初等數(shù)學(xué)研究(第一講)

初等數(shù)學(xué)（方法）研究

石家莊學(xué)院數(shù)信系孫慶利TELmail：1311727576@課程簡介《初等數(shù)學(xué)（方法）研究》主要包括初等代數(shù)和初等幾何兩部分內(nèi)容，它是一門古老而又充滿生命力的學(xué)科，是師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的必修課程。本課程比較系統(tǒng)地闡述了初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，其中包括集合與邏輯、數(shù)與式的理論及方法、函數(shù)、方程與不等式的理論及方法、幾何變換、幾何推理論證的理論與方法、排列組合與概率統(tǒng)計初步以及中學(xué)數(shù)學(xué)解題策略等內(nèi)容。為密切聯(lián)系中學(xué)教學(xué)實際，本課程配置了與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題相吻合的例題與習(xí)題，并在內(nèi)容、形式上略作提高。例題分析，著重揭示初等代數(shù)與初等幾何問題中所蘊含的數(shù)學(xué)思想及通性通法，以提高用數(shù)學(xué)的思想方法分析問題、解決問題的能力。參考書目1趙振威,章士藻，《初等代數(shù)研究》，華東師大出版社,2008年印。2趙振威,章士藻，《初等幾何研究》，華東師大出版社，2008年印。3余元希編著，《初等代數(shù)研究》，高等教育出版社,2010年印。4李長明,周煥山，《初等數(shù)學(xué)研究》，高等教育出版社，2007年印。數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的關(guān)系的一門學(xué)科，它是以解決客觀世界的事物的內(nèi)在邏輯聯(lián)系的“問題”為主要目的．在這個意義上來講，探索解決數(shù)學(xué)問題的解題規(guī)律及解題方法就是十分重要的．通過對數(shù)學(xué)形態(tài)的內(nèi)在基本結(jié)構(gòu)的分析和研究，從而順利地解決問題，對提高我們的數(shù)學(xué)思維方式及解決問題的能力都有十分重要的意義．?dāng)?shù)學(xué)的內(nèi)容就是由一種形態(tài)與另一種形態(tài)的對比和關(guān)系的轉(zhuǎn)化（化歸）．要解決好一個數(shù)學(xué)問題，首要的是要對一個數(shù)學(xué)問題構(gòu)成的結(jié)構(gòu)要先有充分的認識，再熟知一些推演關(guān)系的基本手段及方法．其次，要善于把問題的假設(shè)和結(jié)論溝通起來，借助已有的（盡可能多的）數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)理論，從而順利地解決問題．解決問題有“通法”和“技巧”，但我們一定要知道“巧”不是解題的大道，只是一條捷徑，而捷徑不是處處都有的．只有練好解題的基本功，則解題的捷徑也就不難找到．要掌握解題的通法，必須要知道一些數(shù)學(xué)形態(tài)的“通性”，即它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及這些結(jié)構(gòu)的邏輯聯(lián)系、演化規(guī)律．每一種典型的基本結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)形態(tài)中的作用以及處理它的一些常見的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識．解題能力的大小，就是你擁有的這種數(shù)學(xué)知識的體現(xiàn)．它就像要給人治病，必須先了解人體的各部分組成的器官和構(gòu)成器官的細胞和它們的生命作用．只有這樣練好了基本功，就會得到解題的通法，找到處理數(shù)學(xué)問題的“大道”．總之，通過對數(shù)學(xué)問題的基本結(jié)構(gòu)進行深入的分析，對各種基本結(jié)構(gòu)彼此關(guān)聯(lián)的本質(zhì)進行探索，掌握好處理數(shù)學(xué)問題的一般的數(shù)學(xué)思維方式和方法，才能達到掌握解決問題的本領(lǐng)．把初等數(shù)學(xué)作為一個系統(tǒng)，用“結(jié)構(gòu)”的觀點來進行分析研究。第一講元的認識---主元及常用的元第二講數(shù)系的擴充與數(shù)學(xué)歸納法第三講關(guān)于解析式理論的一些問題及方法第四講關(guān)于函數(shù)的思想與方法第五講關(guān)于方程與不等式第六講關(guān)于幾何證明與推理第七講關(guān)于幾何量計算的有關(guān)問題第一講元的認識內(nèi)容簡介：

代數(shù)一個主要內(nèi)容是對數(shù)符、字符和運算符組合成的代數(shù)式進行研究，通過運算、恒等變形、轉(zhuǎn)換形式及數(shù)理的邏輯推演，從而達到對客觀世界的自然形態(tài)的認識和變化規(guī)律的認知，使人類改造世界的目標得以實現(xiàn)；初等數(shù)學(xué)中，代數(shù)的基本內(nèi)容主要是對數(shù)的認識、式子的恒等變形的技巧訓(xùn)練、方程的求解、函數(shù)觀點的確定、不等量的比較等；它對學(xué)者有一個最基本的要求就是要建立對“基元”的認識．下面舉例說明：元的認識---換元法思想

1、解數(shù)學(xué)問題時，如果直接解決原問題有困難，或原問題不易下手，或由原問題的條件難以直接得出結(jié)論時，往往需要引入一個或若干個“新元”代換問題中原來的“元”，使以“新元”為基礎(chǔ)的問題求解比較容易，解決以后將結(jié)果恢復(fù)為原來的元，即可得原問題的結(jié)果。這種解決問題的方法稱為換元法。又稱變量代換法或輔助元素法。2、換元的實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問題得到簡化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過變量代換，使原問題化繁為簡、化難為易，使問題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達到解決問題的目的。換元法是數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的基本方法之一。3、利用換元法的關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x擇“新元”，引進適當(dāng)?shù)拇鷵Q，找到較容易的解題思路，能使問題簡化?；虬盐粗獑栴}轉(zhuǎn)化為已知問題，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。

例9

分解因式

解:設(shè)

原式

例10在實數(shù)域內(nèi)分解因式解一：令原式=解二：令原式=思考：例11：求證任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積再加上1是一個完全平方數(shù)。分析證明：設(shè)任意四個連續(xù)的自然數(shù)最小的為x由題意：x(x+1)(x+2)(x+3)+1主元及常用的元在一個數(shù)學(xué)形態(tài)中，可作元的基本結(jié)構(gòu)可能不止一個，有些元是明確的，有的元是模糊的；有的元處于主導(dǎo)地位，有的元處于從屬地位；有些元互相關(guān)聯(lián)，有些元之間關(guān)系不太明朗；所以在應(yīng)用方面技巧性強，比較靈活．處理相關(guān)問題時，要留心觀察，認真比較，仔細分析，反復(fù)思考，在一個問題的眾多元中，選擇主元十分重要，根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)關(guān)系等特征，解決問題采用的變形手段也是有一定的規(guī)律可遵循的．例12分解因式解一：注意到觀察原式可設(shè)原式=為待定系數(shù)。故，原式=展開上式，原式=由多項式恒等定理知：解二：a2a-(2b-1)b-3例13在實數(shù)集內(nèi)解方程解:原方程可化為:

①

則方程①化為:

解方程②,得

②經(jīng)檢驗,知它們都是原方程的解。

例14如果實數(shù)滿足那么的最大值是多少？

解：令（比值換元）代入原式化簡得:解得:所以,的最大值是例15若解：（均值換元）則例16

已知且，求證：。分析一：由代入消元可以求解。分析二：對比上