平穩(wěn)過(guò)程的譜密度

平穩(wěn)過(guò)程的譜密度2/5/20231第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日主要內(nèi)容一、平穩(wěn)過(guò)程的（自）譜密度及性質(zhì)二、平穩(wěn)過(guò)程的互譜密度及性質(zhì)三、譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系四、傅立葉變換的性質(zhì)2/5/20232第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日譜密度的概念在物理學(xué)中，信號(hào)通常是波的形式，例如電磁波、隨機(jī)振動(dòng)或者聲波。當(dāng)波的頻譜密度乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)南禂?shù)后將得到每單位頻率波攜帶的功率，這被稱(chēng)為信號(hào)的功率譜密度（powerspectraldensity,PSD）或者譜功率分布（spectralpowerdistribution,SPD）。功率譜密度的單位通常用每赫茲的瓦特?cái)?shù)（W/Hz）表示，或者使用波長(zhǎng)而不是頻率，即每納米的瓦特?cái)?shù)（W/nm）來(lái)表示。2/5/20233第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日一、平穩(wěn)過(guò)程的（自）譜密度定義3.5設(shè)是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，如果含參變量的廣義積分

存在，那么，稱(chēng)為平穩(wěn)過(guò)程的（自）譜密度2/5/20234第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日維納-辛欽公式證明了如下結(jié)果：當(dāng)相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，即時(shí)，存在，且相關(guān)函數(shù)

這表明譜函數(shù)是相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，而是的傅立葉逆變換.2/5/20235第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

通常記作對(duì)于平穩(wěn)序列，（自）譜密度定義為容易看出上式右端是一個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)。2/5/20236第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日赫爾格洛茨證明了如下結(jié)果：當(dāng)相關(guān)函數(shù)滿足時(shí)，存在（即上述傅立葉級(jí)數(shù)收斂），且相關(guān)函數(shù)2/5/20237第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.11設(shè)是一個(gè)離散白噪聲時(shí)間序列。例3.5中已經(jīng)證明了是一個(gè)平穩(wěn)序列，且相關(guān)函數(shù)于是，譜密度這個(gè)譜密度是常數(shù)，即平穩(wěn)序列的譜密度在各個(gè)頻率上具有相同的分量，由于物理上白光的譜為常數(shù)，因此，稱(chēng)為白噪聲（序列）。2/5/20238第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.12設(shè)是一個(gè)離散白噪聲的滑動(dòng)和。例3.6中已經(jīng)證明了是一個(gè)平穩(wěn)序列。為了方便，我們記求的譜密度。2/5/20239第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日定理3.5（譜密度的性質(zhì)）設(shè)是平穩(wěn)過(guò)程的譜密度，（i）是取非負(fù)實(shí)數(shù)值的偶函數(shù)，即

（ii）（iii）巴塞伐等式2/5/202310第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

譜密度的引入使得對(duì)平穩(wěn)過(guò)程相關(guān)理論的研究不再局限于時(shí)間域內(nèi)，它可以同時(shí)也在頻率域內(nèi)進(jìn)行，傅立葉變換提供了兩者之間轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)工具。下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明兩者之間的相互換算。2/5/202311第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.13設(shè)平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)其中，常數(shù)a>0.由定理3.5（ii）得到的譜密度2/5/202312第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.14設(shè)平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)其中，常數(shù)a>0.易見(jiàn)當(dāng)常數(shù)時(shí)，即是例3.13。由定理3.5（ii）得到的譜密度2/5/202313第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日在電子技術(shù)中，常常遇到脈沖現(xiàn)象。這類(lèi)現(xiàn)象不能用普通函數(shù)來(lái)描述，需要引進(jìn)廣義函數(shù)。定義3.6如果函數(shù)滿足那么稱(chēng)函數(shù)為狄拉克函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為函數(shù)。2/5/202314第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日15引入函數(shù)借助函數(shù)，將任意直流分量和周期分量在頻率點(diǎn)上無(wú)限值用函數(shù)表示。其傅立葉變換2/5/202315第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)不是通常意義下的函數(shù)，但可以把它看成是下列矩形波的極限，記其中a>0。不妨認(rèn)為通常把用長(zhǎng)度為1的有向線段來(lái)表示（見(jiàn)表3.1）。函數(shù)的一般形式是，它是的復(fù)合函數(shù)。對(duì)任意一個(gè)連續(xù)函數(shù)，必定滿足2/5/202316第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日下面對(duì)這個(gè)公式作一個(gè)直觀解釋?zhuān)涸O(shè)

由積分中值定理推得：2/5/202317第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日

今后，我們?cè)试S平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與譜密度（包括傅立葉變換及其逆變換）可以取作函數(shù)。必要時(shí)，還可以有形如的相關(guān)函數(shù)與譜密度，容易看出，它是m個(gè)函數(shù)的線性組合。2/5/202318第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.15設(shè)平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)，其中常數(shù)

的譜密度

這個(gè)譜密度為常數(shù)。譜密度為常數(shù)且具有零均值的平穩(wěn)過(guò)程稱(chēng)為白噪聲過(guò)程。這是一個(gè)連續(xù)白噪聲，不同于3.5中給出的離散白噪聲。白噪聲過(guò)程是一種理想化的數(shù)學(xué)模型。2/5/202319第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.16設(shè)平穩(wěn)過(guò)程的譜密度

的相關(guān)函數(shù)2/5/202320第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2/5/202321第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日引理3.1傅立葉變換及其逆變換具有下列性質(zhì)：（i）線性性質(zhì)當(dāng)是常數(shù)時(shí)，（ii）位移性質(zhì)當(dāng)是常數(shù)時(shí)，2/5/202322第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.17設(shè)平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)

求的譜密度例3.18設(shè)平穩(wěn)過(guò)程的譜密度求的相關(guān)函數(shù)2/5/202323第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日有理譜密度的一般形式：

分子分母無(wú)實(shí)根，無(wú)公共根。對(duì)于有理譜密度，求相關(guān)系數(shù)可用待定系數(shù)法把譜密度分解成若干部分分式之和。2/5/202324第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日例3.19設(shè)平穩(wěn)過(guò)程的譜密度

求其相關(guān)函數(shù)2/5/202325第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日由于實(shí)際頻率不取負(fù)值，因此給出單邊譜密度的定義：利用只有正頻率部分的單邊功率譜，定理3.5（ii）可以寫(xiě)成：2/5/202326第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2/5/202327第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日定義3.7設(shè)是兩個(gè)平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過(guò)程，互相關(guān)函數(shù)為稱(chēng)為平穩(wěn)過(guò)程的互譜密度。與（自）譜密度相似，2/5/202328第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日用傅立葉變換及其逆變換來(lái)表示：由于互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)不同，因此，互譜密度與自譜密度也有很大差異。一般情況下，互譜密度取復(fù)數(shù)值，也不再是偶函數(shù)。這里都可以取函數(shù)2/5/202329第二十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日定義3.6（互譜密度的性質(zhì)）設(shè)是兩個(gè)平穩(wěn)相關(guān)的平穩(wěn)過(guò)程的互譜密度，（i）（ii）（iii）2/5