第九章-層間應(yīng)力

第9章

層間應(yīng)力

經(jīng)典層合板的理論假定了所有單層處于平面應(yīng)力狀態(tài)，不考慮層間應(yīng)力（面外應(yīng)力）分量，層合板的應(yīng)力分析比較簡單。但無論是機(jī)械加載還是濕熱加載，層合板中都會(huì)產(chǎn)生層間應(yīng)力，尤其是在板邊緣附近層間應(yīng)力分布復(fù)雜，變化梯度大。層間應(yīng)力往往引起層合板邊緣脫黏，形成層間裂紋，造成整個(gè)層合板的剛度和強(qiáng)度下降，使結(jié)構(gòu)過早失效。經(jīng)典層合板的理論不能完全確定引起復(fù)合材料破壞的應(yīng)力，它無法解決層間應(yīng)力這類三維各向異性彈性力學(xué)問題。本章主要介紹層合板產(chǎn)生層間應(yīng)力的原因和基于彈性力學(xué)的一些層間應(yīng)力的分析方法。9.1層間應(yīng)力的定性分析

層合板一般由不同鋪設(shè)方向的單層組成，各單層的彈性性能不同，受力下的變形也不同。但是層合板中的各單層相互黏結(jié)成一體，層和層之間變形相互制約和協(xié)調(diào)，于是在層間產(chǎn)生相應(yīng)的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，即層間應(yīng)力。以下通過對(duì)層合板和[0/90]層合板的拉剪耦合變形協(xié)調(diào)和泊松耦合變形協(xié)調(diào)分析以及力矩平衡原理，解釋層間應(yīng)力產(chǎn)生的原因。

一、拉剪耦合變形協(xié)調(diào)引起的層間剪應(yīng)力

一塊材料和厚度相同的斜交鋪設(shè)層合板，承受拉伸應(yīng)力x，若將單層分別考慮，各層除了有線應(yīng)變x和y外，由于拉剪耦合效應(yīng)的存在，還會(huì)出現(xiàn)剪切應(yīng)變xy，如圖9.1所示。由式（3.26）可知，+和–層的

相差一個(gè)負(fù)號(hào)，因此–層xy1與+層的xy2大小相等，方向相反。黏合在一起的層合板的A16等于零，無拉剪耦合，層合板無剪切變形，因此層的剪切變形必須相互協(xié)調(diào)為零。這一效果是通過各單層相互對(duì)對(duì)方施加剪應(yīng)力來實(shí)現(xiàn)的，又因?yàn)樵趯雍习宓淖杂蛇吘墴o剪力，因此只能靠層間剪切應(yīng)力zx來提供。相等，因此兩個(gè)相反方向鋪層的正應(yīng)變x，y相同，+和–層的

圖9.1拉剪耦合變形協(xié)調(diào)引起層間剪應(yīng)力示意圖同理，一塊材料和厚度相同的斜交鋪設(shè)層合板，只承受剪切應(yīng)力xy，由于剪拉耦合效應(yīng)的存在，+和–層中會(huì)出現(xiàn)耦合線應(yīng)變x和y，黏合在一起的層合板無軸向變形，為協(xié)調(diào)軸向變形，在層間會(huì)產(chǎn)生層間剪切應(yīng)力zx和zy。層間應(yīng)力也會(huì)在正交鋪設(shè)層合板中出現(xiàn)。設(shè)有一塊[0/90]層合板承受有平均軸向拉應(yīng)力,如圖9.2所示。假如將0°單層和90°單層分別考慮，各自只受有x方向的正應(yīng)力，且沿x方向的變形相同。由于0°單層和90°單層在y方向變形的泊松耦合效應(yīng)不同，由式（3.12）可知0°單層沿y方向收縮較多，90°單層沿y方向收縮較少。為了保證兩單層黏層在一起后y方向變形協(xié)調(diào)一致，就需要通過0°單層和90°單層相互施加y方向的力，將0°單層往外拉，90°單層往里壓，得到相同的y方向變形，這樣就會(huì)在兩板中產(chǎn)生沿y方向的正應(yīng)力y1（拉應(yīng)力）和y2（壓應(yīng)力）。因?yàn)閷雍习鍍蓚?cè)是自由邊界，不能提供沿y方向的作用力，所以兩層中沿y方向的內(nèi)力就只能由層間相互作用來提供，這就形成了層間剪應(yīng)力zy

