高中數(shù)學(xué) 3.2立體幾何中的向量方法（第1課時(shí)） 新人教A選修21

3.2立體幾何中的向量法(1)第三章空間向量與立體幾何——空間向量與平行、垂直的關(guān)系.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)由直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系及向量的運(yùn)算來判斷或證明直線、平面等的平行、垂直關(guān)系．通過復(fù)習(xí)空間向量的共線、共面定理進(jìn)行新課導(dǎo)入。學(xué)會(huì)根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，進(jìn)而分析、判斷、歸納結(jié)論，強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法例1與例2是關(guān)于平面的法向量問題；例3是證明兩個(gè)平面平行問題；例4是證明兩條直線平行問題；例5是證明直線與平面的平行問題，運(yùn)用了一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的思維的廣闊性。因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系．.研究

從今天開始,我們將進(jìn)一步來體會(huì)向量這一工具在立體幾何中的應(yīng)用.引入1、立體幾何問題(研究的基本對(duì)象是點(diǎn)、直線、平面以及由它們組成的空間圖形).引入2、思考1.如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置？2.在空間中給一個(gè)定點(diǎn)A和一個(gè)定方向（向量），能確定一條直線在空間的位置嗎？3.給一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向（向量），能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎？4.給一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向（向量），能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎？.lAP１．直線的方向向量直線ｌ的向量式方程換句話說,直線上的非零向量叫做直線的方向向量

方向向量與法向量.2、平面的法向量

AlP平面α的向量式方程換句話說,與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量.oxyzABCO1A1B1C1例1.

如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為___________平面OABC的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________平面AB1C的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)典例展示...變式1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個(gè)法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.XYZ設(shè)平面EDB的法向量為.

因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系.

用向量方法解決立體問題.ml（一）平行關(guān)系：證明平行與垂直...（二）、垂直關(guān)系lm.lABC.αβ.已知直線l與m相交,例3.用向量方法證明定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.

例4四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何法證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG在中，E，G分別為PC，AC的中點(diǎn).ABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG.ABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1證明：設(shè)平面EDB的法向量為.A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證：D1F例5正方體中，E、F分別平面ADE.

證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，所以.,E是AA1中點(diǎn)，例6正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是平面C1BD.

平面EBD.oxyzABCO1A1B1C11.如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為___________.平面OABC的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________.平面AB1C的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________.(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0).BB.

1．如何認(rèn)識(shí)直線的方向向量？空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)方向確定．在直線l上取點(diǎn)A和

，

可以作為l的方向向量，借助點(diǎn)A和

即可確定直線l的位置，并能具體表示出直線l上的任意一點(diǎn)．2．如何理解平