第一章隨機(jī)事件與概率(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件-復(fù)旦大學(xué))

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論－事件發(fā)生的可能性數(shù)理統(tǒng)計(jì)－用數(shù)據(jù)來(lái)分析對(duì)象滿足的概率規(guī)律一、必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象1、必然現(xiàn)象在一定條件下肯定會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象如水100oC沸騰，蘋(píng)果從樹(shù)上掉落2、偶然現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象即使條件一定，結(jié)果也不可預(yù)測(cè)如擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面或反面？買(mǎi)一張彩票，是否中獎(jiǎng)？是否會(huì)發(fā)生水災(zāi)？第一章隨機(jī)事件與概率§1隨機(jī)事件要面對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行研究，還有一些要求。二、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行試驗(yàn)或觀察1、相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行2、每次試驗(yàn)有多種可能的結(jié)果，而且在試驗(yàn)之前即可明確有幾種可能。3、每次試驗(yàn)不能預(yù)知哪一結(jié)果會(huì)發(fā)生。當(dāng)目的不同時(shí)，結(jié)果也會(huì)有不同。如天氣：下雨或不下雨。晴、多云、陰、小雨、大雨等。隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件。一般用大寫(xiě)英文字母A、B、C等表示。例如在0、1、2、…、9中任取一數(shù)。A表示取到0，B表示取到5，C表示取到奇數(shù)，D表示取到3的倍數(shù)。它們都是隨機(jī)事件。不能分解為其它事件的事件稱(chēng)為基本事件。如A,B能分解為其它事件的事件稱(chēng)為復(fù)合事件。如C,D每次試驗(yàn)一定發(fā)生的事件稱(chēng)為必然事件。如點(diǎn)數(shù)大于0一般用Ω表示必然事件。每次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件稱(chēng)為不可能事件。如點(diǎn)數(shù)大于9一般用φ表示不可能事件它們是隨機(jī)事件的特例。為了研究的方便，可以用點(diǎn)集來(lái)表示事件，也可以用文氏圖表示?；臼录弥话粋€(gè)元素ω的單點(diǎn)集{ω}表示。復(fù)合事件用包含若干個(gè)元素的集合表示。例如擲一顆骰子，A表示點(diǎn)數(shù)為4，即為單點(diǎn)集{4}B表示點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，即為點(diǎn)集{2,4,6}點(diǎn)數(shù)為正數(shù)，是必然事件，即為全集{1,2,3,4,5,6}點(diǎn)數(shù)為負(fù)數(shù)，是不可能事件，即為空集φ所有基本事件對(duì)應(yīng)的元素組成的集合稱(chēng)為樣本空間。每個(gè)基本事件對(duì)應(yīng)的元素稱(chēng)為一個(gè)樣本點(diǎn)。三、事件間的關(guān)系及運(yùn)算1、事件的包含若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，即屬于A的每個(gè)樣本點(diǎn)也屬于B,則稱(chēng)事件B包含事件A。等價(jià)的說(shuō)法是：B不發(fā)生，則A也不發(fā)生。例如A={4},B={2,4,6},則AB記作BA或AB對(duì)任何事件A,有φ

