第九章-層間應力

第9章

層間應力

經典層合板的理論假定了所有單層處于平面應力狀態(tài)，不考慮層間應力（面外應力）分量，層合板的應力分析比較簡單。但無論是機械加載還是濕熱加載，層合板中都會產生層間應力，尤其是在板邊緣附近層間應力分布復雜，變化梯度大。層間應力往往引起層合板邊緣脫黏，形成層間裂紋，造成整個層合板的剛度和強度下降，使結構過早失效。經典層合板的理論不能完全確定引起復合材料破壞的應力，它無法解決層間應力這類三維各向異性彈性力學問題。本章主要介紹層合板產生層間應力的原因和基于彈性力學的一些層間應力的分析方法。9.1層間應力的定性分析

層合板一般由不同鋪設方向的單層組成，各單層的彈性性能不同，受力下的變形也不同。但是層合板中的各單層相互黏結成一體，層和層之間變形相互制約和協調，于是在層間產生相應的正應力和剪應力，即層間應力。以下通過對層合板和[0/90]層合板的拉剪耦合變形協調和泊松耦合變形協調分析以及力矩平衡原理，解釋層間應力產生的原因。

一、拉剪耦合變形協調引起的層間剪應力

一塊材料和厚度相同的斜交鋪設層合板，承受拉伸應力x，若將單層分別考慮，各層除了有線應變x和y外，由于拉剪耦合效應的存在，還會出現剪切應變xy，如圖9.1所示。由式（3.26）可知，+和–層的

相差一個負號，因此–層xy1與+層的xy2大小相等，方向相反。黏合在一起的層合板的A16等于零，無拉剪耦合，層合板無剪切變形，因此層的剪切變形必須相互協調為零。這一效果是通過各單層相互對對方施加剪應力來實現的，又因為在層合板的自由邊緣無剪力，因此只能靠層間剪切應力zx來提供。相等，因此兩個相反方向鋪層的正應變x，y相同，+和–層的

圖9.1拉剪耦合變形協調引起層間剪應力示意圖同理，一塊材料和厚度相同的斜交鋪設層合板，只承受剪切應力xy，由于剪拉耦合效應的存在，+和–層中會出現耦合線應變x和y，黏合在一起的層合板無軸向變形，為協調軸向變形，在層間會產生層間剪切應力zx和zy。層間應力也會在正交鋪設層合板中出現。設有一塊[0/90]層合板承受有平均軸向拉應力,如圖9.2所示。假如將0°單層和90°單層分別考慮，各自只受有x方向的正應力，且沿x方向的變形相同。由于0°單層和90°單層在y方向變形的泊松耦合效應不同，由式（3.12）可知0°單層沿y方向收縮較多，90°單層沿y方向收縮較少。為了保證兩單層黏層在一起后y方向變形協調一致，就需要通過0°單層和90°單層相互施加y方向的力，將0°單層往外拉，90°單層往里壓，得到相同的y方向變形，這樣就會在兩板中產生沿y方向的正應力y1（拉應力）和y2（壓應力）。因為層合板兩側是自由邊界，不能提供沿y方向的作用力，所以兩層中沿y方向的內力就只能由層間相互作用來提供，這就形成了層間剪應力zy

