高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)【文科】

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)【文科】

高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N或N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

（3）集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：{x|x具有的性質(zhì)}，其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等

nnnn（7）已知集合A有n(n1)個(gè)元素，則它有2個(gè)子集，它有21個(gè)真子集，它有21個(gè)非空子集，它有22非空

真子集.

【1.1.3】集合的基本運(yùn)算

（8）交集、并集、補(bǔ)集

1

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對(duì)值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合A到B的一個(gè)函數(shù)，

2

記作f:AB．

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則．

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)．

（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab，滿足axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做[a,b]；滿足axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足axb，或axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做

[a,b)，(a,b]；滿足xa,xa,xb,xb的實(shí)數(shù)x的集合分別記做[a,),(a,),(,b],(,b)．

注意：對(duì)于集合{x|axb}與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須

ab．

（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①f(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)．

②f(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．

③f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合．

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1．

⑤ytanx中，xk

2(kZ)．

⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．

⑦若f(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式ag(x)b解出．

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論．

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義．

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)yf(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a(y)xb(y)xc(y)0，則在2

a(y)0時(shí)，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有b(y)4a(y)c(y)0，從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．

32

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．

【1.2.2】函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖

象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．（6）映射的概念

①設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合A到B的映射，記作f:AB．②給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)

【1.3.1】單調(diào)性與最大（小）值

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)．

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)為增，ug(x)為增，則yf[g(x)]為增；若

yf(u)為減，ug(x)為減，則yf[g(x)]為增；若yf(u)為增，ug(x)為減，則yf[g(x)]為

4

減；若yf(u)為減，ug(x)為增，則yf[g(x)]為減．

（2）打“√”函數(shù)f(x)x

o

x

ax

(a0)的圖象與性質(zhì)

y

f(x

)分別在(,

、

)上為增函數(shù)，分別在[

0)、(0,

（3）最大（?。┲刀x

上為減函數(shù)．

①一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)M．那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作fmax(x)M．

②一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值，記作fmax(x)m．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

5

②若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0．

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反．

④在公共定義域②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象．

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．①平移變換

h0,左移h個(gè)單位

h0,右移|h|個(gè)單位k0,上移k個(gè)單位k0,下移|k|個(gè)單位yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)k

②伸縮變換

yf(x)yf(x)1,縮

yf(x)yAf(x)A1,伸

③對(duì)稱變換0A1,縮01,伸

yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)x軸y軸

yf(x)yf(x)yf(x)yf

yf(x)yf(|x|)

yf(x)y|f(x)|

（2）識(shí)圖保留x軸上方圖象將x軸下方圖象翻折上去原點(diǎn)直線yx1(x)去掉y軸左邊圖象保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱圖象

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的

重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．

第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果xa,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的n次方根用

nn是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n

n

次方根用符號(hào)表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根．

a0．a(chǎn)叫做被開方數(shù)．a(chǎn)為任意實(shí)數(shù)；這里n叫做根指數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，6

③根式的性質(zhì)：a；當(dāng)n

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

m

n

a(a0)．a(chǎn)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

|a|

a(a0)

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a

n

mn

a0,m,nN,且n1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．

m

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a

()na

1

a0,m,nN,且n1)．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

①aaa

r

r

r

s

rs

(a0,r,sR)②(a)a(a0,r,sR)

rsrs

③(ab)ab(a0,b0,rR)

r

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

7

〖2.2〗對(duì)數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

（1）對(duì)數(shù)的定義①若a

x

N(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlogaNa（2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

x

N(a0,a1,N0)．

loga10，logaa1，logaab．

（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lgN，即log10N；自然對(duì)數(shù)：lnN，即logeN（其中e2.71828?）．（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNloga

③數(shù)乘：nlogaMlogaM(nR)④a

n

b

MN

logaN

N

logbNlogba

⑤log

a

b

M

n

nb

logaM(b0,nR)⑥換底公式：logaN

(b0,且b1)

【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)

8

（1）冪函數(shù)的定義〖2.3〗冪函數(shù)一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．

（3）冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象

關(guān)于y軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)．

③單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在[0,)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸．