AΩA用圖形表示，即B2、事件的相等若AB且BA，稱(chēng)事件A與B相等。即A與B中的樣本點(diǎn)完全相同。記作A=B擲一顆骰子A表示點(diǎn)數(shù)小于3，B表示點(diǎn)數(shù)為1或2則A=B3、事件的并（和）兩個(gè)事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生，即“A或B”，是一個(gè)事件，稱(chēng)為A與B的并（和）。它是由A與B的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。記作A+B或A∪B擲骰子之例中，若A={1,2,3},B={1,3,5}則A∪B={1,2,3,5}集合的運(yùn)算規(guī)律對(duì)事件也成立，如A∪B=B∪A,(A∪B)∪C=A∪(B∪C)A∪BA,A∪BBA∪φ=A,A∪Ω=Ωn個(gè)事件A1,…,An中至少有一個(gè)發(fā)生，是一個(gè)事件。稱(chēng)為事件A1,…,An的和。記作A1+…+An或A1∪…∪An可列個(gè)事件A1,A2,…,An,…中至少有一個(gè)發(fā)生稱(chēng)為事件A1,A2,…,An,…的和若A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3,4}則A+B+C={1,2,3,4,5}用圖形表示，即AB4、事件的交（積）兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生，即“A且B”,是一個(gè)事件。稱(chēng)為事件A與B的交（積）。它是由A與B的公共樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。記作AB或A∩B如A={1,2,3},B={1,3,5}則AB={1,3}它也有運(yùn)算律：A∩B=B∩A(A∩B)∩C=A∩(B∩C)A∩BAA∩BBA∩φ=φA∩Ω=A也可定義多個(gè)事件的交。交與并運(yùn)算還滿足分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)用不同的記號(hào)，可寫(xiě)為(A+B)C=AC+BC(AB)+C=(A+C)(B+C)用圖形表示，即BA5、事件的差事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，是一個(gè)事件，稱(chēng)為事件A與B的差。它由屬于A但不屬于B的所有樣本點(diǎn)組成。記作A-B如：A={1,2,3},B={1,3,5}則A-B={2},B-A={5}A用圖形表示即B6、互不相容事件若A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=φ稱(chēng)事件A與B互不相容或互斥?；コ馐录](méi)有公共的樣本點(diǎn)?；臼录g是互不相容的。如A={1,2,3},B={1,3,5},C={4,5}A與C是互不相容的。A與B是相容的。用圖形表示即AC7、對(duì)立事件事件“非A”,即A不發(fā)生，稱(chēng)為A的對(duì)立事件。也稱(chēng)為A的逆事件。它是由樣本空間中所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成。記作ā如A={1,2,3},ā={4,5,6}易見(jiàn)Aā=φ,A+ā=Ωā=Ω-A=AA用圖形表示Ωā8、完備事件組若事件A1,…,An兩兩互不相容，并且A1+…+An＝Ω稱(chēng)A1,…,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組。A與ā構(gòu)成一個(gè)完備事件組。若Ω＝{1，2，3，4，5，6}則A1={1,2,3},A2={4,6},A3={5}是一個(gè)完備事件組。用圖形表示，如A1A2A3A4Ω例1

從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的運(yùn)算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至少有一次取到合格品，三次中恰有兩次取到合格品，三次中最多有一次取到合格品。解：三次全部取到合格品：A1A2A3三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3三次中恰有兩次取到合格品三次中至多有一次取得合格品例2

設(shè)x表示一個(gè)沿?cái)?shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位置，試說(shuō)明下列各事件的關(guān)系：A={x|x≤20}B={x|x>3}C={x|x<9}D={x|x<-5}E={x|x≥9}解：ACD,BED與B,D與E互不相容C與E為對(duì)應(yīng)事件。B與C，B與A，E與A相容A與C,A與D,C與D,B與E也是相容的。符號(hào) 集合含義 事件含義Ω

全集 樣本空間，必然事件Φ

空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 樣本點(diǎn){ω} 單點(diǎn)集 基本事件AΩ

一個(gè)集合 一個(gè)事件AB A的元素在B中 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A=B 集合A與B相等 事件A與B相等A∪B A與B的所有元素 A與B至少有一個(gè)發(fā)生A∩B A與B的共同元素 A與B同時(shí)發(fā)生ā A的補(bǔ)集 A的對(duì)立事件A-B 在A中而不在B中的元素 A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生A∩B=φ