。正交鋪設層合板沒有拉剪耦合相應，0°單層和90°單層都不會出現面內剪切變形，因而沒有剪切變形需要協調，各層之間也不會出現協調剪切變形的層間剪應力zx

。二、泊松耦合變形協調引起的層間剪應力圖9.2泊松耦合變形協調引起層間剪應力示意圖三、力矩平衡引起的層間正應力

[0/90]層合板中的y方向的正應力y1和y2與層間剪應力tzy

沒有作用在同一平面內，從而形成一個附加力矩，為了平衡該力矩必須產生層間正應力z。已有的研究表明，該層間正應力z在層合板靠近自由邊緣處可能達到無窮大，z的分布特征是形成的力矩正好與y方向的正應力形成的力矩平衡。yztzysyzz9.2單向拉伸下對稱層合板的彈性力學基本方程考慮一個有限寬度的對稱層合板，選取xOy坐標面為對稱面，而z軸為材料主軸，如圖9.3所示。把層合板的每一個單層視為宏觀勻質的各向異性體，各個單層之間存在一個理想的物理非連續(xù)界面。當在層合板的兩端沿x方向承受均勻拉伸時，界面上產生層間應力。一般情況下，界面上有層間正應力和切應力三個分量：sz，tzx，tzy。因此對各個單層要從三維應力狀態(tài)出發(fā)進行彈性力學分析。圖9.3有限寬度的層合板在以xOy坐標面為對稱的層合板中，任一個單層中可視為以z軸為彈性主方向的單對稱材料，其應力—應變關系可按角度鋪設單對稱材料表達為（9.1）

應變與位移的幾何關系為（9.2）

由于在層合板中各個單層的幾何、彈性特性和受力形式沿x方向都是均勻分布的，即不隨x而變化，因此在層合板兩端承受均勻軸向拉伸作用力時，所有應力與x無關，應變也與x無關。假設層合板各單層的任意點沿x方向的應變?yōu)槌?，?/p>

并設層合板中的其他應變分量與x無關。因此，各個鋪層的位移場可表示為（9.3）

利用應變與位移的幾何關系可得應變場為（9.4）

再根據應力—應變關系式（9.1）可得應力分量為（9.5a）

（9.5b）

不考慮體積力，并注意到所有應力分量與x無關，可把靜力平衡微分方程簡化為（9.6）

把式（9.5）代入式（9.6）就得到用位移表示任意一個單層的平衡微分方程為（9.7）

再考慮層合板的應力邊界條件。在層合板的最外層，上、下兩表面上邊界條件為（9.8）

在層合板的兩側自由邊緣上邊界條件為（9.9）

另外，還要考慮相鄰兩個單層在其界面上滿足靜力和位移連續(xù)條件，即（9.10）

（9.11）

從單層的位移控制微分方程式（9.7）可知，它僅包含對y和z兩個坐標的偏微分，所以此模型屬于準三維力學模型。由于在一般情況下聯立偏微分方程（9.7）得不到封閉解析解，因此就提出了求解層間應力問題的一些方法，主要有：

①直接解法。它是利用解析法和數值法直接求解微分方程的邊值問題，包括復變函數解法、級數解法、攝動法和有限差分法等。②變分解法。它是建立在變分原理基礎上的近似解法，它包括有限元法、瑞利—李茲法、伽遼金法等。③混合解法。它是將直接解法與變分法結合起來求解問題，例如邊界層法與瑞利—李茲法的組合等。這些近似解法比較實用，但也存在一些問題，主要是不能精確滿足所有給定的邊界條件和界面連續(xù)條件，對于一邊界值問題，若采用不同近似解法有時將得到不同的結果。9.3斜交對稱層合板層間應力的近似解法斜交對稱層合板只沿x方向承受均勻拉伸時（見圖9.3），各單層在空間應力狀態(tài)中只有sx,txy,txz，和三個應力分量起主要作用，而sy,sz,tyz，和可以忽略。因此對這種層合板進行層間應力分析時間可假設（9.12）

這種情況下平衡微分方程式（9.6）中第2，3式自然滿足，有效方程只剩第1式。由應力—應變關系式（9.5）中的第2，3，4式，可得（9.13）

由此可解得（9.14）

式中（9.15）

將式（9.15）代入應變表達式（9.4）中，可把應變分量表示如下：（9.16）

式中（9.17）

利用以上公式可將應力分量式（9.4）表示為（9.18）

將以上結果代入平衡微分方程式（9.6）或式（9.7）中的第1式，則得一個位移函數U(y，z)的偏微分方程為（9.19）

式中

（9.20）

由此可見，只要從方程式（9.19）求解出適當的位移函數U，就可求得層合板的位移和應力。這就是說，把解決斜交對稱層合板沿x方向承受載荷時的空間問題歸結為在邊界條件和連續(xù)條件式（9.8）~式（9.11）的約束下求解方程式（9.19）。為了研究層間應力的變化規(guī)律，考慮四層斜交對稱層合板

