斷裂力學基礎

3斷裂力學基礎

韌、脆兩類材料在有、無裂紋存在時，強度指標有所不同，其描述的理論和失效判據也不同。材料裂紋情況斷裂方式強度指標適用理論脆性材料無裂紋脆性斷裂σth鍵合理論脆性材料有裂紋更脆性斷裂KⅠC線彈性斷裂力學韌性材料無裂紋韌性斷裂σs、σb材料力學韌性材料有裂紋小范圍屈服修正后KⅠC修正后線彈性斷裂力學韌性材料有裂紋大范圍屈服J、COD彈塑性斷裂力學

由此可見，材料中是否存在裂紋，對材料強度、斷裂方式有很大影響，甚至影響到工程結構強度設計方法。斷裂力學分析方法及本章內容斷裂力學分析方法：局部參數(shù)法：著眼于裂紋尖端附近的應力場和位移場，以表征其特征的參數(shù)來描述斷裂問題，其參數(shù)有：K、COD、J積分能量法：裂紋的擴展會導致含裂紋體的應變能或勢能隨之發(fā)生變化，可通過能量變化關系來確定斷裂發(fā)生條件。其參數(shù)有：G、R本章內容裂紋尖端應力場強度因子K

及臨界值Kc裂紋擴展能量釋放率G及臨界值Gc裂紋尖端張開位移δ

（CTOD）及臨界值δcJ

積分及臨界值Jc斷裂力學局部參數(shù)法基本內容線彈性斷裂彈塑性斷裂裂紋尖端應力場斷裂力學場參量場參量臨界值斷裂判據σi,jKKCK≥KCui,jδδCδ≥δCσi,jJJCJ≥JC應用：結構設計、材料選擇、安全校核基本步驟3.1裂紋尖端應力場強度因子及斷裂韌度3.1.1裂紋尖端應力場強度因子

對含裂紋體，沿裂紋線平面上y

方向應力σy

與所研究點到裂紋尖端距離r

有如下關系：或

當r→0時，σy→∞，表明裂紋尖端前沿應力場具有階奇異性。參數(shù)K表征了應力場奇異性程度，稱為“應力場強度因子”。

K的形式和數(shù)值取決于裂紋幾何以及外加應力，通常由下列方法得到：

解析法－僅對形狀和受力狀況簡單的場合適用；

數(shù)值外插法－針對邊界條件復雜的情況；

有限元法；

柔度試驗法。無限大平板含中心穿透裂紋的裂紋尖端應力場模型：含2a長中心穿透裂紋無限大平板受均勻拉伸應力σ（平面應力－薄板）（平面應變－厚板）裂尖前沿應變場、位移場（平面應變）應變場位移場裂紋尖端應力場強度因子通式單位：或式中，Y－裂紋形狀系數(shù)，取決于裂紋類型，可查表。KⅠ綜合反映了外加應力和裂紋幾何（包括裂紋長度、位置、形狀）對裂紋尖端應力場大小的影響。通式：特例－含2a長中心穿透裂紋的無限大平板受遠場均勻拉伸應力σ3.1.2斷裂韌度KⅠC及斷裂判據

材料的KⅠC越高，則裂紋體的斷裂應力或者臨界裂紋尺寸越大，表明材料難以斷裂。故KⅠC是一個材料參數(shù)，表征材料抵抗斷裂的能力。因此，含裂紋構件斷裂與否的判據即為：

當名義應力和裂紋尺寸單獨或者共同增大時，KⅠ和裂紋尖端各應力也隨之增大，當名義應力增加到臨界值σc

或裂紋尺寸增大到臨界值ac時，裂紋尖端前沿足夠大的范圍內應力達到了材料的解理斷裂應力，裂紋便失穩(wěn)擴展而導致材料斷裂。對應于這個臨界或者失穩(wěn)狀態(tài)的KⅠ值記做KⅠC或者KC，稱為斷裂韌度:斷裂韌度與板厚度的關系

一般隨板厚增加，KⅠC先升、后降、再達到一定厚度后保持不變。因此，工程上KⅠC是指達到一定厚度后（平面應變）斷裂韌度。常用工程材料的斷裂韌度復合型裂紋斷裂判據

在很多實際情況下，裂紋所受載荷常常是幾種形式的復合，或者裂紋擴展方向與應力方向呈一定的角度。我們把這一類裂紋歸結為復合型裂紋。在斷裂力學中，對每一種單獨的裂紋類型，都有相應的應力場強度因子KⅠ、KⅡ、KⅢ，以及相應的臨界應力場強度因子KⅠC、KⅡC、KⅢC。因此在混合模態(tài)下，可采用“橢球法則”來確定裂紋失穩(wěn)擴展臨界條件：