A與B無(wú)公共元素 A與B互斥§2概率概率是事件發(fā)生可能性的數(shù)量指標(biāo)。即在多次重復(fù)后，某結(jié)果出現(xiàn)的比率。概率應(yīng)有如下特征：(1)是事件本身固有的，可通過(guò)大量試驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。(2)符合一般常情，可能性大時(shí)，概率也大。一般敘述可能性時(shí)用百分比。以后為方便更多地用0到1之間的小數(shù)。即0≤P(A)≤1且 P(Ω)=1 P(φ)=01、典型概率要計(jì)算事件發(fā)生的可能性，對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)有一定要求。(1)每次試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的試驗(yàn)結(jié)果。(2)每次試驗(yàn)中，各基本事件發(fā)生的可能性相同。這種試驗(yàn)稱(chēng)為古典概型試驗(yàn)。定義1若試驗(yàn)結(jié)果一共有n個(gè)基本事件組成，且這些事件的出現(xiàn)具有相同的可能性，且事件A由其中某m個(gè)基本事件組成，則事件A的概率為例1

擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率解：設(shè)硬幣是均勻的只有正、反面兩個(gè)基本事件。若A表示出現(xiàn)正面。解：為簡(jiǎn)便，每位數(shù)字有10種選擇。基本事件總數(shù)是106。事件A表示找到張某，則A只有一個(gè)基本事件。例2

隨意撥一個(gè)六位電話號(hào)碼，正好找到朋友張某的概率。例3

袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)黑球。從中任取兩個(gè)球，計(jì)算取出的兩個(gè)球都是白球的概率。解：組成試驗(yàn)的基本事件總數(shù)事件A表示取到兩個(gè)白球，基本事件數(shù)故另解：若認(rèn)為取出的兩個(gè)球有先后次序，則基本事件總數(shù)為注意，若認(rèn)為是取出一個(gè)，放回去后再取一個(gè)。則基本事件總數(shù)是8×8，A的事件數(shù)為6×6例4

福利彩票35選7中特等獎(jiǎng)的概率。解：不論是號(hào)碼是自選還是機(jī)選，基本事件總數(shù)為A表示中特等獎(jiǎng)，則A只含一個(gè)基本事件，若B表示中一等獎(jiǎng)(對(duì)6個(gè)號(hào)碼)B的基本事件數(shù)為2、統(tǒng)計(jì)概率古典概率要求很?chē)?yán)格，特別是基本事件等可能，這一點(diǎn)很難做到。如硬幣真的是均勻的嗎？隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生不確定，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，它的發(fā)生卻具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在n次重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生了m次，則m/n稱(chēng)為事件A發(fā)生的頻率。不可能事件的頻率一定為0。必然事件的頻率一定為1。關(guān)于擲硬幣，前人做過(guò)試驗(yàn)。試驗(yàn)者 擲的次數(shù) 正面次數(shù) 正面頻率Buffon 4040 2048 0.5069Pearson 24000 12012 0.5005Kerrich 10000 5067 0.5067可見(jiàn)，擲的次數(shù)越多，頻率越接近0.5如上表說(shuō)明硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5。概率是事件本身固有的，試驗(yàn)只是幫助我們了解它。定義2在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng)。且n越大，擺動(dòng)幅度越小。則稱(chēng)這常數(shù)P為事件A的概率，記為P(A)。年份新生兒總數(shù)男嬰兒數(shù)女?huà)雰簲?shù)男嬰頻率女?huà)雰焊怕?97736701883 178751.31 48.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年總計(jì)31394161461524851.4848.52可以認(rèn)為生男孩的概率近似值為0.515這種概率只能通過(guò)統(tǒng)計(jì)得出。又如某婦產(chǎn)醫(yī)院幾年間出生嬰兒的性別記錄為：3、幾何概率考慮一個(gè)點(diǎn)隨機(jī)落在[0,1]區(qū)間。00.31若問(wèn)事件A:點(diǎn)落在0.5處的概率。顯然P(A)=0但A不是不可能事件。而問(wèn)事件B：點(diǎn)落在0與0.3之間的概率。則P(B)=0.3這種與幾何形狀有關(guān)的概率稱(chēng)為幾何概率。4、關(guān)于概率的一些解釋。(1)硬幣出現(xiàn)正面的概率為(2)概率不會(huì)自動(dòng)“平衡”是指多次試驗(yàn)中正面出現(xiàn)的頻率接近而不是多次試驗(yàn)中正面出現(xiàn)的次數(shù)接近一半。如 總次數(shù)100 正面55總次數(shù)10000 正面5050硬幣連在10個(gè)正面，下一次是什么？打牌手風(fēng)很順，該繼續(xù)還是停止？連生幾個(gè)女孩，想生男孩，該繼續(xù)生嗎？(3)對(duì)概率的錯(cuò)誤估計(jì)a、你認(rèn)為自己買(mǎi)彩票會(huì)中獎(jiǎng)嗎？b、你害怕SARS嗎？對(duì)可怕后果的擔(dān)憂使人過(guò)高估計(jì)概率。c、一對(duì)夫婦要去買(mǎi)點(diǎn)東西，該把嬰兒?jiǎn)为?dú)留在家中？還是帶在汽車(chē)上和自己一起去？因?yàn)椴豢煽刂贫e(cuò)估概率。d、你認(rèn)為自己買(mǎi)彩票會(huì)賺錢(qián)嗎？過(guò)度自信使人低估了風(fēng)險(xiǎn)?！?概率的計(jì)算解：設(shè)所求事件為A.解：設(shè)A表示指定的3人排在一起。例1

