平面一般力系4

第三章平面一般力系◆課節(jié)3–1平面一般力系平衡方程◆課節(jié)3–2固定端約束均布荷載求力矩◆課節(jié)3–3物體系統(tǒng)的平衡◆課節(jié)3–4考慮摩擦時構件的平衡◆課節(jié)3–1平面一般力系平衡方程1.平面匯交力系

平面匯交力系總可以合成為一個合力FR

。2.平面力偶系

平面力偶系總可以合成為一個合力偶,其合力偶矩等于各分力偶矩的代數和。

3.力線平移定理

力向作用線外任一點平移，得到一個平移力和一個附加力偶。平移力與原力大小相等，附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。OF3F2F1FR12FRM1M2M3MR=AdBF'M'

=FdBAFd舊課復習：△O一、平面一般力系的簡化=

◆課節(jié)3–1平面一般力系平衡方程

1.主矢FR主矢的大小等于原力系中各分力在坐標軸投影代數和的平方和再開方,作用在簡化中心上,其大小和方向與簡化中心的選取無關。OF3F2F1CBA簡化中心

F3F'2F'1M1M2M3=OFRM0

2.主矩M0結論：主矩的大小等于各分力對簡化中心力矩的代數和。其大小和方向與簡化中心的選取有關。

平面一般力系向平面一般點簡化,得到一主矢FR‘和一主矩Ｍ0

△3.簡化結果的討論例3-1

圖示物體平面A、B、C三點構成一等邊三角形，三點分別作用F力，試簡化該力系。

1）FR≠0Ｍ0≠0主矢FR和主矩ＭO也可以合成為一個合力FR。FABC

解：1.求力系的主矢2.選A點為簡化中心，求力系的主矩

簡化結果表明該力系是一平面力偶系。

2）FR≠0Ｍ0=0

主矢FR就是力系的合力FR。

3）FR=0Ｍ0≠0

力系為一平面力偶系。在這種情況下,主矩的大小與簡化中心的選擇無關。

4）FR=0Ｍ0=0力系處于平衡狀態(tài)。

FFxyM0二、平面一般力系的平衡方程

1.平衡條件2.平衡方程

為使求解簡便，坐標軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點（或交點）上。

平面一般力系平衡的必充條件為FR=0Ｍ0=0。即三、應用舉例

例3-2

圖示桿件AB,

在桿件上作用力F,集中力偶M0=Fa,求桿件的約束力。解：1.取AB為研究對象畫受力圖

2.建立坐標系列平衡方程aaaFABM0FABM0FBxyFAxFAy

例3-3

圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，試求桿件AB的約束力。

解：1.取AB桿為研究對象畫受力圖2.列平衡方程求約束力aaABDFCM0=FaaaFBACM0=FaFAxFCFAy

例3-4圖示管道架設在三角支架上，已知小管作用于支架的荷載為F；大管為2F。試求A端支座的約束力和CD桿所受的力。

解：1.取AB桿為研究對象畫受力圖。2.列平衡方程求約束力

FD即為CD桿所受的力，F(xiàn)D指向D鉸，說明CD桿受壓力。FAx為負值，表明其實際指向與受力圖指向相反。

本課節(jié)小結主矢的大小等于原力系中各分力在坐標軸投影代數和的平方和再開方,作用在簡化中心上。主矩的大小等于各分力對簡化中心力矩的代數和。一、平面一般力系的簡化平面一般力系向平面任意點簡化,得到一主矢FR‘和一主矩Ｍ0

1.平衡條件

平面一般力系平衡的必充條件為FR=0Ｍ0=0。二、平面一般力系的平衡方程

2.平衡方程

為使求解簡便，坐標軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點（或交點）上。

課后作業(yè)：《建筑力學練習冊》練習六一、平衡方程的其它形式

◆

課節(jié)3–2固定端約束均布荷載求力矩例3-5

圖示支架由桿AB、BC組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F力，集中力偶M0=Fa，=30°，試求桿件AB的約束力。aaACFBM0解：1.取AB桿為研究對象畫受力圖aaFABCM0FAxFBFAy

