第一章 第七節(jié) 測量與地圖學基礎(chǔ)知識 誤差與精度的基本知識

2023/2/41第七節(jié)誤差與精度的基本知識第一章

測量與地圖學基礎(chǔ)知識一、測量誤差的概念與分類（一）測量誤差的概念及其分類在測量工作中，我們發(fā)現(xiàn)當某一未知量，如某一段距離，某一角度或某兩點間的高程進行多次重復(fù)觀測時，所得的結(jié)果往往是不一致的。又若已知由幾個觀測值構(gòu)成的某一函數(shù)應(yīng)等于某一理論值，而實際觀測值代入上述函數(shù)計算時通常與理論值不相等。例如，從幾何上知道一平面三角形三內(nèi)角之和應(yīng)等于180，但如果對這三個內(nèi)角進行觀測，則三內(nèi)角觀測值之和常常不等于180，而有差異。這種差異實質(zhì)上表現(xiàn)為觀測值（或其函數(shù)）與未知量的真值（或其函數(shù)的理論值）之間存在差值，這種差值稱為測量誤差。即 測量誤差＝觀測值-真值2023/2/42測量誤差的產(chǎn)生，概括起來有以下三個方面的原因：首先，是觀測者感覺器官的鑒別能力和技術(shù)水平的限制，在進行儀器的安置，瞄準，讀數(shù)等工作時都會產(chǎn)生一定的誤差。與此同時，工作態(tài)度而造成的某種疏忽也會對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響。其次，觀測使用的儀器工具都有一定的精密度，儀器本身也含有一定的誤差，如鋼尺的最小分劃以下的尾數(shù)就難以保證其準確性，又如水準測量時水準儀的視準軸不水平必然會對水準測量觀測結(jié)果帶來誤差。再有，在觀測過程中所處的外界自然條件，如地形，溫度，濕度，風力，大氣折光等因素都會給觀測值帶來誤差。2023/2/43在實際測量工作中，上述觀測者、儀器和客觀環(huán)境三個方面是引起測量誤差的主要因素，統(tǒng)稱“觀測條件”。觀測成果的精確度稱為“精度”。不難想象，觀察條件的好壞與觀測成果的質(zhì)量有這密切的聯(lián)系。當觀測條件好一些，觀測中所產(chǎn)生的誤差平均說來就可能相應(yīng)地小一些，因而觀測成果的質(zhì)量就會高一些。反之，觀測條件差一些，觀測成果的質(zhì)量就會低一些。如果觀測條件相同，觀測成果的質(zhì)量也就可以說是相同的。所以說，觀測成果的質(zhì)量高低也就客觀的反映了觀測條件的優(yōu)劣。在相同的觀測條件下進行的觀測，稱為同精度觀測。如有一個人或具有同等技術(shù)水平和工作態(tài)度的人使用相同精度的儀器，以同樣的方法，在同一客觀環(huán)境下所進行的觀測稱為“同精度觀測”。反之，各個觀測使用不同精度的儀器，或觀測方法技術(shù)水平不同，或客觀環(huán)境差別較大，則是不同精度的觀測。2023/2/44測量誤差根據(jù)其性質(zhì)不同，可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差以及粗差。1、系統(tǒng)誤差

這種誤差隨著觀測量的增多而逐漸累積。例如，鋼尺量距時，鋼尺的名義長度為30ｍ，而鑒定后的實際長度為30.005ｍ，每量一個整尺，就比實際長度小0.005ｍ，這種誤差的大小與所量直線的長度成正比，而且正負號始終一致；又如，水準測量時，水準儀的視準軸不平行于水準管水準軸而引起的高差誤差等。系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的危害性極大，但是，由于系統(tǒng)誤差是有規(guī)律性的而可以設(shè)法將它消除或減弱。例如，鋼尺量距時，可以用尺長方程式對測量結(jié)果進行尺長改正；又如水準測量中用前后視距相等的辦法來減少儀器視準軸不平行與水準管軸給測量結(jié)果帶來的影響；經(jīng)緯儀測角時用盤左盤右分別觀測取平均值的方法可以減弱視準軸不垂直于橫軸的影響等。