。正交鋪設(shè)層合板沒有拉剪耦合相應(yīng)，0°單層和90°單層都不會(huì)出現(xiàn)面內(nèi)剪切變形，因而沒有剪切變形需要協(xié)調(diào)，各層之間也不會(huì)出現(xiàn)協(xié)調(diào)剪切變形的層間剪應(yīng)力zx

。二、泊松耦合變形協(xié)調(diào)引起的層間剪應(yīng)力圖9.2泊松耦合變形協(xié)調(diào)引起層間剪應(yīng)力示意圖三、力矩平衡引起的層間正應(yīng)力

[0/90]層合板中的y方向的正應(yīng)力y1和y2與層間剪應(yīng)力tzy

沒有作用在同一平面內(nèi)，從而形成一個(gè)附加力矩，為了平衡該力矩必須產(chǎn)生層間正應(yīng)力z。已有的研究表明，該層間正應(yīng)力z在層合板靠近自由邊緣處可能達(dá)到無窮大，z的分布特征是形成的力矩正好與y方向的正應(yīng)力形成的力矩平衡。yztzysyzz9.2單向拉伸下對(duì)稱層合板的彈性力學(xué)基本方程考慮一個(gè)有限寬度的對(duì)稱層合板，選取xOy坐標(biāo)面為對(duì)稱面，而z軸為材料主軸，如圖9.3所示。把層合板的每一個(gè)單層視為宏觀勻質(zhì)的各向異性體，各個(gè)單層之間存在一個(gè)理想的物理非連續(xù)界面。當(dāng)在層合板的兩端沿x方向承受均勻拉伸時(shí)，界面上產(chǎn)生層間應(yīng)力。一般情況下，界面上有層間正應(yīng)力和切應(yīng)力三個(gè)分量：sz，tzx，tzy。因此對(duì)各個(gè)單層要從三維應(yīng)力狀態(tài)出發(fā)進(jìn)行彈性力學(xué)分析。圖9.3有限寬度的層合板在以xOy坐標(biāo)面為對(duì)稱的層合板中，任一個(gè)單層中可視為以z軸為彈性主方向的單對(duì)稱材料，其應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系可按角度鋪設(shè)單對(duì)稱材料表達(dá)為（9.1）

應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系為（9.2）

由于在層合板中各個(gè)單層的幾何、彈性特性和受力形式沿x方向都是均勻分布的，即不隨x而變化，因此在層合板兩端承受均勻軸向拉伸作用力時(shí)，所有應(yīng)力與x無關(guān)，應(yīng)變也與x無關(guān)。假設(shè)層合板各單層的任意點(diǎn)沿x方向的應(yīng)變?yōu)槌?shù)，即

并設(shè)層合板中的其他應(yīng)變分量與x無關(guān)。因此，各個(gè)鋪層的位移場(chǎng)可表示為（9.3）

利用應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系可得應(yīng)變場(chǎng)為（9.4）

再根據(jù)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系式（9.1）可得應(yīng)力分量為（9.5a）

