第一章 第七節(jié) 測(cè)量與地圖學(xué)基礎(chǔ)知識(shí) 誤差與精度的基本知識(shí)

2023/2/41第七節(jié)誤差與精度的基本知識(shí)第一章

測(cè)量與地圖學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)一、測(cè)量誤差的概念與分類（一）測(cè)量誤差的概念及其分類在測(cè)量工作中，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)某一未知量，如某一段距離，某一角度或某兩點(diǎn)間的高程進(jìn)行多次重復(fù)觀測(cè)時(shí)，所得的結(jié)果往往是不一致的。又若已知由幾個(gè)觀測(cè)值構(gòu)成的某一函數(shù)應(yīng)等于某一理論值，而實(shí)際觀測(cè)值代入上述函數(shù)計(jì)算時(shí)通常與理論值不相等。例如，從幾何上知道一平面三角形三內(nèi)角之和應(yīng)等于180，但如果對(duì)這三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行觀測(cè)，則三內(nèi)角觀測(cè)值之和常常不等于180，而有差異。這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為觀測(cè)值（或其函數(shù)）與未知量的真值（或其函數(shù)的理論值）之間存在差值，這種差值稱為測(cè)量誤差。即 測(cè)量誤差＝觀測(cè)值-真值2023/2/42測(cè)量誤差的產(chǎn)生，概括起來有以下三個(gè)方面的原因：首先，是觀測(cè)者感覺器官的鑒別能力和技術(shù)水平的限制，在進(jìn)行儀器的安置，瞄準(zhǔn)，讀數(shù)等工作時(shí)都會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。與此同時(shí)，工作態(tài)度而造成的某種疏忽也會(huì)對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響。其次，觀測(cè)使用的儀器工具都有一定的精密度，儀器本身也含有一定的誤差，如鋼尺的最小分劃以下的尾數(shù)就難以保證其準(zhǔn)確性，又如水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不水平必然會(huì)對(duì)水準(zhǔn)測(cè)量觀測(cè)結(jié)果帶來誤差。再有，在觀測(cè)過程中所處的外界自然條件，如地形，溫度，濕度，風(fēng)力，大氣折光等因素都會(huì)給觀測(cè)值帶來誤差。2023/2/43在實(shí)際測(cè)量工作中，上述觀測(cè)者、儀器和客觀環(huán)境三個(gè)方面是引起測(cè)量誤差的主要因素，統(tǒng)稱“觀測(cè)條件”。觀測(cè)成果的精確度稱為“精度”。不難想象，觀察條件的好壞與觀測(cè)成果的質(zhì)量有這密切的聯(lián)系。當(dāng)觀測(cè)條件好一些，觀測(cè)中所產(chǎn)生的誤差平均說來就可能相應(yīng)地小一些，因而觀測(cè)成果的質(zhì)量就會(huì)高一些。反之，觀測(cè)條件差一些，觀測(cè)成果的質(zhì)量就會(huì)低一些。如果觀測(cè)條件相同，觀測(cè)成果的質(zhì)量也就可以說是相同的。所以說，觀測(cè)成果的質(zhì)量高低也就客觀的反映了觀測(cè)條件的優(yōu)劣。在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行的觀測(cè)，稱為同精度觀測(cè)。如有一個(gè)人或具有同等技術(shù)水平和工作態(tài)度的人使用相同精度的儀器，以同樣的方法，在同一客觀環(huán)境下所進(jìn)行的觀測(cè)稱為“同精度觀測(cè)”。反之，各個(gè)觀測(cè)使用不同精度的儀器，或觀測(cè)方法技術(shù)水平不同，或客觀環(huán)境差別較大，則是不同精度的觀測(cè)。2023/2/44測(cè)量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同，可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差以及粗差。1、系統(tǒng)誤差

這種誤差隨著觀測(cè)量的增多而逐漸累積。例如，鋼尺量距時(shí)，鋼尺的名義長(zhǎng)度為30ｍ，而鑒定后的實(shí)際長(zhǎng)度為30.005ｍ，每量一個(gè)整尺，就比實(shí)際長(zhǎng)度小0.005ｍ，這種誤差的大小與所量直線的長(zhǎng)度成正比，而且正負(fù)號(hào)始終一致；又如，水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管水準(zhǔn)軸而引起的高差誤差等。系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的危害性極大，但是，由于系統(tǒng)誤差是有規(guī)律性的而可以設(shè)法將它消除或減弱。例如，鋼尺量距時(shí)，可以用尺長(zhǎng)方程式對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行尺長(zhǎng)改正；又如水準(zhǔn)測(cè)量中用前后視距相等的辦法來減少儀器視準(zhǔn)軸不平行與水準(zhǔn)管軸給測(cè)量結(jié)果帶來的影響；經(jīng)緯儀測(cè)角時(shí)用盤左盤右分別觀測(cè)取平均值的方法可以減弱視準(zhǔn)軸不垂直于橫軸的影響等。