從0到9這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)，問(wèn)大小在中間的號(hào)碼恰為5的概率是多少？例29個(gè)人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。例3

一批產(chǎn)品共有10個(gè)，其中有4個(gè)廢品，求：(1)這批產(chǎn)品的廢品率(2)任取3個(gè)恰有1個(gè)是廢品的概率(3)任取3個(gè)全非廢品的概率解：分別用A、A1、A0表示上述三個(gè)事件=0.4=0.5注：若是有放回地抽取，答案會(huì)不同，如=0.216例4

兩封信隨機(jī)地投向標(biāo)號(hào)為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的四個(gè)郵筒。求第二個(gè)郵筒恰好被投入1封信的概率以及前兩個(gè)郵筒中各有一封信的概率。解：設(shè)A表示第二個(gè)郵筒中投入一封信。B表示前兩個(gè)郵筒各有一封信。兩封信共有42種可能的投法。A的不同投法有種B的不同投法有解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。有放回時(shí)，每人面對(duì)的簽數(shù)是相同的乙抽取時(shí)，可能與甲的抽取情況有關(guān)，但可將甲與乙的抽取同時(shí)考慮，只要乙抽到難簽即可例5(抽簽的公正性)設(shè)有3個(gè)難簽，5個(gè)易簽。甲、乙、丙依次抽取，分別在有放回與不放回的情況下計(jì)算各人抽到難簽的概率。例6

設(shè)有5個(gè)人，每個(gè)人以同等機(jī)會(huì)被分配在7個(gè)房間中，求恰好有5個(gè)房間中各有一個(gè)人的概率。解：設(shè)A表示恰有5個(gè)房間中各有一個(gè)人。每人進(jìn)入各房間等可能基本事件總數(shù)為75個(gè)。(1)七個(gè)數(shù)字全不同的事件A1(2)不含1與0的事件A2(3)兩個(gè)偶數(shù)五個(gè)奇數(shù)的事件A3解：基本事件總數(shù)為107=0.06048=0.20972=0.164例7