此法則雖然形式簡單，但很不適用，材料參數(shù)過多，如KⅡC、KⅢC對一般材料而言均為未知。故有效判據應該只含有一個基本參數(shù)KⅠC，例如：

應變能密度準則（S判據）；

最大周向正應力準則（σθmax判據）。（1）應變能密度準則（S判據）

復合型裂紋在其最小應變能密度因子Smin

等于某一臨界值Scr

時，沿Smin

方向擴展，記為：（1）以Ⅰ＋Ⅱ型復合裂紋為例，根據彈性力學，應變能密度為：（2）

復合型裂紋尖端處的應力，可通過Ⅰ和Ⅱ型應力場疊加得到：（3）（1）應變能密度準則（續(xù)1）將（3）式代入（2）式，得到裂紋尖端處應變能密度：（4）（平面應變）（平面應力）式中，μ－切變模量；ν－泊松比。（1）應變能密度準則（續(xù)2）令：（5）而失效臨界條件為：（7）裂紋擴展時應沿最小S方向（θm），即滿足：且（6）在純Ⅰ型加載條件下，有：（8）臨界時，有：（9）將（9）式代入（7）式得：（2）最大周向正應力準則（σθmax判據）

兩個假設：裂紋開始擴展沿著周向正應力達到最大的方向；當這個方向的應力場強度因子達到臨界值KⅠC時，裂紋開始失穩(wěn)擴展：（1）Ⅰ+Ⅱ復合型裂紋尖端應力場為：（2）（2）最大周向正應力準則（續(xù)）根據假設（1），裂紋擴展方向應滿足：，則有：（3）由（3）式解得：（4）由于在θm方向上，σθ達到最大值σθmax，則τrθ(θm)=0，即σθmax為主應力，且滿足：（5）故可認為Kθmax實際上相當于Ⅰ型裂紋應力場強度因子，則斷裂判據為：3.1.3裂紋尖端塑性區(qū)及KⅠ修正VonMises屈服判據:由材料力學原理可知一點的三個主應力為：將裂尖各應力分量帶入上式可得：

再將裂尖各主應力帶入上邊的VonMises屈服判據，便可得到裂紋尖端前沿塑性區(qū)的形狀及尺寸。塑性區(qū)形狀及尺寸塑性區(qū)邊界方程：Irwin修正為：若取ν=0.3，則：在x軸上，θ=0，塑性區(qū)寬度r0為：（平面應力）（平面應變）應力松弛后的塑性區(qū)

局部塑性變形會造成應力松弛，這樣還會使塑性區(qū)尺寸進一步增大。從能量上考慮，陰影區(qū)面積應等于矩形BDEC的面積，由此可求出松弛后塑性區(qū)寬度為：平面應力平面應變三維塑性區(qū)形狀及塑性區(qū)內應力分布金屬斷裂韌度貢獻主體KⅠ的修正（等效裂紋）等效裂紋修正后的應力場強度因子：ry恰好為應力松弛后塑性區(qū)半寬，即：

（平面應力）（平面應變）則修正后的應力場強度因子為：

（平面應力）（平面應變）修正條件：3.1.4斷裂韌度在工程中的應用結構設計

對于給定的材料，根據已知的斷裂韌度，計算結構許用應力，針對要求的承載量，設計結構的形狀。材料選擇

根據結構的承載要求以及可能出現(xiàn)的裂紋類型，計算可能的最大應力場強度因子，選擇能滿足斷裂韌度要求的材料。安全校核根據結構承載能力、材料斷裂韌度，計算材料的臨界裂紋尺寸，與實測裂紋尺寸相比較，校核結構的安全性，判斷材料脆斷傾向。材料開發(fā)根據斷裂韌度的影響因素，有針對性地設計材料的成分、晶體結構、組織形態(tài)，開發(fā)新材料?；驹恚海?）選擇材料

從承載和安全角度選擇材料，要求材料具有高的σs和KIC。但是σs和KIC之間的關系一般為此消彼長。因此：對低σs材料，屈服和塑性變形是主要失效危險；對高σs材料，缺陷造成低應力破壞是主要的危險。

