參考分析案例

一.多元函數(shù)積線面積分知識（按積分區(qū)域分類3.一.多元函數(shù)積線面積分知識（按積分區(qū)域分類積分區(qū) 積分區(qū)

一型：對弧

若：1.xOy平面上閉區(qū)域D由分段光滑的曲線LD2.在D上函數(shù)Px,y),Qx,yCD定積

曲線積

二型：對坐

則 PdxQdy(QP推 D Stokes公 其中L是D的整個正向邊界曲線二重積 曲面積

一型：對面 二型：對坐

特殊情況(D是復(fù)連通的)下，公式成為 PdxQdyPdxQdy(QP D (逆 (順三重積

公 若在D內(nèi)又有QP,則PdxQdyPdx (逆

(逆第Ⅰ型、第Ⅱ型曲線積分的比

曲線積標準形物理意計算方相似不同曲線積標準形物理意計算方相似不同第一(對弧長f(x,f(x,y,L指曲fx,y)fxy)ds表件的質(zhì)量Mytdsφ2(t)2(t積分下限<此處下限是,上限是第二(對坐標PdxPdxQdyL方向：從WPdx表示力FPdxφ(t)dtdy(t積分下限為起點At值上限為終點B的t值PdxQdy(PcosQcos其中xyx,y)為有向曲線弧Lx,y)處切向量的方向角例如橢圓Lxayb

,02A1

xdyy212

(abcos2absin2)d第Ⅰ型、第Ⅱ型曲面積分的比 4.平面曲線積分的四個等價命曲面積標準形物理意計算方第一曲面積標準形物理意計算方第一(對面積f(x,y,指空間fxyzfxyz)dS殼的質(zhì)量M設(shè)曲面：zzx,y)且在xOy面投影區(qū)域為D,則fx,yz)dSf[x,y,z(x,y)]1z2z2第二(對坐標Pdydz為有向曲表示在速度場曲面指定一設(shè)有向曲面：zzx,y),R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,在DPx,yQx,yC則下面的四個命題等價沿D內(nèi)任何一閉路L上的積分為零，

PdxQdy0曲線積

PdxQdy與路徑無關(guān)，只與起點A與終點B有關(guān)

0Pyx在 成立40在Dux,y使duPdxQdy等價的意義是：若其中一個成立，另外三個也5.公式

解決曲面積分與三重積分的聯(lián)系問題 積分概念的聯(lián)fM)d ffM)d fM)fM)點函1在?上函數(shù)Px,yz),Qx,yzRx,yzC則 (PQR)dVPdydzQdzdx 定積 當R上區(qū)間[a,b]時 (PcosQcosRcos

f(M)df(其中是的整個邊界曲面的外側(cè) 二重積 當R2上區(qū)域D時Dcos,cos,cos是在點(x,y,z)處外法向的方向余弦 f(M)df(x,y)dDStokes 解決曲線積分與曲面積分的聯(lián)若：1.Γ為分段光滑的空間有向

問題

曲線積 當R2上平面曲線L時 f(M)df(x,是以Γ為邊界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向與的側(cè)符合右手法則

三重積

當R3上區(qū)域時2.在包含曲面函數(shù)Px,yz),Qx,yzRx,yzC1

f(M)df(x,y,R P Q 曲線積 當R3上空間曲線時(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdyPdxQdy f(M)d f(x,y,或記

PdxQdyRdz

曲面積

當R3上曲面S時

f(M)df(x,y, 曲線積分和曲面積分的應(yīng)用:填空已知變FPx,y)iQx,yj，則F沿平面有向曲線CWPdx點A到點B所作的功

y(xfx,y)d[fx,y)dy]dx,(d面元素若變力FPx,yz)iQx,yzjRx,yz)k，則F沿空

y1(xDWPdxQdy

by(x

z(x,y曲線C從點A到點B所作的功

f(x,y,z)dVdx

dy

fx,yz)dz,(dV體元素若流速VPx,yz)iQx,yzjRx,yz)k

y1(x z1(x,ybΦPdydzQdzdx單位時間內(nèi)流過曲面的流量

Lf(x,y)ds

fxyx)]1y2dx,(ds線元素(曲b已知平面曲線xx(t),yy(t)(t)上任一點的密 f(x,y)dxf[x,y(x)]dx,(dx線元素(投影b 為xy),