從0到9十個(gè)數(shù)字種任取一個(gè)，取后放回，再取。先后共取七個(gè)數(shù)字。求下述事件的概率。例8

兩人約定于早上8點(diǎn)至9點(diǎn)在校門(mén)口見(jiàn)面。要求先到者等20分鐘后離去。假定兩人到校門(mén)的時(shí)間相互獨(dú)立，而且在8至9點(diǎn)間是等可能的。問(wèn)兩人能見(jiàn)面的概率是多少？解：以x與y分別表示兩人在8點(diǎn)之后到達(dá)校門(mén)口的分鐘數(shù)。則0≤x≤60,0≤y≤60兩人能見(jiàn)面，即|x-y|≤20即圖中的陰影部分能見(jiàn)面的概率為602002060§4概率的加法法則解：A、B分別表示一、二等品，A+B表示產(chǎn)品合格故P(A+B)=P(A)+P(B)可以推廣為一般的加法法則：若A與B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)可以得到一些重要的推廣。例110件產(chǎn)品中有6個(gè)一等品，3個(gè)二等品，1個(gè)廢品。規(guī)定一、二等品為合格品。求合格率與一、二等品之間的關(guān)系。(1)如果n個(gè)事件A1,A2,…,An兩兩互斥，則P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)若A1,A2,…,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組，它們的概率和為P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1特別地，對(duì)立事件的概率之和為1。P(A)+P(ā)=1常用形式為 P(A)=1-P(ā)一般有P(B-A)=P(B)-P(AB)這是因?yàn)锽=(B-A)+AB見(jiàn)右圖BA(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)稱(chēng)為廣義加法法則A+B=A+(B-A)由于A與B-A互斥故P(A+B)=P(A)+P(B-A)再由(3)得證?？梢?jiàn)，只需P(AB)=0加法法則就成立。若是多個(gè)事件之和，公式會(huì)變復(fù)雜。這是因?yàn)橛蓤DABP(A+B+C)=P(A+B)+P(C)-P((A+B)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)其中要注意(AC)(BC)=ABC類(lèi)似地，可以證明P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4)+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)-P(A1A2A3A4)解：分別用A2與A3表示抽到兩個(gè)與三個(gè)白球。A2與A3互斥由加法法則，所求概率為P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)例2

袋中有大小相同的7個(gè)球，4個(gè)是白球，3個(gè)為黑球。從中一次取出3個(gè)，求至少有兩個(gè)是白球的概率。例350個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品，從中一次抽取3個(gè)，求其中有廢品的概率。解：用Ai表示取到i個(gè)廢品。A1,A2,A3互斥故P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)解：Ai表示有正好有i張相同。i＝0，2，3例4

現(xiàn)有黑桃自A至K的13牌。有放回地抽3次。求(1)三張?zhí)柎a不同的概率。(2)三張中有相同號(hào)碼的概率。(3)三張中至多有兩張同號(hào)的概率。(2)P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)(3)P(A0+A2)=P(A0)+P(A2)＝1－P(A3)例5

甲盒中有2個(gè)紅球1個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)白球1個(gè)紅球。從甲盒中取一球放入乙盒，再?gòu)囊液兄腥∫磺蚍湃爰缀小Ｇ蠹缀谐煞植蛔兊母怕?。解：甲盒成分不變，包括兩種情況從甲盒中取出紅球，從乙盒中也取出紅球,記為A從甲盒中取出白球，從乙盒中也取出白球,記為BA與B互斥基本事件總數(shù)為3×4＝12A的基本事件數(shù)2×2＝4B的基本事件數(shù)1×3=3解：A表示能被6整除。B表示能被8整除。例6

從1到200中任取一數(shù)。求(1)能被6與8同時(shí)整除的概率。(2)不能被6或8整除的概率。例7

你的班級(jí)中是否有人有相同的生日？這一事件的概率有多大？解：設(shè)人的生日在一年365天的每一天是等可能的A表示n個(gè)人組成的班級(jí)中有人生日相同。基本事件總數(shù)為365nA的基本事件數(shù)不易確定。故P(A)=1-P(ā)§5條件概率與乘法規(guī)則(1)取到廢品的概率。(2)已知取到的是不合格品，它是廢品的概率。解：(1)取到廢品用A表示(2)基本事件總數(shù)為5一般設(shè)P(B)>0。而P(A)稱(chēng)為無(wú)條件概率。例1

有100件產(chǎn)品，其中有5件是不合格品，包括3件次品與2件廢品，任取一件，求定義1在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱(chēng)為事件A在給定B下的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為A對(duì)B的條件概率，記作P(A|B)例2

市場(chǎng)上供應(yīng)的電風(fēng)扇中，甲廠產(chǎn)品占70％，乙廠占30％。甲廠產(chǎn)品的合格率是95％，乙廠的合格率是80％。若用事件A,ā分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品為合格品，試寫(xiě)出有關(guān)事件的概率。解：由題設(shè)P(A)=0.7P(ā)=0.3P(B|A)=0.95P(B|ā)=0.8例3