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)q

p（其中p,q互質(zhì)，p和qZ），

qq

若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則yx

p是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則yx9

p是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，

q

則yx

p

是非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù)yx,x(0,)，當(dāng)1時(shí)，若0x1，其圖象在直線yx下方，若x1，其圖象在直線yx上方，當(dāng)1時(shí)，若0x1，其圖象在直線yx上方，若x1，其圖象在直線yx下方．

〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：f(x)axbxc(a0)②頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)k(a0)③兩根式：

2

2

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．③若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求f(x)更方便．

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為x

2

b2a

,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(

b2a

,

4acb4a

2

)．

b2a

b2ab2a

b2a

②當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在(,]上遞減，在[,)上遞增，當(dāng)x

b2a

時(shí)，

fmin(x)

4acb4a

2

；當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在(,]上遞增，在[,)上遞減，當(dāng)x

b2a

時(shí)，fmax(x)

4acb4a

2

2

．

③二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)當(dāng)b4ac0時(shí)，圖象與x

軸有兩個(gè)交點(diǎn)

2

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|

|a|

．

（4）一元二次方程axbxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要

2

2

2

b2a

③判別式：④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)．

10

②x1≤x2＜k

③x

1＜k＜x2af(k)＜0

④k1＜x1≤x2＜k2

⑤有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

11

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此結(jié)論可直接由⑤推出．

（5）二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值設(shè)f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值為M，最小值為m，令x0

（Ⅰ）當(dāng)a0時(shí)（開口向上）

①若

①若

12

2

12

(pq)．

b2a

p，則mf(p)②若p

b2a

q，則mf(

b2a

)③若

b2a

q，則mf(q)

x

x

x

b2a

x0，則Mf(q)②

b2a

x0，則Mf(p)

x

x

(Ⅱ)當(dāng)a0時(shí)(開口向下)①若

①若

b2a

p，則Mf(p)②若p

b2a

q，則Mf(

b2a

)③若

b2a

q，則Mf(q)

x

x

f

b2a

f

x

b2a

x0，則mf(q)②x0，則mf(p)．

x

x

f

第三章一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○

2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出○

零點(diǎn)．

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)yax

2

bxc(a0)．

22

１）△＞０，方程axbxc0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

２）△＝０，方程axbxc0有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有

一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．３）△＜０，方程ax

2

bxc0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．

13

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原則：

長對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等3直觀圖：斜二測(cè)畫法4斜二測(cè)畫法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。

5用斜二測(cè)畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積Srlr23圓錐的表面積Srlr224圓臺(tái)的表面積SrlrRlR5球的表面積S4R（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積VS底h2錐體的體積V3臺(tái)體的體積VS上

2

2

22

13

S底h43

1

3

S上S下S下)h4球體的體積V

R

3

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個(gè)公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為

A∈L

B∈αA∈αB∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α，

14

DA

B

C

2C2

2

AB

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

（3）公理3

符號(hào)表示為：P∈α∩β=>α∩β=L

，且P∈L

公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1

空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

共面直線

異面直線：不同在任何一個(gè)平面)；=>a∥c

2③a⊥b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線在平面α來表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面α

bβα

a∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

15

符號(hào)表示：

aβ

bβ

a∩

b=P

αa

∥α

b∥α2、判斷兩平面平行的方法有三種：

（1）用定義；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。

符號(hào)表示：

a∥α

aβb

α∩β=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

符號(hào)表示：

α∥β

α∩γ=aab

β∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面αa)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

A

16

梭

B

2α-l-β或α-AB-β

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面直線與方程

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定α=0°.

2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),α=90°.

3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα

?當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),α=0°,k=tan0°=0;

?當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、直線的斜率公式:

給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率：

斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

3.1.2兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即

注意:上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即如果k1=k2,那么17

一定有L1∥L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

1、直線的點(diǎn)斜式方程：直線l經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,

y0)，且斜率為k

yy0k(xx0)

2、、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0,b)ykxb

3.2.2直線的兩

1、直線的兩點(diǎn)式方

P1P2

點(diǎn)式方程

程：已知兩點(diǎn)

P1(x1,x2),P2(x2,y2)