在相同的觀測條件下，對某一固定量進行多次觀測，如果測量誤差在正負號及量的大小表現(xiàn)出一致性的傾向，即保持為常數(shù)或按一定的規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。2023/2/452、偶然誤差在相同的觀測條件下，對某一固定量進行一系列觀測，如果測量誤差在正負號及數(shù)值上都沒有一定的規(guī)律性，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計規(guī)律”。例如量距和水準測量時小數(shù)的估讀誤差等，這類誤差稱為偶然誤差。在測量工作中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時存在的，由于系統(tǒng)誤差具有積累性，它對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，所以在測量時要利用各種方法消除系統(tǒng)誤差的影響，從而使測量誤差中偶然誤差處于主導(dǎo)地位。3、粗差在測量工作中，除了不可避免的誤差外，有時還會出現(xiàn)錯誤，或稱為粗差。如測量人員不正確地操作儀器，以及觀測過程中測錯，讀錯，記錯等，是由于觀測者疏忽而造成的。粗差在測量結(jié)果中是不允許存在的。為了杜絕粗差，除了認真作業(yè)外，常采用一些檢核措施，如重復(fù)觀測和多余觀測。（二）、處理原則粗差——細心，多余觀測系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差2023/2/46（二）、處理原則系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差粗差——細心，多余觀測2023/2/47在觀測結(jié)果中，主要存在的是偶然誤差，偶然誤差是不能用計算改正或用一定的觀測方法簡單地加以消除。為了減少偶然誤差對測量結(jié)果的影響，合理地處理觀測數(shù)據(jù)，有必要了解偶然誤差的特性。下面介紹一個測量中的例子：在相同的觀測條件下，對三角形的內(nèi)角和進行觀測，三角形內(nèi)角之和Ｌ值不等于其真值180°，差值△稱為閉合差或真誤差，即

i＝Li－180°（i＝1,2,…n）（1-7-1）現(xiàn)觀測了217個三角形，即n＝217，由上式計算的三角形內(nèi)角和的真誤差共計217個?，F(xiàn)按每3″為一區(qū)間，以誤差的大小及其正負號，分別統(tǒng)計個誤差區(qū)間的個數(shù)υ及相對個數(shù)υ／217，結(jié)果如表1-7-1。（三）偶然誤差特性2023/2/482023/2/49

表1-7-1可以看出：⑴小誤差出現(xiàn)的個數(shù)或百分比比大誤差的多；⑵絕對值相同的正負誤差的個數(shù)或百分比大致相等；⑶最大誤差不超過某一定值（本例為27″）。通過大量實踐的統(tǒng)計結(jié)果可以總結(jié)出偶然誤差具有以下統(tǒng)計特性：1、在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定限度，或者說超過該限值的誤差的概率為零；2、絕對值較大的誤差比絕對值較小的誤差出現(xiàn)的概率大；3、絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同；4、同一量的等精度觀測，隨著觀測次數(shù)ｎ的無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨于零，即（1-7-2）式（1-7-2）表示偶然誤差的數(shù)學期望等于零。2023/2/410上述偶然誤差的第一個特性說明誤差出現(xiàn)的范圍；第二個特性說明誤差絕對值大小的規(guī)律；第三個特性說明誤差符號出現(xiàn)的規(guī)律；第四個特性可由第三個特性導(dǎo)出，它說明偶然誤差具有抵償性。測量誤差的分布還可以用直觀的圖形來表示，如圖1-7-1所示。圖中的橫坐標表示誤差的大小，在橫坐標軸上截取各誤差區(qū)間，縱坐標表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的相對個數(shù)υi／ｎ除以區(qū)間的間隔，這種圖稱為直方圖。直方圖上每一誤差區(qū)間上的長方形面積代表該區(qū)間誤差出現(xiàn)的頻率，圖中有斜線的矩形面積就代表誤差出現(xiàn)在+6″～+9″區(qū)間的頻率為0.069，顯然，圖中矩形面積之和為1。2023/2/411當觀測次數(shù)愈來愈多，誤差出現(xiàn)在個區(qū)間的頻率將趨于一個穩(wěn)定值，也就是說在一定的條件下，對應(yīng)著一個確定的誤差分布。隨著觀測次數(shù)的足夠多，如果把誤差的區(qū)間間隔無限縮小，圖1-7-1中的各矩形的上部折線將變?yōu)橐粭l光滑曲線，如圖1-7-2所示，稱為誤差分布曲線。在數(shù)理統(tǒng)計中，該曲線稱為正態(tài)分布曲線圖1-7-1測量誤差的分布圖1-7-2誤差分布曲線2023/2/412其曲線方程為：

