高中數(shù)學(xué) 3.3.2《簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃》 新人教A必修5

3.3.2《簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃》.教學(xué)目標(biāo)（1）了解線(xiàn)性規(guī)劃的意義、了解可行域的意義；（2）掌握簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解法．（3）鞏固圖解法求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大、最小值的方法；（4）會(huì)用畫(huà)網(wǎng)格的方法求解整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題．（5）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的解法的掌握．.在生產(chǎn)與營(yíng)銷(xiāo)活動(dòng)中，我們常常需要考慮：怎樣利用現(xiàn)有的資源（人力、物力、資金……），取得最大的收益?；蛘?，怎樣以最少的資源投入去完成一項(xiàng)給定的任務(wù)。我們把這一類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為“最優(yōu)化”問(wèn)題。不等式的知識(shí)是解決“最優(yōu)化”問(wèn)題的得力工具。.我們將借助二元一次不等式（組）的幾何表示，學(xué)習(xí)“最優(yōu)化”問(wèn)題中的簡(jiǎn)單“線(xiàn)性規(guī)劃”問(wèn)題。.問(wèn)題：某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品都需要兩種原料。生產(chǎn)甲產(chǎn)品1工時(shí)需要A原料3kg，B原料1kg；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1工時(shí)需要A原料2kg，B原料2kg。現(xiàn)有A原料1200kg，B原料800kg。如果生產(chǎn)甲產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是30元，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每工時(shí)的平均利潤(rùn)是40元，問(wèn)同時(shí)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，各多少工時(shí)能使利潤(rùn)的總額最大？最大利潤(rùn)是多少？.解：依題意，可列表如下：產(chǎn)品原料A數(shù)量(kg)原料B數(shù)量(kg)利潤(rùn)(元)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1工時(shí)3130生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1工時(shí)2240限額數(shù)量1200800設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時(shí)，計(jì)劃生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時(shí)，.則獲得的利潤(rùn)總額為f=30x+40y。①其中x,y滿(mǎn)足下列條件：②于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，在x，y滿(mǎn)足條件②的情況下，求式子30x+40y的最大值。.畫(huà)出不等式組②表示的平面區(qū)域OABC。.畫(huà)出不等式組②表示的平面區(qū)域OABC。問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為，在不等式組②表示的平面區(qū)域內(nèi)找一點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入式子30x+40y時(shí)，使該式取得最大值。.令30x+40y=0，則此方程表示通過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，記為l0，易知：在區(qū)域OABC內(nèi)有30x+40y≥0。考察這個(gè)區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)P(x,y)到l0距離于是.這就是說(shuō)，點(diǎn)P(x，y)到直線(xiàn)l0的距離d越大，式子30x+40y的值也越大。因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在不等式組②表示的平面區(qū)域內(nèi)找一點(diǎn)，使它到直線(xiàn)l0的距離最大。為在區(qū)域OABC內(nèi)精確地找到這一點(diǎn)，我們平移直線(xiàn)l0的位置到l，使l通過(guò)OABC內(nèi)的某點(diǎn)，..且OABC內(nèi)的其它各點(diǎn)都在l的包含直線(xiàn)l0的同一側(cè)，很容易證明該點(diǎn)到l0的距離最大，用此法區(qū)域OABC內(nèi)的點(diǎn)B為所求。解方程組得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(200，300)。.將x=200，y=300代入式子①:30x+40y，得Fmax=30×200+40×300=18000.答：用200工時(shí)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時(shí)生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得利潤(rùn)18000元，此時(shí)利潤(rùn)總額最大。.在上述問(wèn)題中，我們把要求最大值或最小值的函數(shù)f=30x+40y叫做目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿(mǎn)足的不等式組②稱(chēng)為約束條件。如果目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)，則稱(chēng)為線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)，如果約束條件是關(guān)于變量的一次不等式（或等式），則稱(chēng)為線(xiàn)性約束條件。.在線(xiàn)性約束條件下求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)，稱(chēng)為問(wèn)題的最優(yōu)解。一般地，滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。.例1．下表給出甲、乙、丙三種食物中維生素A、B的含量及單價(jià)：甲乙丙維生素A(單位/千克)400600400維生素B(單位/千克)800200400單價(jià)(元/千克)765營(yíng)養(yǎng)師想購(gòu)買(mǎi)這三種食品共10千克，使它們所含的維生素A不少于4400單位，維生素B不少于4800單位，而且要使付出的金額最低，這三種食物應(yīng)各購(gòu)買(mǎi)多少千克？.解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種食物x千克，乙種食物y千克，則購(gòu)買(mǎi)丙種食物(10－x－y)千克，又設(shè)總支出為z元，由題意得

z=7x+6y+5(10－x－y)，化簡(jiǎn)得z=2x+y+50，x，y應(yīng)滿(mǎn)足的約束條件

.化簡(jiǎn)得根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。.化簡(jiǎn)得根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。.畫(huà)直線(xiàn)l0：2x+y=0，平行移動(dòng)l0到直線(xiàn)l的位置，使l過(guò)可行域中的某點(diǎn)，并且可行域內(nèi)的其它各點(diǎn)都在l的不包含直線(xiàn)l0的另外一側(cè)。