2.平衡方程求約束力一矩式二矩式三矩式△圖

(a)所示的鋼筋混凝土柱與基礎現(xiàn)澆在一起；圖

(b)所示鋼筋混凝土立柱雖然與基礎沒有現(xiàn)澆，但立柱與杯形基礎之間用細石混凝土緊密填實的，則柱的下端是不能轉動的；圖

(c)所示的鋼柱與基礎用底腳螺栓連接。對圖

(a)、b)、(c)所示的支座都可簡化成圖

(d)所示的固定端支座。

圖示陽臺，既不允許外伸陽臺相對固定端的隨意移動，又不允許其繞固定端隨意轉動。這些實例簡化的平面力學模型，稱為平面固定端約束。

平面固定端約束有兩個約束力FAx、FAy和一個約束力偶矩ＭA。

FAxFAyMA二、平面固定端約束FAxFAyMA三、均布荷載

荷載集度為常量的分布荷載稱為均布荷載。

xABqlO在構件一段長度上作用均布荷載q(N/m),1.均布荷載的合力FQFQl/2

2.均布荷載求力矩：

由合力矩定理可知，均布荷載對平面上任意點O的力矩等于其合力FQ與分布長度中點到矩心距離的乘積，即

M0(ql)=ql·(x+l/2)

均布荷載的合力FQ的大小等于均布荷載集度q與其分布長度l的乘積，即FQ=ql應用舉例

例3-6

圖示為懸臂梁的平面力學簡圖。已知梁長為2l，作用均布荷載q，作用集中力F=ql和力偶M0=ql2,求固定端的約束力。ABqllFM0qABllFM0FAxFAyMA解：1.取AB為研究對象畫受力圖2.平衡方程求約束力

例3-7

圖示為外伸梁的平面力學簡圖。已知梁長為3a，作用均布荷載q，作用力F=qa/2和力偶M0=3qa2/2,求AB梁的約束力。解：1.取AB為研究對象畫受力圖DaqABaaM0CFaaaDABCM0qFFDFAxFAy2.平衡方程求約束力

例3-8

圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在CB上作用均布荷載q，M0=qa2，=45°，試求桿件AB的約束力。

解：1.取AB為研究對象畫受力圖qM0aaABDCqM0aaDCBAFAxFCFAy

2.列平衡方程求約束力

本課節(jié)小結一、平衡方程的其它形式

平面固定端約束有兩個約束力FAx、FAy和一個約束力偶矩ＭA。二、平面固定端約束

1.均布荷載的合力FQ

均布荷載的合力FQ的大小等于均布荷載集度q與其分布長度l的乘積，即FQ=ql三、均布荷載一矩式二矩式三矩式

2.均布荷載求力矩：

均布荷載對平面上任意點O的力矩等于其合力FQ與分布長度中點到矩心距離的乘積，即

M0(ql)=ql·(x+l/2)

。

課后作業(yè)：《建筑力學練習冊》練習七舊課復習

◆課節(jié)3–3物體系統(tǒng)的平衡

1.平面匯交力系

2.平面力偶系

3.平面平行力系

4.平面一般力系

平面匯交力系有一組二個獨立的平衡方程，解出二個未知數。

平面力偶系有一個獨立的平衡方程，解出一個未知數。

平面平行力系有一組二個獨立的平衡方程，解出二個未知數。

平面一般力系有一組三個獨立的平衡方程，解出三個未知數。

△一、靜定與超靜定問題的概念

◆課節(jié)3–3物體系統(tǒng)的平衡1.靜定問題

未知數的個數少于或等于獨立平衡方程個數時，全部未知數可由獨立平衡方程解出，這類問題稱為靜定問題。2.超靜定問題

未知數個數多于獨立平衡方程個數時，全部未知數不能完全由獨立平衡方程解出，這類問題稱為超靜定問題。靜定問題超靜定問題超靜定問題靜定問題靜定問題超靜定問題超靜定問題二、物體系統(tǒng)的平衡問題1.物系工程結構都是由若干個構件通過一定約束聯(lián)接組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱為物系。2.外力和內力

系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)的作用力稱為物系外力，系統(tǒng)內部各構件之間的相互作用力稱為物系內力。

3.物系平衡

物系處于平衡，那么物系的各個構件都處于平衡。因此在求解時，既可以選整個物系為研究對象；也可以選單個構件或部分構件為研究對象。

例如求圖示結構中AB、BC桿的約束力。

BCAFFFFBACFBxFByF'BxF'ByFAxFAyFCyFCxBFFACFAxFAyFCyFCx例3-9圖示為一靜定組合梁的平面力學簡圖。已知l=2m,均布荷載q=15kN/m，力偶M0=20kN·m,