全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生(事件A)80人，女生20人；來(lái)自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語(yǔ)(事件C)有40人，其中男生32人，女生8人。試寫(xiě)出解：由題設(shè)＝0.8=0.2=0.4＝0.15=0.6=0.12=0.4=0.15=0.32在例3中可以觀察到它是條件概率的計(jì)算公式。要求P(A)>0,P(B)>0關(guān)于n個(gè)事件A1,A2,…,An的乘法規(guī)則是P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)定理1(乘法規(guī)則)若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)解：甲廠生產(chǎn)的合格品，即P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95=0.665乙廠生產(chǎn)的合格品，即P(āB)=P(ā)P(B|ā)=0.3×0.8=0.24為什么后者不是1-P(AB)?因?yàn)锳B與āB不是對(duì)立事件。例4

在例1中求從市場(chǎng)上買(mǎi)一臺(tái)電風(fēng)扇是甲廠生產(chǎn)的合格品的概率以及是乙廠生產(chǎn)的合格品的概率。解：設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙抽到難簽。例510個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，3人參加抽簽(不放回)，甲先，乙次，丙最后。求甲抽到難簽，甲、乙都抽到難簽，甲沒(méi)抽到難簽而乙抽到難簽以及甲乙丙都抽到難簽的概率。解：設(shè)A表示第一件合格，B表示第二件合格。在不放回時(shí)另一方法P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9025=0.9025例6

設(shè)100件產(chǎn)品中有5件不合格，任取兩件，求兩件均合格的概率，要求分為不放回與放回兩種情況計(jì)算。錯(cuò)解：在另9個(gè)產(chǎn)品中(含3個(gè)廢品)取到廢品的概率正解：用A表示第一件是廢品，B表示第二件是廢品已知有一個(gè)是廢品，即表示至少有一個(gè)廢品，就是A+B若另一個(gè)也是廢品，則兩個(gè)都是廢品即AB因(A+B)AB=AB例710件產(chǎn)品中有4件廢品，任取兩件。若已知有一個(gè)是廢品，求另一個(gè)也是廢品。又因P(A+B)≤1例8

設(shè)A,B為兩個(gè)事件，且P(A)=a>0,P(B)=b>0§6.全概率公式與貝葉斯公式解：B=AB+āB且AB與āB互不相容。P(B)=P(AB+āB)=P(AB)+P(āB)=P(A)P(B|A)+P(ā)P(B|ā)=0.7×0.95+0.3×0.8=0.905例1

市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70％，乙廠占30％，甲廠產(chǎn)品的合格率是95％，乙廠的合格率是80％若用事件A，ā分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品為合格品。求市場(chǎng)上買(mǎi)一個(gè)燈泡的合格率，及買(mǎi)到合格燈泡是甲廠生產(chǎn)的概率。定理1(全概率公式)若事件A1,A2,…構(gòu)成一個(gè)完備事件組并且都具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)事件B,有證：A1,A2,…兩兩互斥，故A1B,A2B,…兩兩互斥由加法法則再由乘法法則定理2(貝葉斯公式)若事件A1,A2,…構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)概率不為零的事件B,有各原因下條件概率已知求事件發(fā)生概率求是某種原因造成得概率事件已發(fā)生全概率貝葉斯例2

設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正。一射手用校正過(guò)的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過(guò)的槍射擊，中靶率為0.4。(1)該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？(2)若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，求該槍未校正的概率。解：設(shè)A表示槍已校正，B表示射擊中靶例3

有三個(gè)同樣的箱子，A箱中有4個(gè)黑球1個(gè)白球，B箱中有3個(gè)黑球3個(gè)白球，C箱中有3個(gè)黑球5個(gè)白球?，F(xiàn)任取一箱，再?gòu)闹腥稳∫磺颍?1)此球是白球的概率(2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。解：用A、B、C表示A、B、C三個(gè)箱子取球用D表示取出的是白球。則A、B、C是完備事件組。例4(抽簽的公正性)設(shè)10支簽中有4支難簽。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到難簽的概率。解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。例5

