D5-1 數(shù)學(xué)模型(泛定方程)的建立

第二篇數(shù)學(xué)物理方程IsaacNewton（英，1643-1727)任何事物都是越簡單越好，但是太簡單也不好AlbertEinstein（美，1879-1955)想要探索自然界的奧秘就得解微分方程2023/2/41第五章數(shù)學(xué)物理方程和定解條件的導(dǎo)出在數(shù)學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬?！绽?023/2/42一、數(shù)學(xué)物理方程(泛定方程):物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示

物理現(xiàn)象物理量u

在空間和時間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個地點和各個時刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)語言描述泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無關(guān)。數(shù)學(xué)物理方程：從物理問題中導(dǎo)出的函數(shù)方程，特別是偏微分方程和積分方程。重點討論：二階線性偏微分方程。例：牛頓第二定律反映的是力學(xué)現(xiàn)象的普遍規(guī)律，跟具體條件無關(guān)。2023/2/43三類典型的數(shù)學(xué)物理方程三類典型的數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程擴散方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程2023/2/4451邊界問題---邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件2歷史問題----初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為初始條件例：一個物體做豎直上拋，一個物體斜拋。不同的初始條件→不同的運動狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。三、定解問題

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的特殊性，即個性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問題的共性。二、定解條件2023/2/456具體問題求解的一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律．2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須的已知條件．3、求解方法——

行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法和變分法2023/2/465.1數(shù)學(xué)模型（泛定方程）的建立建模步驟：（1）明確要研究的物理量是什么？從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？（3）按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。2023/2/47

(一）均勻弦橫振動方程

現(xiàn)象描述（如圖）

：沿x軸繃緊的均勻柔軟的細弦，在平衡位置(x軸)附近產(chǎn)生振幅極小的橫向振動

目的：建立與細弦上各點的振動規(guī)律相應(yīng)的方程

設(shè)定:

(1)弦不振動時靜止于x軸;

(2)用u(x,t)表示t時刻弦上任一點x在垂直于x軸方向上的橫向位移（偏離）情況弦的橫振動2023/2/48

選取不包括端點的一微元[x,x+dx]弧B段作為研究對象.研究對象:(4)設(shè)單位長度上弦受力F(x,t)，線力密度為：假設(shè)與近似：(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向的夾角1和2

很小，僅考慮1和2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略質(zhì)量線密度，u(x)u+duu012T2T1xx+dxFB2023/2/49B段弦的原長近似為dx.振動拉伸后：u(x)u+duu012T2T1xx+dxBFB段的質(zhì)量：弦長dx

，質(zhì)量線密度，則B段質(zhì)量

m=dx物理規(guī)律：用牛頓運動定律分析B段弦的受力及運動狀態(tài)：牛頓運動定律：2023/2/410①沿x-方向：弦橫向振動不出現(xiàn)x方向平移，得力平衡方程②沿垂直于x-軸方向：由牛頓運動定律得運動方程在微小振動近似下：由（1）式，弦中各點的張力相等u(x)u+duu012T2T1xx+dxBF（1）（2）2023/2/411波動方程：波速a受迫振動方程單位質(zhì)量弦所受外力，線力密度令………一維波動方程2023/2/412………一維波動方程------非齊次方程------齊次方程忽略重力和外力作用：如考慮弦的重量：u(x)u+uu012T2T1xx+xBF沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向（1）（2）因為：所以有：討論：2023/2/413電磁波傳播方程

(1)通過任一閉合曲面的電場強度等于這一閉合曲面所包圍的電荷量的代數(shù)和的（M1）（2）通過任何一閉合曲面S的磁通量為零.(M2)(3)電場強度沿任一閉合曲線l的積分等于以該曲線為邊界的任意曲面S的

磁通量對時間變化率的負值（M3）2023/2/414（4）磁感應(yīng)強度沿任一閉合曲線l的積分等于穿過以此曲線為邊界的曲面S的全電流,(M4)(M1)-(M4)真空中麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式.2023/2/415電磁波傳播方程

2023/2/416（二）輸動問題--擴散問題擴散現(xiàn)象：系統(tǒng)的濃度

不均勻時，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處向低濃度處轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象，稱之為擴散。①擴散定律即裴克定律：這是一條實驗定律數(shù)學(xué)建模：建立空間各點濃度u(x,y,z,t)的方程

物理規(guī)律：以擴散定律和粒子數(shù)守恒定律為研究基礎(chǔ)②粒子數(shù)守恒定律：單位時間內(nèi)流入某一體積的粒子數(shù)與流出這一體積的粒子數(shù)之差等于此體積內(nèi)的單位時間內(nèi)粒子數(shù)的增加量處理方法：在濃度不均勻的無源空間，劃出任一小立方體V為研究對象，分析濃度變化規(guī)律。

2023/2/417濃度不均勻:用濃度梯度

表示；擴散流強弱（強度）：用單位時間通過單位面積的物質(zhì)的量表示；擴散（裴克）實驗定律：擴散系數(shù)設(shè)定：處理方法：在濃度不均勻的無源空間，劃出任一小立方體V為研究對象，分析濃度變化規(guī)律。

擴散流強度與濃度梯度間關(guān)系：采用裴克實驗定律確定體元Ｖ內(nèi)粒子數(shù)：2023/2/418考察沿x-方向擴散流情況：單位時間沿x-方向凈流入量同理沿y和沿z方向凈流入量由粒子數(shù)守恒定律，有負號表示擴散方向與濃度梯度方向相反單位時間內(nèi)向V的凈流入量下面由粒子數(shù)守恒定律建立V內(nèi)粒子數(shù)變化規(guī)律。單位時間內(nèi)V內(nèi)粒子數(shù)的增加量2023/2/419如果擴散是均勻的,即D是一常數(shù)，則可以令D=a2，則有代入擴散定律三維擴散方程

如果所研究的空間存在擴散源，源強度與u(x,y,z,t)無關(guān)，且為F(x,y,z),這時擴散方程修改為如果所研究的空間存在源，源強度與u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)這時擴散方程修改為討論：2023/2/420密度場：密度在空間的分布構(gòu)成一個標量場。有擴散源時系統(tǒng)的密度場滿足非齊次擴散方程穩(wěn)定狀態(tài)：密度u不隨時間變化，則泊松方程無擴散源：

F=0拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程:穩(wěn)定場問題2023/2/421靜電場電勢問題。介質(zhì)方程:其中:高斯定理:環(huán)路定理:

物理規(guī)律：由電磁學(xué)可知，靜電場滿足靜電學(xué)高斯定理、環(huán)路定理和介質(zhì)方程。數(shù)學(xué)建模：建立電勢u(x,y,z)與電荷密度ρ(x,y,z)的關(guān)系。由電場的高斯定理

物理問題：在介電常數(shù)為ε的介質(zhì)空間，存在電荷分布ρ(x,y,z)