求A、B端約束力和C鉸鏈所受的力。

解：1.分別取AC、CB畫受力圖lll/2AM0qBCll/2M0qBCFCyFBFCxlACF'CxF'CyFAxFAyMA

2.對CB

3.對AC例3-10圖示為一橋梁桁架的平面力學簡圖，已知F、a和=45°。試求1、2、3桿所受的力。

解：1)取桁架整體畫受力圖列方程得

FA=F/3ＭB(F）=0-FA×6a+F×2a=02)用截面將桁架1、2、3桿截開，畫左半受力圖,列平衡方程得ＭCF）=0F3

·a-FA

·2a=0

F3=2FA=

Fy=0-F2

cos45°+FA=0F2=FA/cos45°=

Fx=0F1+F2

sin45°+F3=0

F1=-（F2

sin45°+F3）負號表示桿件受壓。

FAFBFAyF1F3F23-1

圖示為一靜定組合梁的力學簡圖。作用集中力F，集中力偶M0,

畫AC、CB段的受力圖。

課堂練習llABCM0F3-2圖示結構由AB、BC、DE桿組成。作用集中力F，畫AB、BC、DE

桿的受力圖。

aaaaABCDEF

本課節(jié)小結一、靜定與超靜定問題的概念1.靜定問題

力系中未知數的個數少于或等于獨立平衡方程個數，全部未知數可由獨立平衡方程解出。二、物體系統(tǒng)的平衡問題

外力和內力系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)的作用力稱為物系外力，系統(tǒng)內部各構件之間的相互作用力稱為物系內力。

物系平衡

物系處于平衡，那么物系的各個構件都處于平衡。因此在求解時，既可以選整個物系為研究對象；也可以選單個構件或部分構件為研究對象。2.超靜定問題

力系中未知數個數多于獨立平衡方程個數時，全部未知數不能完全由獨立平衡方程解出。

課后作業(yè)：《建筑力學練習冊》練習八一、滑動摩擦的概念

◆課節(jié)3–4考慮摩擦時構件的平衡

兩物體接觸面間產生相對滑動或具有相對滑動趨勢時，接觸面間就存在有阻礙相對滑動或相對滑動趨勢的力，稱為滑動摩擦力。

1.靜滑動摩擦力

靜摩擦力有介于零到臨界最大值之間的取值范圍，即0<Ff≤Ffmax

。FGF1GFNFf

靜摩擦定律

大量實驗表明，臨界摩擦力的大小與物體接觸面間的正壓力成正比。F2GFNF'fFljGFNFfmax滑動趨勢狀態(tài)臨界狀態(tài)相對滑動狀態(tài)

2.動滑動摩擦大量實驗表明，動滑動摩擦力Ff的大小與接觸面間的正壓力FN成正比，即

為靜摩擦因數

為靜摩擦因數

△三、考慮摩擦時構件的平衡問題

求解考慮摩擦時構件的平衡問題，除列出平衡方程外，還需列出補充方程Ff≤sFN。在臨界狀態(tài)，補充方程Ff=Ffmax=sFN

，故所得結果也將是平衡范圍的極限值。解：1.取AB為研究對象畫受力圖

例3-11

圖示重G的梯子AB一端靠在鉛垂的墻壁上，另一端放在水平面上，A端摩擦不計，B端摩擦因數為s，試求維持梯子不致滑倒的最小min角。lABGlABGFBFfFA

2.列平衡方程

3.列補充方程

4.聯(lián)立求解解：1.取錨固墩畫受力圖

例3-12圖示為一鋼拉索吊橋的錨固墩，鋼索錨固墩內。已知錨固墩重G=5000kN，錨固墩與地面間的靜摩擦因數s=0.4，鋼索與水平線間的夾角=20，試求鋼索能承受的最大拉力FT。

2.列平衡方程及補充方程為

4.聯(lián)立求解

Fx=0FTcos

-Ffmax=0

Ffmax=

FTcos

Fy=0FN+FTsin

-G=0

FN=G-FT

sin

Ffmax=sFN

3.列補充方程

FTcos=s（G-

FTsin）

所以，鋼索能承受的最大拉力FT為1859kN。

解：1.分別取鼓輪、制動桿AB為研究對象畫受力圖。

例3-12

圖示為一制動裝置的平面力學簡圖。已知作用于鼓輪上的轉矩為Ｍ，鼓輪與制動片間的靜摩擦因數為s，輪徑為r，制動桿尺寸為a、b、c。試求