復變函數(shù)冪級數(shù)

CH4

級數(shù)

1、復數(shù)項級數(shù)

2、冪級數(shù)

3、泰勒(Taylor)級數(shù)

4、羅朗(Laurent)級數(shù)§4.1

復數(shù)項級數(shù)

1.復數(shù)列的極限

2.級數(shù)的概念

1.復數(shù)列的極限定義又設復常數(shù)：定理1證明例1

判斷下列數(shù)列是否收斂？若收斂，求出其極限.2.級數(shù)的概念級數(shù)的前面n項的和---級數(shù)的部分和不收斂---無窮級數(shù)定義設復數(shù)列：

例2解定理2證明

由定理2，復數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題.性質(zhì)定理3證明

?定義由定理3的證明過程，及不等式定理4解例2級數(shù)收斂判定：1.正項級數(shù)收斂判定：2.交錯級數(shù)收斂判定：3.特殊結(jié)構(gòu)的級數(shù)收斂判定：練習：

1.冪級數(shù)的概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)§4.2冪級數(shù)1.冪級數(shù)的概念定義設復變函數(shù)列：---稱為復變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面n項的和---級數(shù)的部分和

若級數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)2.收斂定理同實變函數(shù)一樣，復變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）證明(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在復平面上處處收斂.(ii)除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，級數(shù)(3)在復平面上除z=0外處處發(fā)散.顯然，<否則，級數(shù)(3)將在處發(fā)散.將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍色，紅、藍色不會交錯.故播放

(i)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析.定義這個紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓；這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑.(ii)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.4.收斂半徑的求法定理2(比值法)證明定理3(根值法)定理3(根值法)定理2(比值法)例1解

綜上例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)

代數(shù)運算

---冪級數(shù)的加、減運算---冪級數(shù)的乘法運算---冪級數(shù)的代換(復合)運算冪級數(shù)的代換運算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3解代換解代換展開還原

分析運算

定理4---冪級數(shù)的逐項求導運算---冪級數(shù)的逐項積分運算例4

求冪級數(shù)的和函數(shù)及收斂圓.

1.泰勒展開定理

2.展開式的唯一性

3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3泰勒(Taylor)級數(shù)1.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù).以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示.定理1（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得Dkz---(*)得證！證明

2.展開式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù).利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實上，設f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一的.---直接法---間接法

代公式由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分析運算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解(2)由冪級數(shù)逐項求導性質(zhì)得：

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.練習定理

1.預備知識

2.雙邊冪級數(shù)

3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)

4.展開式的唯一性§4.4羅朗(Laurent)級數(shù)由§4.3

知,f(z)在z0

解析，則f(z)總可以在z0

的某一個圓域z-z0<R內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù).若f(z)在z0點不解析，在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級數(shù)，但如果在圓環(huán)域R1<z-z0<R2

內(nèi)解析，那么，f(z)能否用級數(shù)表示呢？例如，由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負冪次項,即本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法.它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算留數(shù)的基礎.1.預備知識Cauchy積分公式的推廣到復連通域---見第三章第18題Dz0R1R2rRk1k2D1z2.雙邊冪級數(shù)---含有正負冪項的級數(shù)定義形如---雙邊冪級數(shù)正冪項(包括常數(shù)項)部分：負冪項部分：級數(shù)(2)是一冪級數(shù)，設收斂半徑為R2，則級數(shù)在z-z0=R2內(nèi)收斂，且和為s(z)+;在z-z0=R2外發(fā)散.

z0R1R2z0R2R1

(2)在圓環(huán)域的邊界z-z0=R1,

z-z0=R2上,3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理證明由復連通域上的Cauchy

積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進行的，在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c，由復合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢！級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分.

(2)在許多實際應用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點

z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那么就利用洛朗（Laurent）級數(shù)來展開.級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分.4.展開式的唯一性結(jié)論一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù).事實上，Dz0R1R2cDz0R1R2c由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)，可用間接法.在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式(5')求Laurent系數(shù)的方法.例1解例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12解:沒有奇點注意首項(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式.小結(jié)：把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)的方法：

(4)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù).解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12

(2)在(最大的)去心鄰域xo12練習：

(3)Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的不同點：

Taylo