設(shè)驗(yàn)血診斷某種疾病的誤診率僅為5％，即若用A表示驗(yàn)血陽(yáng)性，B表示受驗(yàn)者患病，則若有10000人受檢，患病者僅50人，其中驗(yàn)血陽(yáng)性約47.5人而9950健康人中，驗(yàn)血陽(yáng)性者為9950×0.05＝497.5人§7獨(dú)立試驗(yàn)概型(一)事件的獨(dú)立性故若A獨(dú)立于B，則B也獨(dú)立于A,稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立。關(guān)于獨(dú)立性有如下性質(zhì)：定義1若事件發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響，即P(A|B)=P(A),則稱(chēng)事件A獨(dú)立于事件B。定義2若n(n>2)個(gè)事件A1,…,An中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響，稱(chēng)A1,A2,…,An相互獨(dú)立。(1)事件A與B獨(dú)立的充分必要條件是P(AB)=P(A)P(B)證：必要性若A與B中有一個(gè)事件概率為零，結(jié)論成立。設(shè)A與B的概率都不為零，由獨(dú)立性P(B|A)=P(B)而由乘法法則可得P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)充分性設(shè)P(B)>0,則=P(A)即A與B獨(dú)立。證：類(lèi)似可證其它兩對(duì)事件獨(dú)立。(3)若事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則有P(A1…An)=P(A1)…P(An)證：P(A1…An)＝P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1…An-1)而P(A2|A1)=P(A2),…,P(An|A1…An-1)=P(An)故P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)例1

設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8。求一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率。解：分別用A,B表示甲、乙擊中目標(biāo)。目標(biāo)被擊中，即至少有一人擊中，即A+BA與B獨(dú)立。故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98或由性質(zhì)(4)=0.98=1-0.1×0.2例2

一名士兵用步槍射擊飛機(jī)，命中率為0.004。求：(1)若250名士兵同時(shí)射擊，飛機(jī)被擊中的概率。(2)多少名士兵同時(shí)射擊，才能使飛機(jī)被擊中的概率達(dá)到99％？解：用Ai表示第i名士兵擊中飛機(jī)，P(Ai)＝0.004＝0.99即0.996n＝0.01例3

甲、乙、丙3部機(jī)床獨(dú)立工作，由一個(gè)工人照管，某段時(shí)間內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.9，0.8及0.85。求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概率以及機(jī)床因無(wú)人照管而停工的概率。解：用A、B、C分別表示在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床甲、乙、丙不需要照管。則A、B、C相互獨(dú)立，且P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85例4

圖中開(kāi)關(guān)a、b、c開(kāi)或關(guān)的概率都是0.5，且各開(kāi)關(guān)是否關(guān)閉相互獨(dú)立。求燈亮的概率以及若已見(jiàn)燈亮，開(kāi)關(guān)a與b同時(shí)關(guān)閉的概率。解：令A(yù)、B、C分別表示開(kāi)關(guān)a、b、c關(guān)閉，D表示燈亮P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.5×0.5+0.5-0.5×0.5×0.5=0.625ABD=AB=0.4abc例5

甲、乙、丙三人獨(dú)立射擊一個(gè)目標(biāo)，命中率分別為0.4，0.5，0.7，若只有一人擊中，目標(biāo)被摧毀的概率是0.2，若二人擊中，則目標(biāo)被摧毀的概率是0.6，若三人都擊中，目標(biāo)一定被摧毀。若目標(biāo)被摧毀，求它是一人摧毀的概率。解：用Ai表示有i個(gè)人擊中目標(biāo)，i=0,1,2,3用B表示目標(biāo)被摧毀。P(B|A0)=0 P(B|A1)=0.2 P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1P(A0)=0.6×0.5×0.3=0.09P(A1)=0.4×0.5×0