（9.5b）

不考慮體積力，并注意到所有應(yīng)力分量與x無關(guān)，可把靜力平衡微分方程簡化為（9.6）

把式（9.5）代入式（9.6）就得到用位移表示任意一個(gè)單層的平衡微分方程為（9.7）

再考慮層合板的應(yīng)力邊界條件。在層合板的最外層，上、下兩表面上邊界條件為（9.8）

在層合板的兩側(cè)自由邊緣上邊界條件為（9.9）

另外，還要考慮相鄰兩個(gè)單層在其界面上滿足靜力和位移連續(xù)條件，即（9.10）

（9.11）

從單層的位移控制微分方程式（9.7）可知，它僅包含對(duì)y和z兩個(gè)坐標(biāo)的偏微分，所以此模型屬于準(zhǔn)三維力學(xué)模型。由于在一般情況下聯(lián)立偏微分方程（9.7）得不到封閉解析解，因此就提出了求解層間應(yīng)力問題的一些方法，主要有：

①直接解法。它是利用解析法和數(shù)值法直接求解微分方程的邊值問題，包括復(fù)變函數(shù)解法、級(jí)數(shù)解法、攝動(dòng)法和有限差分法等。②變分解法。它是建立在變分原理基礎(chǔ)上的近似解法，它包括有限元法、瑞利—李茲法、伽遼金法等。③混合解法。它是將直接解法與變分法結(jié)合起來求解問題，例如邊界層法與瑞利—李茲法的組合等。這些近似解法比較實(shí)用，但也存在一些問題，主要是不能精確滿足所有給定的邊界條件和界面連續(xù)條件，對(duì)于一邊界值問題，若采用不同近似解法有時(shí)將得到不同的結(jié)果。9.3斜交對(duì)稱層合板層間應(yīng)力的近似解法斜交對(duì)稱層合板只沿x方向承受均勻拉伸時(shí)（見圖9.3），各單層在空間應(yīng)力狀態(tài)中只有sx,txy,txz，和三個(gè)應(yīng)力分量起主要作用，而sy,sz,tyz，和可以忽略。因此對(duì)這種層合板進(jìn)行層間應(yīng)力分析時(shí)間可假設(shè)（9.12）

這種情況下平衡微分方程式（9.6）中第2，3式自然滿足，有效方程只剩第1式。由應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系式（9.5）中的第2，3，4式，可得（9.13）

由此可解得（9.14）

式中（9.15）

將式（9.15）代入應(yīng)變表達(dá)式（9.4）中，可把應(yīng)變分量表示如下：（9.16）

式中（9.17）

利用以上公式可將應(yīng)力分量式（9.4）表示為（9.18）

將以上結(jié)果代入平衡微分方程式（9.6）或式（9.7）中的第1式，則得一個(gè)位移函數(shù)U(y，z)的偏微分方程為（9.19）

式中

（9.20）

由此可見，只要從方程式（9.19）求解出適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)U，就可求得層合板的位移和應(yīng)力。這就是說，把解決斜交對(duì)稱層合板沿x方向承受載荷時(shí)的空間問題歸結(jié)為在邊界條件和連續(xù)條件式（9.8）~式（9.11）的約束下求解方程式（9.19）。為了研究層間應(yīng)力的變化規(guī)律，考慮四層斜交對(duì)稱層合板

單層厚度為t1，板厚h=4t1，板寬度為2b，且取b=8t1。采用高模量石墨/環(huán)氧復(fù)合材料，彈性常數(shù)為E11=138GPa，E22=E33=14.5GPaGPa

按近似彈性理論解和有限差分解法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可以得到各單層的應(yīng)力。圖9.4表示了在單層+45°和–45°之間的層間應(yīng)力隨y/b的變化情況?？梢钥闯?，自由邊緣效應(yīng)的邊界層寬度相當(dāng)于層合板的厚度。圖9.445°層間應(yīng)力的變化