M [x(t),y(t)]x(t)y(t)dt fx,yz)dS fxyzx,y)]1z2z 場論 gradu

(dS面元素(曲R(x,y,z)dxdyf[x,y,z(x,

梯 xiyjz通量PdydzQdzdx

(dxdy面元素(投影

散 divAPQ其中LPdxQdyL(PcosQcos PdydzQdzdx 環(huán)流量PdxQdy 旋 P Q(PcosQcosRcos

rotA(yz)i(zx)j(xyuf(xyzC2求div(gradu).div(gradu)fff定積分與不

Green公式,Guass公式,Stokes公式ff(x)dxF(b)F (F(x)f(PdxQdyPdxQdy(QxQdxPdy( PxAM)為平面推推PdxQdyRdzdydzdzdxdxdy xy(An)dsdivAdS(rotAn二重積分與曲線積分的QP)dxdy PdxQdy(沿L的正向 公三重積分與曲面積分的

單項選擇(1)L為曲線yx從點A(1,1)到B(0,0)xdyC z)dv PdydzQdzdxP R (A)xdy (B) (C)2x曲面積分與曲線積分的

(2)L是圓域(x1)(y4)9按順時針方向的邊界曲線，則(yx)dx(3xy)dyB. ( )dydz ( )dydz dzdx ( ( PdxQdyS是xyzR的下半球面的下側(cè)，則IzdxdyB(A)d

Rd (B)d

R(C)d Rd (D)d R計算題xy)ds，L是以原點為圓心的單位圓介于點A(1,0B(0,1)之

1(zx2y2dS，是曲面zxy介于0z4 的劣弧AB與連接點B,C(1,2)的直線段BC組成的分段光滑曲線

型曲面積:zx型曲面積I (xy)ds(xy)ds(x I4dz1z2z2dxdy1x2y24y1y1x2yysin其中A⌒Bysin

Iy

(1

x2yz

)dS

A(–1,0)

dsx2(t)y2(t)dt x2y2其中：D:z 用平面極坐2 BC:yx2 11r ds1y2(x)dx2 I2d rdr2d 1r2d(1r2(xy)ds

π(costsint)dt

3212dx2 π(1r2)2

13

0 xy2.1dx1dy，L是曲線yx2上從點A(1,1)到B(2,4)的有向弧段 xydydz，是曲面z (0zh)上側(cè)的xyL I與直線y4上從點B到C(1,4)的線段BC組成的有向分段光滑曲線I

解類型：II型曲面積 由第一卦限和第二卦限中的錐面和構(gòu)成hz2hz2 2:x

其上側(cè)在yOz平面的投影為負z2其上側(cè)在yOz平面z2 2(112x)dx1

1x 2 z=z=

z2y2ydydzz2z2y

z2y2) 2

2

D圖形

2x1

y2dzyz2y2也可以用也可以用下面的方法

也可以用下面的也可以用下面的方法6方xy 1dx1dy，L是曲線yx2上從點A(1,1)到B(2,4)的有向弧段 xydydz，是曲面z (0zh)上側(cè)方xyL

