及外離與內含兩種情況;相切兩圓只有一個公共點,它涉及內切與外切兩種情況．二、兩圓的連心線1.定義：通過兩圓圓心的直線叫做連心線.2.性質：⑴假如兩個圓相切，那么切點一定在連心線上；⑵相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦．三、兩圓的公切線1．定義:和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線．外公切線：兩個圓在公切線同側時，這樣的公切線叫做外公切線；內公切線：兩個圓在公切線兩側時，這樣的公切線叫做內公切線．2.公切線條數(shù)與兩圓的位置關系⑴若兩圓外離,則外公切線條數(shù)為，內公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為;⑵若兩圓外切,則外公切線條數(shù)為，內公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑶若兩圓相交，則外公切線條數(shù)為,內公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑷若兩圓內切，則外公切線條數(shù)為，內公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑸若兩圓內含，則外公切線條數(shù)為，內公切線條數(shù)為,公切線總數(shù)為；3.性質:⑴若兩圓有兩條外（內)公切線，并且相交,則兩圓的連心線必通過交點且平分這兩條公切線的夾角；⑵若兩圓外切，則兩圓的連心線垂直兩圓的內公切線；若兩圓內切,則兩圓的連心線垂直兩圓的外公切線.特別地，若兩圓為等圓，則它的兩條外公