其中

(x1x2,y1y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直線的截距式方程：已知直線l與x軸的交點(diǎn)為A(a,0)，與

y軸的交點(diǎn)為B(0,b)，其中a0,b0

3.2.3直線的一般式方程

1、直線的一般式方程：關(guān)于

x,y的二元一次方程AxByC0（A，B不同時(shí)為0）

2、各種直線方程之間的互化。

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)

L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程組

3x4y22x2y2

得x=-2，y=2

所以L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，2）

3.3.23.3.3

兩點(diǎn)間距離

點(diǎn)到直線的距離公式

Ax0By0C

AB

2

2

兩點(diǎn)間的距離公式

1．點(diǎn)到直線距離公式：

點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離為：d2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線

l1和l2的一般式方程為l1

：

AxByC10，

C1C2AB

2

2

l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d

第四章

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)(yb)r

18

2

2

2

圓與方程

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)(yb)r的關(guān)系的判斷方法：

（1）(x0a)(y0b)>r，點(diǎn)在圓外（2）(x0a)(y0b)=r，點(diǎn)在圓上

（3）(x0a)(y0b)<r，點(diǎn)在圓圓的一般方程

1、圓的一般方程：x2yDxEyF02

2、圓的一般方程的特點(diǎn)：

(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項(xiàng)．

(2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了．

(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。

4.2.1圓與圓的位置關(guān)系

1、用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系．

設(shè)直線l：axbyc0，圓C：x2y2DxEyF0，圓的半徑為r，圓心(D

2,E

2)到直線的距

離為d，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)dr時(shí)，直線l與圓C相離；（2）當(dāng)dr時(shí)，直線l與圓C相切；

（3）當(dāng)dr時(shí)，直線l與圓C相交；

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系．

設(shè)兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)lr1r2時(shí)，圓C1與圓C2相離；（2）當(dāng)lr1r2時(shí)，圓C1與圓C2外切；

（3）當(dāng)|r1r2|lr1r2時(shí)，圓C1與圓C2相交；

（4）當(dāng)l|r1r2|時(shí)，圓C1與圓C2直線與圓的方程的應(yīng)用

1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；

2、過程與方法

用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；19

第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

4.3.1空間直角坐標(biāo)系

1、點(diǎn)M對(duì)應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，x、y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸上的坐標(biāo)

2、有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，對(duì)應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)

3、空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M(x,y,z)，x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。

4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式

1、空間中任意一點(diǎn)P1(x1,y1,z1)到點(diǎn)P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

2

2

2

x

P1P2

(x1x2)(y1y2)(z1z2)

20

高中數(shù)學(xué)必修3知識(shí)點(diǎn)

第一章算法初步

1.1.1算法的概念

1、算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的”算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之程序框圖

1、程序框圖基本概念：

（一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。

（二）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用

1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入21

點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而

下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B

框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)

行B框所指定的操作。

2、條件結(jié)構(gòu)：

條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對(duì)條件的判斷

根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時(shí)執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。

3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：

（1）、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

（2）、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

當(dāng)型循

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。

22

1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

（2）輸

入語句

的作用

是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示圖2

分析：在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作IF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件23

符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IF—THEN語句

IF—THEN語句的一般格式為圖3，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖4。

注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作IF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。

1．2．3循環(huán)語句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句

（1）WHILE語句的一般格式是

（2）當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND

語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測(cè)試型”循環(huán)。

2、UNTIL語句

（1）UNTIL語句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖是

（2）直到型循環(huán)又稱為“后測(cè)試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足

24

時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語句。

分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）

（1）當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)

1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商S0和一個(gè)余數(shù)R0；（2）：若R0＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)

除數(shù)R0得到一個(gè)商S1和一個(gè)余數(shù)R1；（3）：若R1＝0，則R1為m，n的最大公約數(shù)；若＝0，此時(shí)所得到的R1≠0，則用R0除以余數(shù)R1得到一個(gè)商S2和一個(gè)余數(shù)R2；??依次計(jì)算直至RnRn1即為所求的最大公約數(shù)。

2、更相減損術(shù)

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：（1）：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。

例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).