單層厚度為t1，板厚h=4t1，板寬度為2b，且取b=8t1。采用高模量石墨/環(huán)氧復合材料，彈性常數為E11=138GPa，E22=E33=14.5GPaGPa

按近似彈性理論解和有限差分解法進行數值計算，可以得到各單層的應力。圖9.4表示了在單層+45°和–45°之間的層間應力隨y/b的變化情況。可以看出，自由邊緣效應的邊界層寬度相當于層合板的厚度。圖9.445°層間應力的變化

9.4斜交對稱和正交層合板層間應力的完全解對于斜交對稱和正交層合板，可以用解析法得到層間應力場的完全解。按三維應力狀態(tài)分析層合板，建立整體力和力矩的平衡關系，假定層間應力的表達形式，應用最小余能原理進行數值計算，確定有關參數?？紤]一種對稱的斜交或正交的層合板，其形狀和尺寸標記如圖9.5所示，兩側面為自由邊界，在x方向承受均勻拉伸。為了簡化分析三維應力狀態(tài)下的平衡問題，提出以下假設：①每個單層作為均質宏觀各向異性體，其彈性性質可用三維有效彈性模量表征；②遠離自由邊緣的中間區(qū)域，用經典層合板理論解是有效的，即板中無層間應力；③離開載荷作用力，即在層合板中段，應力與坐標x無關。這就是說，層間應力只能在層合板自由邊緣附近區(qū)域產生。圖9.6層合板中選取的平行四面體為了建立層合板整體平衡條件，適當選取平行四面體，如圖9.6所示?？紤]到層合板結構和受載的對稱性，只分析層合板的四分之一區(qū)域。選擇坐標Oxy，y方向以自由邊緣和中心平面作為兩個相對面。因為層合板應力場不隨坐標x變化，故x方向側面位置就可任意選取兩個相對平面。對z方向側邊位置的選擇，將由所分析的層間界面而定，其厚度為t表示。面的應力大小相互對等，即

這兩個相對面的合力分量大小對應相等，則有（9.21）

根據整體的靜力平衡條件，可以導得平衡方程：（9.22）

（9.23）

在各個單層內，假定應力與y和z的函數關系是可以分離的，可寫為（9.24）

在層合板中，第k層的單層應力分量寫為（9.25）

代入平衡微分方程式（9.6）后，就可得到下列方程組：（9.26）

為使方程式（9.26）恒成立，可以按下列關系式選擇各個應力函數：（9.27）

（9.28）

首先假定離開自由邊緣的邊界區(qū)域，經典層合板理論解是有效的，這表明應力

和

不隨坐標z變化，而對應的

可取為常量。再利用式（9.28）可以將

表示為

（9.29）

對于函數

的確定，必須考慮應力的衰減性和整體平衡條件。為此可以選擇指數函數來表示

（9.30）

式中，和是待定常數。根據自由邊緣條件，即

，可以確定出常數之間的關系為（9.31）由于層合板的鋪層、幾何形狀和載荷都具有對稱性，可利用對稱條件簡化計算。應力場沿x方向是不變的，只按一單位長度計算就行了。在層合板內，各單層之間的層間應力必須保持連續(xù)性，在層合板的底面和頂面上層間應力趨于零。按應力分量來計算各單層的余能，疊加后得到層合板總余能。根據連續(xù)性和邊界條件，再利用最小余能原理，使可確定出各個常數。為了說明層間應力的變化規(guī)律，以石墨纖維/環(huán)氧樹脂對稱層合板

作為實例，單層的基本彈性常數如常所述。通過數值計算和應力分析，可以確定各個單層的應力函數。求得的層間正應力

隨y/b的變化趨勢