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一固定量進(jìn)行多次觀測(cè)，如果測(cè)量誤差在正負(fù)號(hào)及量的大小表現(xiàn)出一致性的傾向，即保持為常數(shù)或按一定的規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。2023/2/452、偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一固定量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果測(cè)量誤差在正負(fù)號(hào)及數(shù)值上都沒有一定的規(guī)律性，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”。例如量距和水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)小數(shù)的估讀誤差等，這類誤差稱為偶然誤差。在測(cè)量工作中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時(shí)存在的，由于系統(tǒng)誤差具有積累性，它對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響尤為顯著，所以在測(cè)量時(shí)要利用各種方法消除系統(tǒng)誤差的影響，從而使測(cè)量誤差中偶然誤差處于主導(dǎo)地位。3、粗差在測(cè)量工作中，除了不可避免的誤差外，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，或稱為粗差。如測(cè)量人員不正確地操作儀器，以及觀測(cè)過程中測(cè)錯(cuò)，讀錯(cuò)，記錯(cuò)等，是由于觀測(cè)者疏忽而造成的。粗差在測(cè)量結(jié)果中是不允許存在的。為了杜絕粗差，除了認(rèn)真作業(yè)外，常采用一些檢核措施，如重復(fù)觀測(cè)和多余觀測(cè)。（二）、處理原則粗差——細(xì)心，多余觀測(cè)系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測(cè)，制定限差2023/2/46（二）、處理原則系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測(cè)，制定限差粗差——細(xì)心，多余觀測(cè)2023/2/47在觀測(cè)結(jié)果中，主要存在的是偶然誤差，偶然誤差是不能用計(jì)算改正或用一定的觀測(cè)方法簡(jiǎn)單地加以消除。為了減少偶然誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，合理地處理觀測(cè)數(shù)據(jù)，有必要了解偶然誤差的特性。下面介紹一個(gè)測(cè)量中的例子：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)三角形的內(nèi)角和進(jìn)行觀測(cè)，三角形內(nèi)角之和Ｌ值不等于其真值180°，差值△稱為閉合差或真誤差，即

i＝Li－180°（i＝1,2,…n）（1-7-1）現(xiàn)觀測(cè)了217個(gè)三角形，即n＝217，由上式計(jì)算的三角形內(nèi)角和的真誤差共計(jì)217個(gè)?，F(xiàn)按每3″為一區(qū)間，以誤差的大小及其正負(fù)號(hào)，分別統(tǒng)計(jì)個(gè)誤差區(qū)間的個(gè)數(shù)υ及相對(duì)個(gè)數(shù)υ／217，結(jié)果如表1-7-1。（三）偶然誤差特性2023/2/482023/2/49

表1-7-1可以看出：⑴小誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)或百分比比大誤差的多；⑵絕對(duì)值相同的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)或百分比大致相等；⑶最大誤差不超過某一定值（本例為27″）。通過大量實(shí)踐的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以總結(jié)出偶然誤差具有以下統(tǒng)計(jì)特性：1、在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定限度，或者說超過該限值的誤差的概率為零；2、絕對(duì)值較大的誤差比絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的概率大；3、絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；4、同一量的等精度觀測(cè)，隨著觀測(cè)次數(shù)ｎ的無限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨于零，即（1-7-2）式（1-7-2）表示偶然誤差的數(shù)學(xué)期望等于零。2023/2/410上述偶然誤差的第一個(gè)特性說明誤差出現(xiàn)的范圍；第二個(gè)特性說明誤差絕對(duì)值大小的規(guī)律；第三個(gè)特性說明誤差符號(hào)出現(xiàn)的規(guī)律；第四個(gè)特性可由第三個(gè)特性導(dǎo)出，它說明偶然誤差具有抵償性。測(cè)量誤差的分布還可以用直觀的圖形來表示，如圖1-7-1所示。圖中的橫坐標(biāo)表示誤差的大小，在橫坐標(biāo)軸上截取各誤差區(qū)間，縱坐標(biāo)表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)υi／ｎ除以區(qū)間的間隔，這種圖稱為直方圖。直方圖上每一誤差區(qū)間上的長(zhǎng)方形面積代表該區(qū)間誤差出現(xiàn)的頻率，圖中有斜線的矩形面積就代表誤差出現(xiàn)在+6″～+9″區(qū)間的頻率為0.069，顯然，圖中矩形面積之和為1。2023/2/411當(dāng)觀測(cè)次數(shù)愈來愈多，誤差出現(xiàn)在個(gè)區(qū)間的頻率將趨于一個(gè)穩(wěn)定值，也就是說在一定的條件下，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的誤差分布。隨著觀測(cè)次數(shù)的足夠多，如果把誤差的區(qū)間間隔無限縮小，圖1-7-1中的各矩形的上部折線將變?yōu)橐粭l光滑曲線，如圖1-7-2所示，稱為誤差分布曲線。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，該曲線稱為正態(tài)分布曲線圖1-7-1測(cè)量誤差的分布圖1-7-2誤差分布曲線2023/2/412其曲線方程為：