對以脆斷為主要失效形式的結構，（KIC/σs

）比值是選材的主要依據。由于在強度設計中經常選擇工作應力是屈服強度的一個固定分數(shù)（α），則根據斷裂力學概念，有：

此式表明，（KIC/σs

）比值大的材料，臨界裂紋尺寸大，材料容許的缺陷尺寸大，即裂紋容限大。（1）選擇材料（續(xù)1）

在依據（KIC/σs

）比值選擇材料時，構件厚度B是不可忽視的因素，因為厚度會影響材料的斷裂韌度。

如果選擇高KIC、低σs

的材料，在承受同樣載荷要求下，必須增加厚度，這往往導致KIC降低，甚至低于低KIC、高σs

材料的斷裂韌度，如圖所示例子：不同強度、韌度材料的裂紋容限

計算構件中的臨界裂紋尺寸，可以評價材料的脆性。一般構件中，較常見的是表面半橢圓裂紋，從安全角度取

Y=2，如果不考慮塑性區(qū)的影響，則裂紋臨界尺寸可由下式估算：

①

超高強度鋼這類鋼屈服強度很高，但斷裂韌度較低。例如某構件的工作應力為1500MPa，而材料的KⅠC=75MPa.m1/2，則：

由此可見，只要出現(xiàn)0.625mm深的裂紋，構件就會失穩(wěn)斷裂，而這樣小的裂紋在生產和使用過程中是很容易形成的，且不易檢測。因此，要選用斷裂韌度高的鋼，或者降低工作應力，以保證安全。②中、低強度鋼

這類鋼具有低溫脆性，易發(fā)生韌脆轉變。

在韌性區(qū)（高溫）：KⅠC高達150MPa.m1/2；

在脆性區(qū)（低溫）：KⅠC則只有30～40MPa.m1/2，甚至更低。

這類鋼的設計工作應力很低，往往在200MPa以下。若取工作應力為200MPa。

在脆性區(qū)（低溫）：所以很可能發(fā)生脆性斷裂。臨界裂紋很長，不易發(fā)生脆性斷裂，也易于檢測和修理。

在韌性區(qū)（高溫）：③球墨鑄鐵

這是一種廉價且易于加工的材料，具有與45鋼相當?shù)膹姸?，設計工作應力很低，僅10～50MPa。若取

KⅠC=25MPa.m1/2，則

ac=40～1000mm。因此，用球墨鑄鐵制造的小型零件，如小型柴油機的曲軸、聯(lián)桿等，不致發(fā)生低應力脆斷。但若在大型零件的制造過程中，形成大的鑄造缺陷或高的殘余拉應力，發(fā)生低應力脆斷仍是可能的。（2）全厚度屈服準則

全屈服厚度：指構件始終處于平面應力狀態(tài)，在斷裂前可發(fā)生大量塑性變形。該準則提供了使構件免于災難性平面應變斷裂的條件。按ASTM標準，為保證平面應變斷裂韌性，厚度B

應滿足：（單位：m）上式也可寫為：

表明發(fā)生平面應變斷裂所需斷裂韌度隨材料屈服強度及厚度的平方根線性增加

關于平面應力斷裂所需斷裂韌度應比上式為大，推薦的關系為：（3）破裂前滲漏原則設計思想：壓力容器在服役中，由于腐蝕或交變應力作用，在內表面可能產生不穿透裂紋，如果在裂紋造成災難性破壞以前，總是先穿透壁厚，使容器內流體滲漏，則可能被檢測出來，及時采取措施，避免事故發(fā)生。Irwin準則：假定內表面裂紋是半圓狀，當裂紋穿透外表面時，成為長度為壁厚兩倍的穿透裂紋（見圖）。倘若長度為2B裂紋的失穩(wěn)應力等于屈服應力σs

，則壓力容器可近似為平面應力狀態(tài)。因此，若該材料平面應力斷裂韌度KC不小于長度為2B裂紋的有效應力強度因子，即可防止災難性破壞。這一準則要求：3.2裂紋擴展能量釋放率G