.畫(huà)直線(xiàn)l0：2x+y=0，平行移動(dòng)l0到直線(xiàn)l的位置，使l過(guò)可行域中的某點(diǎn)，并且可行域內(nèi)的其它各點(diǎn)都在l的不包含直線(xiàn)l0的另外一側(cè)。

該點(diǎn)到直線(xiàn)l0的距離最小，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目標(biāo)函數(shù)取最小值。..容易看出，點(diǎn)M符合上述條件，點(diǎn)M是直線(xiàn)y=2與直線(xiàn)2x－y=4的交點(diǎn)。解方程組得點(diǎn)M(3，2)。因此，當(dāng)x=3，y=2時(shí)，z取得最小值z(mì)=2×3+2+50=58.此時(shí)，10－x－y=5.答：購(gòu)買(mǎi)甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克，付出的金額最低為58元。.例2．某貨運(yùn)公司擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，一個(gè)大集裝箱能夠所托運(yùn)的貨物的總體積不能超過(guò)24m3，總重量不能低于650千克。甲、乙兩種貨物每袋的體積、重量和可獲得的利潤(rùn)，列表如下：貨物每袋體積(單位：m3)每袋重量(單位：百千克)每袋利潤(rùn)(單位：百元)甲5120乙42.510問(wèn)：在一個(gè)大集裝箱內(nèi)，這兩種貨物各裝多少袋(不一定都是整袋)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？.解：設(shè)托運(yùn)甲種貨物x袋，乙種貨物y袋，獲得利潤(rùn)z百元。則z=20x+10y。依題意可得關(guān)于x，y的約束條件.根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。畫(huà)直線(xiàn)l0：20x+10y=0，平行移動(dòng)l0到直線(xiàn)l的位置，使l過(guò)可行域中的某點(diǎn)，并且可行域內(nèi)的其它各點(diǎn)都在l的包含直線(xiàn)l0的同一側(cè)。..該點(diǎn)到直線(xiàn)l0的距離最大，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目標(biāo)函數(shù)取最大值。容易看出，點(diǎn)M符合上述條件，點(diǎn)M是直線(xiàn)2x+5y=13與直線(xiàn)5x+4y=24的交點(diǎn)。解方程組得點(diǎn)M(4，1)。因此當(dāng)x=4，y=1時(shí)，z取得最大值，此時(shí)zmax=20×4+10×1=90..答：在一個(gè)大集裝箱內(nèi)裝甲種貨物4袋，乙種貨物1袋，可獲得最大利潤(rùn)9000元。.例3．A、B兩個(gè)居民小區(qū)的居委會(huì)組織本小區(qū)的中學(xué)生，利用雙休日去市郊的敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)，兩個(gè)小區(qū)都有同學(xué)參加。已知A區(qū)的每位同學(xué)往返車(chē)費(fèi)是3元，每人可為5位老人服務(wù)；B區(qū)的每位同學(xué)往返車(chē)費(fèi)是5元，每人可為3位老人服務(wù)。如果要求B區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)比A區(qū)的同學(xué)多，且去敬老院的往返總車(chē)費(fèi)不超過(guò)37元。怎樣安排參與活動(dòng)同學(xué)的人數(shù)，才能使受到服務(wù)的老人最多？受到服務(wù)的老人最多是多少人？.解：設(shè)A、B兩區(qū)參與活動(dòng)的人數(shù)分別為x，y受到服務(wù)的老人人數(shù)為z，則z=5x+3y，應(yīng)滿(mǎn)足的約束條件是化簡(jiǎn)得.根據(jù)上述不等式組，作出表示可行域的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示。畫(huà)直線(xiàn)l0：5x+3y=0，平行移動(dòng)l0到直線(xiàn)l的位置，使l過(guò)可行域中的某點(diǎn)，并且可行域內(nèi)的其它各點(diǎn)都在l的包含直線(xiàn)l0的同一側(cè)。.該點(diǎn)到直線(xiàn)l0的距離最大，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)使目