式（1-7-3）也稱概率分布密度，式中參數(shù)

σ是觀測誤差的標準差，也稱方差，它是評定測量精度的一個重要指標。（1-7-3）2023/2/413（三）測量精度在測量工作中，衡量觀測值的精度，通常采用以下幾種精度指標：1、中誤差、平均誤差、允許誤差和極限誤差對一組未知量ｘ作等精度觀測，其觀測值為Ｌi，真誤差為Δi，（i＝1，2，3，…），該組觀測值的中誤差用下式表示：

當觀測次數(shù)ｎ→∞時，顯然ｍ將趣近于σ，或者說中誤差是ｎ為有限值時標準差的估值（近似值）。即中誤差時衡量一組同精度觀測在ｎ為有限個數(shù)時的一個精度指標。。必須指出，同精度觀測具有相同的中誤差，而其真誤差彼此是不會相等的。（1-7-4）2023/2/4142023/2/415〖例〗設(shè)對某一三角形游用兩種不同的精度分別觀測了10次，其三角形內(nèi)角和的真誤差為：第一組：+2″,－3″,+4″,+1″,0,-2″,-1″,,+2″,+3″,+4″第二組：0,-2″,+6″,+2″,+8″,-3″,+1″,+7″,-1″,+3″；這兩組觀測值（三角形內(nèi)角和）的中誤差計算如下：

比較m1、m2的值可知,第一組的觀測精度比第二組的觀測精度高。2023/2/416一般來說，被觀測值的真值是不可知的，不能直接使用式（1-7-4）來計算中誤差，通常采用算術(shù)平均來代替真值，則精度可用下式表達：

式中ｘi為觀測值，ｖi為改正數(shù)，ｎ為觀測個數(shù)。式（1-7-5）即為利用觀測值改正數(shù)計算中誤差的公式，稱為白賽爾公式。（1-7-5）2023/2/417在測量工作中，對于評定一組同精度觀測值的精度而言，為了計算方便，歐美國家常采用下述精度指標：

θ稱為平均誤差，它是誤差絕對值的平均值。根據(jù)誤差理論，中誤差和平均誤差有以下近似的數(shù)量關(guān)系：

θ≈0.7979ｍ（1-7-6）（1-7-7）由偶然誤差的第一特性說明，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。根據(jù)誤差理論，大于中誤差的真誤差出現(xiàn)的概率為31.7％，大于兩倍中誤差的真誤差出現(xiàn)的概率為4.5％，大于三倍中誤差的真誤差出現(xiàn)的概率僅占3‰?？梢哉J為，大于三倍中誤差的偶然誤差實際上是不可能出現(xiàn)的。故通常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限誤差：（1-7-8）2023/2/418實際測量工作中是不允許存在較大誤差的，通常測量規(guī)范中規(guī)定兩倍（或三倍）中誤差作為偶然誤差的允許值，稱為允許誤差：