分析：（略）

3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問題。

25

2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序

1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第１個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第１個(gè)元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）

2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)......直到比較最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個(gè)數(shù)開始,到最后第2個(gè)數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進(jìn)位制

1、概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個(gè)大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)

第二章統(tǒng)計(jì)

2.1.1簡單隨機(jī)抽樣

1．總體和樣本

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對(duì)象的全體叫做總體．

把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體．

把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：，

，，

研究，我們稱它為樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量．

2．簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨

機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。

3．簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；?隨機(jī)數(shù)表法；?計(jì)算機(jī)模擬法；?使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。

26

在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:

（1）給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)；

（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽

（3）對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查

例：請(qǐng)調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。

5．隨機(jī)數(shù)表法：

例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級(jí)中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：

把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布?？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對(duì)比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘?duì)抽樣框的要求較低，實(shí)施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。

2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

分層標(biāo)準(zhǔn)：

（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。

（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。

27

（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。

3．分層的比例問題：

（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會(huì)非常少，此時(shí)采用該方法，主要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對(duì)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

1、本均值：xx1x2xn

n

2、．樣本標(biāo)準(zhǔn)差：ss2(x1x)(x2x)(xnx)

n222

3．用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會(huì)有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)

估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變

（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍

（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應(yīng)用；

“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理

2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)

1、概念:

（1）回歸直線方程

（2）回歸系數(shù)

2．最小二乘法

3．直線回歸方程的應(yīng)用

（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系

（2）利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；把預(yù)報(bào)因子（即自變量x）代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量（即因變量Y）進(jìn)行估計(jì)，即可得

到個(gè)體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如已經(jīng)得到了空氣中

NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。

28

4．應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)

（1）做回歸分析要有實(shí)際意義；

（2）回歸分析前,最好先作出散點(diǎn)圖；

（3）回歸直線不要外延。

第三章概率

3.1.1—3.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件；

（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件；

（4）隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事

nA

件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著

試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

nA

（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值n，它具有一定的穩(wěn)

定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨

機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地

作為這個(gè)事件的概率

3.1.3概率的基本性質(zhì)

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件；

（4）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，所

以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)

2、概率的基本性質(zhì)：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；

2）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；

4）互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不29

同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.1—3.2.2古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。

（2）古典概型的解題步驟；

①求出總的基本事件數(shù)；

A包含的基本事件數(shù)

②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=總的基本事件個(gè)數(shù)

3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：

構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體

P（A）=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成

（2）積）積）；的區(qū)域長度（面積或體幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)

第一章三角函數(shù)

正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為k360k36090,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k

終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k

30

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k4、長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．

5、半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是

lr

．

180

6、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．

180

7、若扇形的圓心角為

為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S

，則lr，C2rl，

S

12

lr

12

r．

2

8、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是rr

0，則

sin

yr

，cos

xr

，tan

yx

x0．

本

2

9、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．

10、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．11

、

角

2

三角函數(shù)

2

的

2

基關(guān)

2

系1sin2

2

sin

cos1

sin1cos,cos1sin

sin

tansintancos,cos．

costan

12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin2sinsin3sinsin

，cos2k，cos

cos，tan2ktank．

．

cos，tantan

．

，coscos，tantan

4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限．

，．，5sincos6sincoscoscossinsin．

2222

口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．

13、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)

31

，得到函數(shù)ysinxysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變）的圖象．

②數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移ysinx的圖象；

個(gè)單位長度，得到函數(shù)ysinx

的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象．

14、函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：①振幅：；②周期：

2

；③頻率：f

1

2

；④相位：x；⑤初相：．

函數(shù)ysinx，當(dāng)xx1時(shí)，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值為ymax，則

12

ymaxy，min

12

ymaxymin，

2

x2x1x1x2．

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

性

質(zhì)

函

數(shù)ysinx

ycosx

ytanx

圖象

定義域

RR

xxk,k

2

R

值域

1,1

當(dāng)x2k

1,1

當(dāng)x2kk時(shí)，

2

k時(shí)，

2

最值

ymax1；當(dāng)x2kymax1；當(dāng)x2k

既無最大值也無最小值

k時(shí)，ymin

周期性奇偶性

在2k

1．

k時(shí)，ymin

1．

2

奇函數(shù)

2

偶函數(shù)

奇函數(shù)