式（1-7-3）也稱概率分布密度，式中參數(shù)

σ是觀測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，也稱方差，它是評(píng)定測(cè)量精度的一個(gè)重要指標(biāo)。（1-7-3）2023/2/413（三）測(cè)量精度在測(cè)量工作中，衡量觀測(cè)值的精度，通常采用以下幾種精度指標(biāo)：1、中誤差、平均誤差、允許誤差和極限誤差對(duì)一組未知量ｘ作等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值為Ｌi，真誤差為Δi，（i＝1，2，3，…），該組觀測(cè)值的中誤差用下式表示：

當(dāng)觀測(cè)次數(shù)ｎ→∞時(shí)，顯然ｍ將趣近于σ，或者說中誤差是ｎ為有限值時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差的估值（近似值）。即中誤差時(shí)衡量一組同精度觀測(cè)在ｎ為有限個(gè)數(shù)時(shí)的一個(gè)精度指標(biāo)。。必須指出，同精度觀測(cè)具有相同的中誤差，而其真誤差彼此是不會(huì)相等的。（1-7-4）2023/2/4142023/2/415〖例〗設(shè)對(duì)某一三角形游用兩種不同的精度分別觀測(cè)了10次，其三角形內(nèi)角和的真誤差為：第一組：+2″,－3″,+4″,+1″,0,-2″,-1″,,+2″,+3″,+4″第二組：0,-2″,+6″,+2″,+8″,-3″,+1″,+7″,-1″,+3″；這兩組觀測(cè)值（三角形內(nèi)角和）的中誤差計(jì)算如下：

比較m1、m2的值可知,第一組的觀測(cè)精度比第二組的觀測(cè)精度高。2023/2/416一般來說，被觀測(cè)值的真值是不可知的，不能直接使用式（1-7-4）來計(jì)算中誤差，通常采用算術(shù)平均來代替真值，則精度可用下式表達(dá)：

式中ｘi為觀測(cè)值，ｖi為改正數(shù)，ｎ為觀測(cè)個(gè)數(shù)。式（1-7-5）即為利用觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算中誤差的公式，稱為白賽爾公式。（1-7-5）2023/2/417在測(cè)量工作中，對(duì)于評(píng)定一組同精度觀測(cè)值的精度而言，為了計(jì)算方便，歐美國(guó)家常采用下述精度指標(biāo)：

θ稱為平均誤差，它是誤差絕對(duì)值的平均值。根據(jù)誤差理論，中誤差和平均誤差有以下近似的數(shù)量關(guān)系：

θ≈0.7979ｍ（1-7-6）（1-7-7）由偶然誤差的第一特性說明，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。根據(jù)誤差理論，大于中誤差的真誤差出現(xiàn)的概率為31.7％，大于兩倍中誤差的真誤差出現(xiàn)的概率為4.5％，大于三倍中誤差的真誤差出現(xiàn)的概率僅占3‰?？梢哉J(rèn)為，大于三倍中誤差的偶然誤差實(shí)際上是不可能出現(xiàn)的。故通常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限誤差：（1-7-8）2023/2/418實(shí)際測(cè)量工作中是不允許存在較大誤差的，通常測(cè)量規(guī)范中規(guī)定兩倍（或三倍）中誤差作為偶然誤差的允許值，稱為允許誤差：

或

大于允許誤差的觀測(cè)值被認(rèn)為是不可靠的，應(yīng)于剔除，重新新觀測(cè)。（1-7-9）（1-7-9）′2023/2/419真誤差和中誤差都是絕對(duì)誤差，評(píng)定精度時(shí)，單使用絕對(duì)誤差有時(shí)還不能反映測(cè)量的精度。例如，丈量?jī)蓷l直線長(zhǎng)度分別為100ｍ和50ｍ，其中誤差都是±0.01ｍ，顯然不能認(rèn)為兩者的觀測(cè)精度是相同的。為此，利用絕對(duì)誤差和觀測(cè)值的比值Ｋ來評(píng)定精度，并要求其分之為1： （1-7-10）Ｋ值稱為相對(duì)誤差，若式中ｍ為中誤差則Ｋ稱為相對(duì)中誤差。2、相對(duì)誤差2023/2/420上例中：