貼補， 公式與直線y4上從點B到C(1,4)的線段BC組成的有向分段光滑曲線 解類型：II貼補， 公式型曲線型曲線積

需貼補側(cè)面（右側(cè)）和半圓頂面（下側(cè)o (11oyx yx 4

dvdy(2

2

(y2y2y2

y(h

x2y2

Dxy圖形 極坐標sindr2hr)dr 31dx1dy3

4CA

又因xydydz

xydydz

xydydz6 1 i 設(shè)有平面力場F4x(y4x(y1)j，力場的點M在場力F的作用下，沿著圓周xy4的逆時 I{1[f(x,y,z)3方向運動一周，試求場力F1的功 3 W

dx 4x2(y 4x2(y [2f(x,y,z)y] [f(x,y,z)3 333CoP 1Co4x(yP

Q 4x(y

(xy因

x對xy(0,1)成 取曲線C4x2y1)21 其參數(shù)式,Cx2cosy1sin

0t 3D3D

3dxdy2W11sint1sint π

cost 求流速場A(x3R)i(y3R2)j(z3R3)k通過上半 求力F(y,z,x)沿有向閉曲線所作R2x2y面z (R0)的上側(cè)的流量Φ 功,其中為平面x+y+zR2x2y 角形的整個邊界,從z軸正向看去沿順時針方向 ΦxR)dydzyR)dzdx(zR 提示:方法 ΦV

3(xyz W

ydxzdyxd

yd2dφ3r2r2sinφ

利用對 6π

ydxzdyR3dxdyR3dxdyπ xd

6π

11πR5

31(1z)dzΦ

πR 方法2利 公 計 設(shè)三角形區(qū)域為,方向向上,I[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)

W

ydxzdyxdfxyzz]dxdyfxyz為連續(xù)函數(shù)

1ox為平面xyz1在第四卦限部分的上側(cè) 1oxn解利用兩類曲面積分之間的關(guān)n

的法向量為n1cos1,cos1,cos 1

(3)d 3dxdy 計

I (x2ydxy2x)dy其中L是沿L

I

(xy)2z22yzdS時針方向以原點為中心,a為半徑的上半圓周 中是球面x2y2z22x2z解法1令Px2y,Qy2x, 解 I(x2y2z2)2xy2yzQ1

(2x2z)dS2(x 用重心公利用對稱這說明用重心公利用對稱I

(x2y)dx(y2 A

2(xz)dSax2dx2 解法2添加輔助線段BA,它與L所圍區(qū)域為D, 11.設(shè)L是平面xyz2與柱面xy1的交I (x2ydxy2xd z軸正向看去,L為逆時針方向,計BDBDAx(x2y)dx(y2x)d I(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2a 2

a解為平面xyz2L所圍部分的上側(cè)aD0dxd

dx3 (利 公式 D為在xoy面上的投影. 公思考若L改為順時針方向,如何計算下述積分

I

3 dLI1L

(x23y)dx(y2x)d

y2z 2z2

3x2yL同例2,如何計算下述積分I2L(x2yy2)dx(y2x)d

(4x2y思考題解答 I2(4x2yI1L(x23y)dx(y2x)d

:xyz2,(x,y)DyoD1D的形DyoD1D的形L

A D:xy2dxdy2a3a2(2a (xy6) LI2(x2yy2)dx(y2x)d 12L(x2y)dx(y2x)dy

y2

L:xacost,yasint,t:0Ia3sin3tdt2a32a321 計算曲線積

(x2y2z2ds,其中

當(0,0)D時在D內(nèi)作圓周lx2y2r2,取逆線xacost,yasint,zkt(0t2)的一段弧 針方向,記L和lˉ所圍的區(qū)域為D1,對區(qū)域D1應(yīng)用解:(x2y2z2) 林公式,2

