《求解二元一次方程組(代入法)》同步課堂教案 (公開課)2022年

5.2求二一方組一時〔入〕一、教目標〔一〕知識與技能會用代入消元法解二元一次方程組〔二〕過程與方法了解解二元一次方程組的消元思初步表達數(shù)學研究中化未知為〞的化歸思從而“變陌生為熟悉〞〔三〕情感態(tài)度價值觀利用小組合作探討學習,使學生領會樸素的辯證物主義思想二、教重點用代入法解二元一次方程組.三、教難點用代入法解二元一次方程組的根本思想是化歸—化陌生為熟悉.四、教過程〔一〕課題引入上節(jié)課我們的老牛和小馬的包裹誰的多的問題,經(jīng)大家的共同努得出了如下二元一次方程組：到底誰的包裹多呢x-y=2①②這就需要解這個二元一次方程組.一元一次方程我們會解,二元一次方程組如何解?我們大家知道二元一次方程只需要消去一個未知數(shù)就可變?yōu)橐辉淮畏匠棠敲次覀儼l(fā)現(xiàn)：由①得由于方程組相同的字母表示同一個未知數(shù)所以方程②中的y也等于以用x-2替方程②中的這樣就得到大家會解的一元一次方程了.〔二〕例題講解

我們知道了解二元一次方程組的一種思路,下面我們來做一做例1

解方程組

2y=14x=y+3

①②解：將②代入①,得3(y+3)+2y=145y=5將入②得所以原方程組的解是

例2

解方程組

x+4y=13

①②教師先分析題不同于例1,(即用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù))，②式不能直接代入①,那么我們應當怎樣處理才能轉化為②式這樣的形式呢?請同學答復應先對②式進行恒等變化,它化為例1②式那樣的形式.)分小組合作完成上述例題,請兩個小組的代表上黑板上來板演解：由②，得

將③代入①，得2(13-4)S+3y=1626-8y+3y=16-5y=-10將代入③，得

所以原方程組的解是

〔三〕同學合作議一議上面解方程組的根本思路是什么？主要步驟有哪些？

上面解方程組的根本思路是“消元〞——把“二元〞變?yōu)橐辉曋饕襟E是將其中一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來②將這個代數(shù)式代入另一個方程中而消去一個未知數(shù)二元一次方程組為一元一次方程式。③解這個一元一次方程把求得的一次方程的解代入方程中得另一個未知數(shù)值，組成方程組的解。這種解方程組的方法稱為代入消元法。簡稱代入法。〔四〕穩(wěn)固新知練一練1.用含x的代數(shù)式表示y：3x-2y=y=2-2x2.練一練〔1〕〔3〕

2425x+y=11x-y=7

〔2〕〔4〕

x3x-2y=9x+2y=3〔五〕課堂小結理一理1、今天我學習了二元一次方程組的解法，你有什么體會？2、解二元次方程組的思路是消元，把二元變?yōu)橐辉?、解題步概括為三步即：①變、②代、③解、4、方程組解的表示方法，應用大括號把一對未知數(shù)的值連在一起，表示同時成立，不要寫成x=？y=？5、由一個程變形得到的一個含有一個未知數(shù)的代數(shù)式必須代入另一個方程中去，否那么會出現(xiàn)一個恒等式。五、作布置賽一ax+by=21、是方程組4x+3y=1

x-by=3

的解，那么ab值是多少？2、假設方程組ax+(a-1)y=3的解x與y相等，那么a的值是多少？方式一)

1.8

完平

●學目標一)教學知識點1.完全平方公式的推導及其應用.2.完全平方公式的幾何背景.二)能力訓練要求1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進一步開展符號感和推理能力.2.重視學生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和表達能力三)情感與價值觀要求1.了解數(shù)學的歷史，激發(fā)學習數(shù)學興趣.2.鼓勵學生自己探索算法的多樣化，有意識地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力●學重點1.完全平方公式的推導過程、結構特點、語言表述、幾何解釋.2.完全平方公式的應用.●學難點1.完全平方公式的推導及其幾何解釋.2.完全平方公式結構特點及其應用.●學方法自主探索法學生在教師的引導下自主探索完全平方公式的幾何解釋、代數(shù)運算角度的推理，揭示其結構特點，然后到達合理、熟練地應用●具準備投影片四張第一張：試驗田的改造，記作(§1.8.1A)第二張：想一想，記作(§1.8.1B)第三張：例題，記作(§1.8.1C)第四張：補充練習，記作(§1.8.1D)●學過程Ⅰ.設問題情景，引入新課［師］去年，一位老農(nóng)在一次下鄉(xiāng)〞活動中得到啟示，將一塊邊長為米