Ｋ1＜Ｋ2，前者精度比后者高。值得指出的是，對(duì)于角度而言，測(cè)角誤差與角度的大小無關(guān)，不能用相對(duì)誤差來衡量測(cè)角精度。2023/2/421前面已經(jīng)敘述了一組同精度觀測(cè)值的精度評(píng)定問題。但是在實(shí)際工作中許多未知量不可能或者不便于直接觀測(cè)，而是由一些直接觀測(cè)值根據(jù)一定函數(shù)關(guān)系計(jì)算而得。例如，欲測(cè)定兩點(diǎn)間的高差h，可由直接觀測(cè)的豎直角α和水平距離D以函數(shù)關(guān)系示 來計(jì)算。顯然函數(shù)ｈ的中誤差與觀測(cè)值D和存在一定的關(guān)系，闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。設(shè)有函數(shù)（1-7-11）式中 為獨(dú)立觀測(cè)值， 已知其中誤差為，求不便直接觀測(cè)的函數(shù)Z的中誤差。二、誤差傳播定律2023/2/422當(dāng)xi具有真誤差△xi時(shí)，函數(shù)Ｚ相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差△Z，△xi和△Z都是小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的微小變化和函數(shù)的微小變化之間的關(guān)系，可以近視地用函數(shù)全微分來表達(dá)，并通過用△xi和△Z取代微分符號(hào)ｄｘi和ｄZ，即

式中 （i＝1，2，3，…，n）為函數(shù)值對(duì)各自變量的偏導(dǎo)數(shù)。（1-5-12）2023/2/423設(shè) ，（i＝1，2，3，…，n），則式（1-7-12）可以寫成：

為求得函數(shù)與觀測(cè)值之間的中誤差關(guān)系式，設(shè)想進(jìn)行了Ｋ次觀測(cè)，則可以寫出Ｋ個(gè)式子：（1-7-13）2023/2/424將上面各式分別取平方后求和，然后兩端各除以Ｋ得：

設(shè)各觀測(cè)值xi為獨(dú)立觀測(cè)值，則△xi·△xj當(dāng)i＝j(luò)時(shí)亦為偶然誤差,根據(jù)偶然誤差的第四個(gè)特性,式（1-7-14）中最末一項(xiàng)當(dāng)Ｋ→∞時(shí)趣近于零，即：故（1-7-14）式可以寫成：（1-7-14）2023/2/425根據(jù)中誤差的定義，上式可以寫成：當(dāng)認(rèn)為Ｋ為有限值時(shí)，寫成中誤差形式：即

上式即為由獨(dú)立觀測(cè)值計(jì)算函數(shù)中誤差的一般形式。（1-7-15）2023/2/4261、水準(zhǔn)測(cè)量精度設(shè)在Ａ、Ｂ兩點(diǎn)間用水準(zhǔn)儀觀測(cè)了ｎ個(gè)測(cè)站，則Ａ、Ｂ兩點(diǎn)間的高差為：ｈ＝ｈ1＋ｈ2＋…＋ｈn設(shè)個(gè)測(cè)站為等精度觀測(cè)，其中誤差為ｍ站，由（1-7-15）式可知Ａ、Ｂ間的高差的中誤差為：

三、應(yīng)用舉例（1-7-16）水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，當(dāng)各測(cè)站高差的觀測(cè)精度基本相同時(shí)，水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差與測(cè)站數(shù)的平方根成正比；同樣可知，當(dāng)各測(cè)站距離大致相等時(shí)，高差的中誤差與距離的平方根成正比，即：或式中，Ｌ為Ａ、Ｂ的總長(zhǎng)，ｌ為各測(cè)站間的距離，ｍ公里是每公里路線長(zhǎng)的高差中誤差。即：2023/2/4272、由三角形閉合差計(jì)算測(cè)角精度設(shè)三角形的內(nèi)角和為Ｌi，三內(nèi)角的觀測(cè)值分別為 ，則：三角形的閉合差 ，其內(nèi)角和閉合差的中誤差為：故，根據(jù)誤差傳播定律：所以：

（1-7-17）(1-7-17）式稱為菲列羅公式，該式是用真誤差Ｗi來計(jì)算測(cè)角中誤差的，它可以用來檢驗(yàn)經(jīng)緯儀的