9.4斜交對(duì)稱和正交層合板層間應(yīng)力的完全解對(duì)于斜交對(duì)稱和正交層合板，可以用解析法得到層間應(yīng)力場(chǎng)的完全解。按三維應(yīng)力狀態(tài)分析層合板，建立整體力和力矩的平衡關(guān)系，假定層間應(yīng)力的表達(dá)形式，應(yīng)用最小余能原理進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，確定有關(guān)參數(shù)?？紤]一種對(duì)稱的斜交或正交的層合板，其形狀和尺寸標(biāo)記如圖9.5所示，兩側(cè)面為自由邊界，在x方向承受均勻拉伸。為了簡化分析三維應(yīng)力狀態(tài)下的平衡問題，提出以下假設(shè)：①每個(gè)單層作為均質(zhì)宏觀各向異性體，其彈性性質(zhì)可用三維有效彈性模量表征；②遠(yuǎn)離自由邊緣的中間區(qū)域，用經(jīng)典層合板理論解是有效的，即板中無層間應(yīng)力；③離開載荷作用力，即在層合板中段，應(yīng)力與坐標(biāo)x無關(guān)。這就是說，層間應(yīng)力只能在層合板自由邊緣附近區(qū)域產(chǎn)生。圖9.6層合板中選取的平行四面體為了建立層合板整體平衡條件，適當(dāng)選取平行四面體，如圖9.6所示?？紤]到層合板結(jié)構(gòu)和受載的對(duì)稱性，只分析層合板的四分之一區(qū)域。選擇坐標(biāo)Oxy，y方向以自由邊緣和中心平面作為兩個(gè)相對(duì)面。因?yàn)閷雍习鍛?yīng)力場(chǎng)不隨坐標(biāo)x變化，故x方向側(cè)面位置就可任意選取兩個(gè)相對(duì)平面。對(duì)z方向側(cè)邊位置的選擇，將由所分析的層間界面而定，其厚度為t表示。面的應(yīng)力大小相互對(duì)等，即

這兩個(gè)相對(duì)面的合力分量大小對(duì)應(yīng)相等，則有（9.21）

根據(jù)整體的靜力平衡條件，可以導(dǎo)得平衡方程：（9.22）

（9.23）

在各個(gè)單層內(nèi)，假定應(yīng)力與y和z的函數(shù)關(guān)系是可以分離的，可寫為（9.24）

在層合板中，第k層的單層應(yīng)力分量寫為（9.25）

代入平衡微分方程式（9.6）后，就可得到下列方程組：（9.26）

為使方程式（9.26）恒成立，可以按下列關(guān)系式選擇各個(gè)應(yīng)力函數(shù)：（9.27）

（9.28）

首先假定離開自由邊緣的邊界區(qū)域，經(jīng)典層合板理論解是有效的，這表明應(yīng)力

和

不隨坐標(biāo)z變化，而對(duì)應(yīng)的

可取為常量。再利用式（9.28）可以將

表示為

（9.29）

對(duì)于函數(shù)

的確定，必須考慮應(yīng)力的衰減性和整體平衡條件。為此可以選擇指數(shù)函數(shù)來表示

（9.30）

式中，和是待定常數(shù)。根據(jù)自由邊緣條件，即

，可以確定出常數(shù)之間的關(guān)系為（9.31）由于層合板的鋪層、幾何形狀和載荷都具有對(duì)稱性，可利用對(duì)稱條件簡化計(jì)算。應(yīng)力場(chǎng)沿x方向是不變的，只按一單位長度計(jì)算就行了。在層合板內(nèi)，各單層之間的層間應(yīng)力必須保持連續(xù)性，在層合板的底面和頂面上層間應(yīng)力趨于零。按應(yīng)力分量來計(jì)算各單層的余能，疊加后得到層合板總余能。根據(jù)連續(xù)性和邊界條件，再利用最小余能原理，使可確定出各個(gè)常數(shù)。為了說明層間應(yīng)力的變化規(guī)律，以石墨纖維/環(huán)氧樹脂對(duì)稱層合板

作為實(shí)例，單層的基本彈性常數(shù)如常所述。通過數(shù)值計(jì)算和應(yīng)力分析，可以確定各個(gè)單層的應(yīng)力函數(shù)。求得的層間正應(yīng)力

隨y/b的變化趨勢(shì)