的正方形農(nóng)田改成試驗田，種上了優(yōu)質的雜交水稻，一年來，收益很今年，又一次“科技下鄉(xiāng)〞活動，使老農(nóng)鐵了心，要走技興農(nóng)的路子，于是他想把原來的試驗田，邊長增加b，形成四塊試驗田，種植不同的新品種.同學們，誰來幫老農(nóng)實現(xiàn)這個愿望呢？同學們開始動手在練習本上畫圖，尋求解決的途徑［生］我能幫這位爺爺.［師］你能把你的結果展示給大家嗎？［生可以如圖1－25示這就是我改造后的試驗田可以種植四種不同的新品種.圖1－25［師］你能用不同的方式表示試驗田的面積嗎？［生］改造后的試驗田變成了邊長(a+b)的大正方形，因此，試驗田的總面應為(a+b)

.［生］也可以把試驗田的總面積看成四局部的面積和即邊長為a正方形面積，邊長為b的正方形的面積和兩塊長和寬分別a和b面積的和所以試驗田的總面積也可表示為2

.［師］很好！同學們用不同的形式表示了這塊試驗田的總面積，進行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？［生］可以發(fā)現(xiàn)它們雖形式不同，但都表示同一塊試驗田的面積，因此它們應該相等.(a+b)2

=a

2

2［師］我們這節(jié)課就來研究上面這個公式—完全平方公式.Ⅱ.授新課1.推導完全平方公式［師我們通過比照試驗田的總面積得出了完全平方公式a+b)=a2+2ab+b.其實，

據(jù)有關資料說明，古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國人也是通過類似的圖形認識了這個公式.我們姑且把這種方法看作對完全平方公式的一個幾何解釋能不能從代表運算的角度也能推導出這樣的公式呢？出示投影片§A)想一想：等于什么？你能用多項式乘法法那么說明理由嗎？－等于什么？你是怎樣想的.同學們可先在自己的練習本上推導教師巡視推導的情況對較困難的學生以啟示)［生］用多項式乘法法那么可得(a+b)=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)22

+ab+ab+b2所以(

=a

2

+2ab+b2

(1)［師］上面的幾何解釋和代數(shù)推導各有什么利弊？］認何釋2

=a

2

,到了條件限制:且b>0;代數(shù)推導完全平方公式雖然不直觀，但在推導的過程中可以是正數(shù)，可以是負數(shù)，零，也可以是單項式,多項式［師］同學們分析得很有道理.接下來，我們來完成第問.［生］也可利用多項式乘法法那么，那－2－2.

=(a－－b)=a

－ab－2

2［生］我是這樣想的，因(=a2中的、b以是任意數(shù)或單項式、多項式.們用“－b〞代替公式中的b〞,利用上面的公式就可以得到－b)=［a+(－b)］2

.［師這位同學的想法很好因為他很留心我們表述的每一句話的含義你能繼續(xù)沿著這個思路做下去嗎？我們一塊試一下.［師生共析］(ab)=［a+(－b)］22－－2

↓↓↓↓↓↓=a2·b+b

22

－

.于是，我們得到又一個公式：(ab)

2

－2

(2)［師］你能用語言描述上述公式(1)、嗎？［生公式(用語言描述為兩個數(shù)的和的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的2的和公式(用語言描述為兩個數(shù)的差的平方等于這兩個數(shù)的平方和與它們積的倍的差這兩個公式為完全平方公式.它們和平方差公式一樣可以使整式的運算簡便.2.應用、升華出示投影片(B)［例1］利用完全平方公式計算：－3)

;(2)(4x+5y)2

;(3)(mna).分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步，準確代入公式；第三步化解：方法一：

1111［例2］利用完全平方公式計算－－x－y);－z)

2

;(4)(x+y)

－－y)2

;－2.分析：此題需靈活運用完全平方公式(1)題可轉化為(－x)