[(acost)2(asint)2(kt)2

xdyydx Lx xdy

x2y2

Ll

x2

2 k23 xdyydxxdy0akat3t Lx2y lx2y03

a2k2(3a242k2

0

r2cos2r2sin2r

d計 y2dx,其中L 15.設(shè)質(zhì)點在力場Fk(y,x)作用下沿曲線LBA r BA半徑為a圓心在原點

y2cosxA0,2)移動到B(2,0)求力場所作的功x2y上半圓周,方向為逆時針方向 x2y從點A(a,0)沿x軸到點B(–a,0). 其中r k(ydxxdy)解:(1)取L的參數(shù)方程為xacost,yasint,t:0 解:WLFdsLr

y2dxa2sin2t(asint)d0

Pky,Qkx,則r r

B 3

4

sintdt2a

1 Pk(xy) (x2y20(2)取L的方程為y0,x:aa, r y2dxa0dx

可見 在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān) 計算xdyydx,其中L為一無重點且不過原 取圓弧AB:xcos,ysin(:0Lx2y 的分段閉曲線

W k(ydxxd解P

,Q x2y x2y

ABr k0(sin2cos2)則當x2y20時,Q y B (x2y2 設(shè)L所圍區(qū)域為D,當(0,0)D時,由公式 xdyydx Lx

思考積分路徑是否AOOB為什么無關(guān)!設(shè)gradu(x,y)(x44xy3,6x2y25y4),求u(x, 19. :x2y2z2a2(z0),1為在設(shè)提示:du(x,y)(x44xy3)dx(6x2y25y4) 一卦限中的部分,則有( u(x,y)(x,y)(x44xy3)dx(6x2y25y4)dy

(A)xdS4xdSxx4dxy(6x2y25y4)dy (B)ydS41xdS 1x52x2y3y5 5

zdS

xdS(x, (D)xyzdS(x, 設(shè)C為 x2y2a2從點(0,a)依逆時 20.已知曲面 z3(x2y2)的面密y2到點(0,a)的半圓,計 x2y2z,求此曲面殼在平面z＝1以上部分y2 dxax2yln(xa2x2)質(zhì)量MC解:添加輔助線如圖,利 公式 解:在xoy面上的投影為Dxy:x2y22,1414r

M

dS

14(x2y2)dC 2

2 dxd

Dxa2a2

Da(2ylna)d

a2x2 0

d

d12

68

14r2d(14r2)質(zhì)點M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運動 21.計算曲面積分(z2x)dydzzdxdy,其中點B(3,4),在此過程中F作用F的大小等M銳角,求變力F對質(zhì)點M所作的功.(90考研)

旋轉(zhuǎn)拋物面z1(x2y2介于平面z=2y2z=2之間部分的下側(cè)2y2解:利用兩類曲面積分的聯(lián)系,解:由圖知F(y,x),故所求功 (z2x)dyd W Fds

ydxxd

(z2x)cos (ydxxd M(x, AB

(z2x)cosdxd

dxdy

12

zdxd 2

y243(x ∴原式 (3

x)(11

I2(xyz)dxdydz

h2dxdz2(xy代入

原式

1(x2y2)24

利用重心公式注意xy2y1(x2y2)dxd 2y

zdxdydz

x21(x2y2)d 2hzz2dz02d

2

1

111

2r)r 設(shè)為曲面z2x2y2,1z2取上側(cè),求 24.利用 公式計算積分zdxxdyydzI(x3zx)dydzx2yzdzdxx2z2dxd 其中為平面x+y+z=1被三坐標面所截三角形的整解:作取下側(cè)的輔

邊界,方向如圖所示 zo11xzox111:z1(x,yDxy:x2y2 解o11xzox111I

zdxxdyyd用極坐用極坐

用柱坐dxdydz(1)(x2)dxd 用柱坐

dydx

dzdy

dxdzd d

1r3d 0d dz

cosd

dydzdzdxdxdy

dxdy2 利用對稱利用Gauss公式計算積 25.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且于零I (x2cosy2cosz2cos)d f(x2y2z2)d

F(t)

(t D(t其中為錐面x2y2z2介于z=0 1 f(x2y D(tz=h之間部分的下側(cè)解:作輔助

2

G(t)

D(tt

f(x2y2)f(x2)d1:zh,(x,y)Dxy:x在1上在1上

h,取上 其 (t){(x,y,z)x2y2z2tD(t){(x,y)x2y2tI(