或

大于允許誤差的觀測值被認為是不可靠的，應(yīng)于剔除，重新新觀測。（1-7-9）（1-7-9）′2023/2/419真誤差和中誤差都是絕對誤差，評定精度時，單使用絕對誤差有時還不能反映測量的精度。例如，丈量兩條直線長度分別為100ｍ和50ｍ，其中誤差都是±0.01ｍ，顯然不能認為兩者的觀測精度是相同的。為此，利用絕對誤差和觀測值的比值Ｋ來評定精度，并要求其分之為1： （1-7-10）Ｋ值稱為相對誤差，若式中ｍ為中誤差則Ｋ稱為相對中誤差。2、相對誤差2023/2/420上例中：

Ｋ1＜Ｋ2，前者精度比后者高。值得指出的是，對于角度而言，測角誤差與角度的大小無關(guān)，不能用相對誤差來衡量測角精度。2023/2/421前面已經(jīng)敘述了一組同精度觀測值的精度評定問題。但是在實際工作中許多未知量不可能或者不便于直接觀測，而是由一些直接觀測值根據(jù)一定函數(shù)關(guān)系計算而得。例如，欲測定兩點間的高差h，可由直接觀測的豎直角α和水平距離D以函數(shù)關(guān)系示 來計算。顯然函數(shù)ｈ的中誤差與觀測值D和存在一定的關(guān)系，闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差的關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。設(shè)有函數(shù)（1-7-11）式中 為獨立觀測值， 已知其中誤差為，求不便直接觀測的函數(shù)Z的中誤差。二、誤差傳播定律2023/2/422當xi具有真誤差△xi時，函數(shù)Ｚ相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差△Z，△xi和△Z都是小值，由數(shù)學分析可知，變量的微小變化和函數(shù)的微小變化之間的關(guān)系，可以近視地用函數(shù)全微分來表達，并通過用△xi和△Z取代微分符號ｄｘi和ｄZ，即

式中 （i＝1，2，3，…，n）為函數(shù)值對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)。（1-5-12）2023/2/423設(shè) ，（i＝1，2，3，…，n），則式（1-7-12）可以寫成：

為求得函數(shù)與觀測值之間的中誤差關(guān)系式，設(shè)想進行了Ｋ次觀測，則可以寫出Ｋ個式子：（1-7-13）2023/2/424將上面各式分別取平方后求和，然后兩端各除以Ｋ得：

設(shè)各觀測值xi為獨立觀測值，則△xi·△xj當i＝j(luò)時亦為偶然誤差,根據(jù)偶然誤差的第四個特性,式（1-7-14）中最末一項當Ｋ→∞時趣近于零，即：故（1-7-14）式可以寫成：（1-7-14）2023/2/425根據(jù)中誤差的定義，上式可以寫成：當認為Ｋ為有限值時，寫成中誤差形式：即

上式即為由獨立觀測值計算函數(shù)中誤差的一般形式。（1-7-15）2023/2/4261、水準測量精度設(shè)在Ａ、Ｂ兩點間用水準儀觀測了ｎ個測站，則Ａ、Ｂ兩點間的高差為：ｈ＝ｈ1＋ｈ2＋…＋ｈn設(shè)個測站為等精度觀測，其中誤差為ｍ站，由（1-7-15）式可知Ａ、Ｂ間的高差的中誤差為：

三、應(yīng)用舉例（1-7-16）水準測量時，當各測站高差的觀測精度基本相同時，水準測量高差的中誤差與測站數(shù)的平方根成正比；同樣可知，當各測站距離大致相等時，高差的中誤差與距離的平方根成正比，即：或式中，Ｌ為Ａ、Ｂ的總長，ｌ為各測站間的距離，ｍ公里是每公里路線長的高差中誤差。即：2023/2/4272、由三角形閉合差計算測角精度設(shè)三角形的內(nèi)角和為Ｌi，三內(nèi)角的觀測值分別為 ，則：三角形的閉合差 ，其內(nèi)角和閉合差的中誤差為：故，根據(jù)誤差傳播定律：所以：

（1-7-17）(1-7-17）式稱為菲列羅公式，該式是用真誤差Ｗi來計算測角中誤差的，它可以用來檢驗經(jīng)緯儀的