2

或(x－2y)2

,運用平方差公式題需轉化為(x+y),利用和的完全平方公式(3)題利用加法結合律變形為［(x+y)－］2(或［x+(y－］2－z)+y］),再用完全平方公式計算(4)題可利用完全平方公式，再合并同類項，也可逆用平方差公式進行計算.(5)題可先逆用冪的運算性質變形，再用平方差公式和完全平方公式解：方法一：(－2=(2y－2=4y2－4xy+x；方法二：－2

=－2y)］

=(x－2y)2

=x

2

－4xy+4y

.－x－y)2

=－(x+y)2

=(x+y)

=x

2

+2xy+y

.－z)

2

=(x+y)－z］2

=(x+y)2

－2(x+y)·z+z

2=x2+z2+2xy－－2yz.方法一：(x+y)

－(xy)2=(x

2

+2xy+y

－(x

2

－2xy+y2

)方法二：(x+y)－(xy)=(x+y)+(x－y)－y)］－2

=(2x］2=4x－2］22+81y4.Ⅲ.堂練習課本1.計算：x－2y);(2)(2xy+x)2;25(3)(n+1)2－n.

11111111解：x－2=(x)－2·x·2y+(2y)2=x2222(2)(2xy+

1

x)

2

2

1

x+(

1

x)

2

=4x

y2

4

x

2

y+

1

x

255方法一：(n+1)

2

－n

2

2

+2n+1－n

2

=2n+1.方法二：(n+1)

－n

2

=［(n+1)+n－］Ⅳ.后作業(yè)1.課本習題1.13的第、、3題.2.閱讀〞，并答復文章中提出的問題Ⅴ.動與探究甲乙兩人合養(yǎng)了n頭牛而每頭牛的賣價恰為元全部賣完后兩人分錢方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿元，如此輪流，拿到最后剩下缺乏十元，輪到乙拿去，為了平均分配，甲應該補給乙多少元錢？［過程］因牛n，每頭賣n元，故共賣得n

2

元.令表示n的十位以前的數(shù)字，表示n的個位數(shù)字.于是n2+.因甲先取10元，而乙最后一次取錢時缺乏10元，所以n

2

中含有奇數(shù)個元，以及最后剩下缺乏10.但10×2a(5a+b)中含有偶數(shù)個元，因此b中必含有奇數(shù)個10元，且所以b2只可能是、4916、、36、、、81而這九個數(shù)中，只有和含有奇數(shù)個10因此b

2

只可能是1636，但這兩個數(shù)的個位數(shù)都6，這就是說，乙最后所拿的是6(即剩下缺乏10).［結果］甲比乙多拿了4元，為了平均分配甲必須補給乙2元板書設計1.8.完全平方公式(一)一、幾何背景試驗田的總面積有兩種表示形式：①+2ab+b2②(a+b)

比照得：(a+b)=a2二、代數(shù)推導(a+b)

2

(ab)

=a+(－］22三、例題講例例1.利用完全平方公式計算：－3)(3)(mna)四、隨堂練習略)備課資料一、楊輝楊輝國南宋時期杰出的數(shù)學家和數(shù)學教育家在世紀中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多.他著名的數(shù)學書共五種二十一卷.著有?詳解九章算法?二卷(1261年)、?日用算法?二(1262年除通變本末三卷()畝比類乘除算法?二卷(續(xù)古摘奇算法二卷(1275年).楊輝的數(shù)學研究與教育工作的重點是在計算技術方面他對籌算乘除捷算法進行總結和開展，有的還編成了歌訣，如九歸口訣。他在續(xù)古摘奇算法介紹了各種形式的“縱橫圖〞及有關的構造方法同時垛積術〞是楊輝繼沈括“隙積術〞后于高階等差級數(shù)的研究.楊輝在纂類〞中九章算術246個題目按解題方法由淺入深順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈缺乏、方程、勾股等九

1111x－1111x－類.他非常重視數(shù)學教育的普及和開展，在算法通變本末?中，楊輝為初學者制訂的綱目〞是中國數(shù)學教育史上的重要文獻二、參考練習1.填空題－3x+4y)=－2a－=(3)x

2

－=(x－2y)

.(4)a

+b2

=(a+b)2

(5)222.42－2=.2.選擇題以下計算正確的選項是()A.(m－1)=m2－1B.(x+1)(x+1)=x2+x+1C.(

x－2x24

2

－xy－y2D.(x+y)(x－y)(