及臨界值Gc3.2.1

裂紋擴展力GⅠ

一含有單邊穿透裂紋的板，受拉力P的作用，如右圖所示?？梢栽O想，在裂紋前緣線上的單位長度上有一作用力GⅠ，它將驅使裂紋前緣向前運動，故可稱為裂紋擴展力

材料有抵抗裂紋擴展的能力，即阻力R，僅當GⅠ≥R

時，裂紋才會向前擴展。3.2.2裂紋擴展能量釋放率概念

設裂紋在GⅠ的作用下向前擴展一段距離Δa

，則裂紋擴展力作功為GⅠ×Δa

；若外力對裂紋體作功為W，并使裂紋擴展了Δa

，則外力作功的一部分消耗于裂紋擴展，剩余部分以彈性能的形式儲存于體內ΔUe，故有：若外力作功W=0，則有：

這表明在外力作功為零的情況下，裂紋擴展單位面積所需的功，要依靠裂紋體內彈性能的釋放來補償。因此，GⅠ又可稱為裂紋擴展的能量釋放率。由上式解得：裂紋擴展能量釋放率概念的進一步解釋（a）緩慢加載至載荷

P

及位移δ處，且假設加載過程中裂紋不擴展，則外力作功（Pδ/2）全部轉為彈性能儲存起來；（b）將下端固定，即保持位移不變，于是系統(tǒng)與環(huán)境無能量交換，并使裂紋擴展2Δa

；（c）由于裂紋擴展使裂紋體剛度下降（即柔度升高），在位移不變的情況下，裂紋體的彈性內力下降ΔP，因而彈性能下降，釋放出的彈性能（陰影區(qū)面積）即為裂紋擴展所需的功。3.2.3能量法的普遍分析a＜ac，穩(wěn)態(tài)擴展；a＞ac，失穩(wěn)擴展；設：有一裂紋體，裂紋面積為A，當外力作用下裂紋擴展dA面積時，有四種能量發(fā)生變化：（1）外力做功dW；（2）系統(tǒng)彈性應變能釋放dU；（3）裂紋表面能增加dΓ；（4）消耗塑性功dP

。則根據能量守恒和轉換定律－體系內能的增加等于外力做功之和，有：裂紋擴展能量釋放率GIrwin定義：裂紋擴展單位面積時，系統(tǒng)釋放的能量稱為裂紋擴展能量釋放率，用G

表示：

在恒載荷加載時：稱為彈性應變能增長率；在恒位移加載時：稱為彈性應變能釋放率；可以證明：Griffith裂紋擴展能量釋放率裂紋長度=2a；B=1；Ⅰ型裂紋恒位移加載，則：平面應力時：平面應變時：則裂紋擴展能量釋放率為：平面應力時：平面應變時：可見，GⅠ與KⅠ相似，都是應力和裂紋尺寸的復合參量。G~K關系

對于含2a長中心穿透裂紋無限大薄板受均勻拉伸應力σ的情況，有：（1）恒位移時：（2）彈性應變能釋放：（3）將（3）帶入（2）得：（4）聯(lián)立（1）及（4）得：（平面應力）（平面應變）裂紋擴展阻力R定義：

裂紋擴展單位面積所需消耗的能量為裂紋擴展阻力，用R

表示：

只有當G＞R時，裂紋才能擴展。而R是隨裂紋尺寸而變化的，當a→aC時，R→RC，即達到臨界擴展阻力，此時RC也稱為斷裂韌度，記為GC。則裂紋擴展的能量判據為：裂紋擴展阻力曲線Ra韌性材料脆性材料GⅠC3.3裂紋尖端張開位移（CTOD）

對于大型中、低強度鋼構件（如船體和壓力容器），曾發(fā)生不少低應力脆斷事故，其斷口具有90％以上的結晶狀特征；而從這些斷裂構件上制取的小試樣，卻在整體屈服后發(fā)生纖維狀的韌性斷裂，由此推斷是由于構件承受多向應力，使裂紋尖端的塑性變形受到約束，當應變量達到某一臨界值，材料就發(fā)生斷裂。這就是斷裂的應變判據的實踐基礎。不過，這個應變量很小，難以準確測量，于是人們提出用裂紋尖端的張開位移CTOD

（δ）來間接表示應變量的大小，用臨界張開位移δc

來表征材料的斷裂韌度。3.3.1裂紋尖端張開位移概念及特點裂紋張開特點：裂紋開裂過程為：彈性張開→鈍化→開裂；開裂前COD能反映裂尖形變場強度；存在一個臨界COD（δc），當滿足COD＞δc

時材料開裂。

常見的中、低強度鋼，由于其塑性較好，裂紋體受載后，在裂紋尖端會產生較大的塑性區(qū)。設一無限大板中有Ⅰ型穿透裂紋，在平均應力σ作用下，裂紋兩端出現(xiàn)塑性區(qū)ρ。裂紋尖端因塑性鈍化在不增加裂紋長度2a