在k

單調(diào)性

2

,2k

2

在2k,2kk上是增

2

,k

2

32

k上是增函數(shù)；在

3

2k,2k22

函數(shù)；在2k,2kk上是增函數(shù)．

k上是減函數(shù)．

k上是減函數(shù)．

對(duì)稱中心k,0k

對(duì)稱性

對(duì)稱軸xk

對(duì)稱中心k

2

,0k2

k

對(duì)稱軸xkk

對(duì)稱中心無對(duì)稱軸

k

,0k2

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度．零向量：長度為0的向量．單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量．

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．

17、向量加法運(yùn)算：

?三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．?平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．

?三角形不等式：ababab．

?運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：abba；

②結(jié)合律：abcabc；③a00aa．

C

?坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運(yùn)算：

?三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．

a

b

?坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

?實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①

abCC

aa；

②當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0．

?運(yùn)算律：①aa；②aaa；③abab．

ax,ya?坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則x,yx,y．

33

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面（tantan

?tantan1tantan）；

?tan

（tantan

tan1tantan）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

?sin22sincos．1sin2sin

2

cos2sincos(sincos)

34

22

?cos2cos

2

222

sin2cos112sin

升冪公式1cos2cos降冪公式cos

2

2

2

,1cos2sin

，sin

2

2

2

．

cos21

2

1cos2

2

?tan2

2tan1tan

:

2

．

萬能公式:2tan

α

1tan

2

α

26、半角公式

cos

α2

sinα

1cosα

2

;sin

α2

1cosα

2

2;cosα2α

1tan1tan

2

22α2

α

1αcostan21cosα

（后兩個(gè)不用判斷符號(hào)，更加好用）

27、合一變形把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的yAsin(x)B形式。

sincos

，其中tan

．

28、三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補(bǔ)，

互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對(duì)角的變形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是

2

的二倍；

2

是

4

的二倍；

②15

o

4530

oo

60

o

45

o

302

o

；問：sin

12

cos

12

；

③()；④

4

2

(

4

)；

⑤2()()(

4

)(

4

)；等等

（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄遥儺?/p>

名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：1sin

2

costancotsin90

2o

tan45

o

（4）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式

；。降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無理式cos常用升冪化為有理式，常用升冪公式有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：

1tan1tan

_______________；

1tan1tan

______________；

35

tantan__________tantan__________

__；1tantan____________；1tantan__________

_；_；

2tan；1tan2

tan20

o

tan40

o

3tan20tan40

oo

sincos；

asinbcos；（其中tan；）1cos；1cos；

（6）三角函數(shù)式的化簡運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規(guī)則是：見切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊值與特殊角的三角

函數(shù)互化。

如：sin50(1

o

3tan10)

o

tancot

高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，，則有(R為C的外接圓的半徑)

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

②sin

asin

bsin

csinC

2R

a2R

，sin

b2R

12

，sinC

12

2

c2R

；③a:b:csin:sin:sinC；

12

acsin．

3、三角形面積公式：S

C

bcsin

2

2

absinC

4、余弦定理：在C中，有abc2bccos，推論：cos

bca

2bc

222

（二）數(shù)列：

1.數(shù)列的有關(guān)概念：

（1）

數(shù)列：按照一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是有序的。數(shù)列是定義在自然數(shù)N*或它的有限子集{1,2,3,?,n}上的函數(shù)。

（2）

通項(xiàng)公式：數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式即是該數(shù)列的通項(xiàng)公式。如:

an2n1。

（3）

遞推公式：已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與他的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）可以用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式即是該數(shù)列的遞推公式。如:a11,a22,anan1an2(n2)。

2．?dāng)?shù)列的表示方法：

（1）（3）

列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n,an）孤立點(diǎn)表示。解析法：用通項(xiàng)公式表示。（4）遞推法：用遞推公式表示。

常數(shù)列:an36

遞增數(shù)列:an

按單調(diào)性

遞減數(shù)列:an擺動(dòng)數(shù)列:an

2

2n1,an2n

2

n

2

有窮數(shù)列

按項(xiàng)數(shù)

無窮數(shù)列

1

n

(1)2n

3．?dāng)?shù)列的分類：

4．?dāng)?shù)列{an}及前n項(xiàng)和之間的關(guān)系:

Sna1a2a3anaS1,(n1)

n

SnS

n1

2)

,(n

5．等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)比小結(jié)：

一、定義

等差數(shù)列

等比數(shù)列

anan1

q(n2)

anan1d(n2)

1．a(chǎn)na1n1d

1．a(chǎn)na1q

n1

二、公式

anamnmd,nm2．Sn

na1an

2

anamq

d

2．

nm

,(nm)

na1

nn12

Sn

na1q1

a11qnaanq

1

1q1q

2

q1

1．a(chǎn),b,c成等差2bac，

稱b為a與c的等差中項(xiàng)

三、性質(zhì)

則amanapaq

3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列

1．a(chǎn),b,c成等比bac，稱b為a與c的等比中項(xiàng)

*

2．若mnpq（m、n、p、q*），2．若mnpq（m、n、p、q），

則amanapaq

3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列

（三）不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0a⑧ab0

n

b

n

n,n1；

n,n1．

小結(jié)：代數(shù)式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差、化積（商）、判斷、結(jié)論。在字母比較的選擇或填空題中，常采用特值法驗(yàn)證。3、一元二次不等式解法：

（1）化成標(biāo)準(zhǔn)式：axbxc0,(a0)；（2）求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根；（3）畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；（4）根據(jù)不等號(hào)方向取出相應(yīng)的解集。線性規(guī)劃問題：

1．了解線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行域、可行解、最優(yōu)解

2．線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．3．解線性規(guī)劃實(shí)際問題的步驟：

（1）將數(shù)據(jù)列成表格；（2）列出約束條件與目標(biāo)函數(shù)；（3）根據(jù)求最值方法：①畫：畫可行域；②移：移與目標(biāo)函數(shù)一致的平行直線；③求：求最值點(diǎn)坐標(biāo)；④答；求最值；（4）驗(yàn)證。兩類主要的目標(biāo)函數(shù)的幾何意義:

①zaxby-----直線的截距；②z(xa)(yb)-----兩點(diǎn)的距離或圓的半徑；

2ab

4、均值定理：若a0，b

0，則ab

．a(chǎn)baba0,b0；

22

2

2

2

37

ab2

稱為正數(shù)a、b

的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．

5、均值定理的應(yīng)用：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

?若xys（和為定值），則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值

s4

2

．

?若xyp（積為定值），則當(dāng)xy時(shí)，和x

y取得最小值．

注意：在應(yīng)用的時(shí)候，必須注意“一正二定三等”三個(gè)條件同時(shí)成立。

選修1-1,1-2知識(shí)點(diǎn)

第一部分簡單邏輯用語

1、命題：用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.3、原命題：“若p，則q”逆命題：“若q，則p”否命題：“若p，則q”逆否命題：“若q，則p”4、四種命題的真假性之間的關(guān)系：

（1）兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

（2）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．5、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．

若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

利用集合間的包含關(guān)系：例如：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；

6、邏輯聯(lián)結(jié)詞：?且(and)：命題形式pq；?或（or）：命題形式pq；?非（not）：命題形式p.

pqpqpqp

真真假假

真假真假

真假假假

真真真假

假假真真

7、?全稱量詞——“所有的”、“任意一個(gè)”等，用“”表示；

全稱命題p：xM,p(x)；全稱命題p的否定p：xM,p(x)。?存在量詞——“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用“”表示；

特稱命題p：xM,p(x)；特稱命題p的否定p：xM,p(x)；

第二部分圓錐曲線

1、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓．即：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)。

這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距．2、橢圓的幾何性質(zhì)：

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

38

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

xa

22

ya

22

yb

22

1ab0

xb

22

1ab0

范圍

axa且bybbxb且aya

1a,0、2a,010,a、20,a1b,0、2b,0

頂點(diǎn)

10,b、20,b

軸長焦點(diǎn)焦距對(duì)稱性離心率

短軸的長2b長軸的長2a

F1c,0、F2c,0

2

2

F10,c、F20,c

2

F1F22ccab

關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱

e

ca

0e1

3、平面實(shí)軸的長2a

F1c,0、F2c,0

39

F10,c、F20,c

焦距對(duì)稱性離心