D11-2數(shù)項級數(shù)及審斂法

二、交錯級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二章一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1.

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù)

.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”機動目錄上頁下頁返回結(jié)束都有定理2(比較審斂法)設且存在對一切有(1)若大級數(shù)則小級數(shù)(2)若小級數(shù)則大級數(shù)證:設對一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示小級數(shù)和大級數(shù)的部分和,則有是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性,故不妨機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)若大級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若小級數(shù)因此這說明大級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,小級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

討論p

級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束因為當故考慮強級數(shù)的部分和故大級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,2)若機動目錄上頁下頁返回結(jié)束調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明級數(shù)發(fā)散.證:

因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當

l=

0

(3)當

l=∞

設兩正項級數(shù)滿足(1)當0<l<∞

時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束是兩個正項級數(shù),(1)當時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)(2)當且收斂時,(3)當且發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的斂散性.～例3.

判別級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4

.

比值審斂法(D’alembert

判別法)設為正項級數(shù),且則(1)當(2)當時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

當時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.例5.

討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設為正項級則數(shù),且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足機動目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理7.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證:

設根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)令因此收斂,絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.利用正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz判別法:則交錯級數(shù)收斂概念:絕對收斂條件收斂