的情況下，裂紋將沿σ方向產生張開位移δ。3.3.2斷裂韌度δc

試驗證明，對于一定材料和厚度的板材，不論其裂紋尺寸如何，當裂紋尖端張開位移δ達到同一臨界值δc

時，裂紋就開始擴展。因此可將δ看作一種裂紋擴展的動力，而把δc

看作材料阻止裂紋開始擴展的能力，即材料的斷裂韌度。根據δ和δc

的相對大小關系，可建立斷裂δ

判據：

δ判據和J

判據一樣，都是裂紋開始擴展的斷裂判據，而不是裂紋失穩(wěn)擴展的斷裂判據。顯然，按這種判據設計構件是偏于保守的。（1）小范圍屈服時的COD

由裂紋尖端位移場公式可得平面應變條件下的COD為：對于Ⅰ型裂紋，

則：在臨界條件下：由此可得到：

因為是小范圍屈服，需修正為有效裂紋，即r

應自有效裂紋尖端算起，在原真實裂紋尖端處：（2）大范圍屈服時的CODDugdale-Muskhelishvili模型：設想將屈服區(qū)切開，在切開面上施加數(shù)值等于σs

的壓力，則裂紋切開面仍然閉合，這樣就把一個2a長裂紋彈塑性轉化為一個2c虛擬裂紋的線彈性問題。D-M模型處理及結果虛擬裂紋尖端應力場強度因子K*由兩個作用力決定：

由無限遠處平均應力σ引起：

由裂紋兩端ρ段上的–σs

引起：由虛擬裂紋尖端應力無奇異性得：由此可得：塑性區(qū)寬度：真實裂紋尖端張開位移：

σ/σs→1時，δ→∞，模型失效；

σ/σs

≤0.8時，計算與實驗相符；

σ/σs

≤0.5時，有：（3）全面屈服下的COD

當外加應力接近或超過σs

時，裂紋尖端前沿很大區(qū)域處在全面屈服狀態(tài)，即其應力和應變都超過了σs

和

es

，此時D-M模型已不適用。由于全面屈服后，應力增加很少，而變形大大增加，因而不再以應力作為計算COD的參量，而改用應變e

來計算COD。并求出COD與e

的關系為：理論上較粗糙；用Wells公式進行斷裂安全設計的安全裕度過大。Wells理論計算值實測結果小范圍屈服陡升凍結再度上升Wells假定：塑性區(qū)應變e

與塑性區(qū)尺寸ry

之間存在下列關系：3.4J

積分3.4.1

J

積分概念設：有一單位厚度（B=1）的Ⅰ型裂紋體，自裂紋下表面逆時針取一任一回路Г達到裂紋上表面，其所包圍體積內的應變能密度為w，回路Г上任一點的作用力為T，位移為u。則：裂紋擴展的能量釋放率為：GⅠ的能量線積分應變能：外力功：勢能：則線彈性條件下GⅠ的能量線積分表達式為：J

積分定義

在彈塑性條件下，將w定義為“彈塑性應變能密度”，它包括了“彈性應變能密度”和“單位體積塑性變形功”兩項，也存在前式等號右邊的能量線積分，Rice將其定義為J

積分：J

積分特點：在線彈性條件下，（平面應變）；具有守恒性，即J

積分與路徑Г無關。3.4.2

J

積分實測的物理意義J=面積/B

J

積分的含義是系統(tǒng)勢能變化率，但這與線彈性中的能量釋放率不同。J

主要用來克服塑性功，即勢能的變化量主要轉化為不可逆塑性功。由于在塑性變形范圍內，應力-應變不再是單值關系，為保證J

作為一個狀態(tài)函數(shù)，只能把討論的過程限制在加載過程，不允許有卸載的情況發(fā)生。因此，J

積分在原則上只能討論裂紋即將擴展而尚未擴展時。這樣，不再是裂紋擴展能量釋放率，而是兩個相同形狀、尺寸的試樣因裂紋長度有微小差異da

所帶來的勢能差。J

界分的物理意義：兩個形狀、尺寸完全相同，但裂紋長度相差da的試樣，在加載到同一位移時的變形功之差：3.4.3

J

積分與裂尖彈塑性應力場的關系

要想J

積分能成為斷裂判據有效參量，則彈塑性裂紋尖端的應力場必須由J

積分單值確定。

1968年，Hutchinson、Rice、Rosengren三人利用全增量理論，推導出了