第七章彎曲變形

§7-1

工程中的彎曲變形問題§7-2

梁的撓曲線近似微分方程§7-3

用積分法求彎曲變形§7-6

簡單靜不定梁§7-5

梁的剛度校核

§7-4

用疊加法求彎曲變形第七章彎曲變形7.1工程中的彎曲變形問題

梁還必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無法正常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機(jī)床的主軸，則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度。一、梁的變形二、工程實(shí)例實(shí)例一：起重機(jī)大梁實(shí)例二、機(jī)床搖臂7.2梁的撓曲線近似微分方程

梁在平面內(nèi)彎曲時(shí)，梁軸線從原來沿x軸方向的直線變成一條在xy平面內(nèi)的曲線，該曲線稱為撓曲線。

某截面的豎向位移，稱為該截面的撓度。

某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角。

撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的x方向的位置有關(guān)，可以表示為關(guān)于x的函數(shù)。撓度方程（撓曲線方程）轉(zhuǎn)角方程一、撓度和轉(zhuǎn)角撓曲線撓度轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)規(guī)定在圖示的坐標(biāo)系中，撓度w

向上為正，向下為負(fù)。轉(zhuǎn)角規(guī)定截面法線與x

軸夾角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù),即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時(shí)轉(zhuǎn)角q為正。撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系在小變形假設(shè)條件下?lián)锨€的斜率（一階導(dǎo)數(shù)）近似等于截面的轉(zhuǎn)角二、撓曲線近似微分方程

橫力彎曲情況下，若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度時(shí)，剪力對(duì)梁的變形可以忽略不計(jì)。但此時(shí)彎矩不再為常數(shù)。高等數(shù)學(xué)公式在梁小變形情況下，7.3用積分法求梁的彎曲變形梁的撓曲線近似微分方程對(duì)上式進(jìn)行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程（等直梁EI為常數(shù)）再進(jìn)行一次積分,可得到撓度方程其中，C和D是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小。一、邊界條件在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定二、連續(xù)條件在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等。若梁分為n段積分，則要出現(xiàn)2n個(gè)待定常數(shù)，總可找到2n個(gè)相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。例題7-1

如圖等直懸臂梁自由端受集中力作用，建立該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并求自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。

解：（1）按照?qǐng)D示坐標(biāo)系建立彎矩方程

（2）撓曲線近似微分方程（3）積分（4）確定積分常數(shù)由邊界條件代入上面兩式（5）列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，將C、D的值代入方程（6）求B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角在自由端，x

=l例題7-2

如圖所示，簡支梁受集中力F作用，已知EI為常量。試求B

端轉(zhuǎn)角和跨中撓度。解：（1）求約束力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算AC段CB段利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個(gè)積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:由于撓曲線在C點(diǎn)處是連續(xù)光滑的，因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等。即得：得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段CB段（5）求指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角若7.4用疊加法求梁的彎曲變形

在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。例題7-3

求圖中所示梁跨中點(diǎn)的撓度及A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。已知，梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。

用疊加法求等截面梁的變形時(shí)，每個(gè)載荷作用下的變形可查表。查表時(shí)應(yīng)注意載荷的方向、跨長及字符一一對(duì)應(yīng)。解：=+例題7-4

如圖，梁的左半段受到均布載荷q的作用，求B

端的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的抗彎剛度EI

為常數(shù)。考慮其變形:

由于CB段梁上沒有載荷，各截面的彎矩均為零，說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形，即C’B’仍為直線。根據(jù)幾何關(guān)系可知：由于在小變形的假設(shè)前提下查表:代入上面的計(jì)算式解：例題7-5求圖所示外伸梁的C截面的撓度轉(zhuǎn)角。EI為常數(shù)。怎樣應(yīng)用表7-1中已有的結(jié)果？

對(duì)梁進(jìn)行分段剛化，利用受力與變形等效的原則來處理

首先剛化AB段，這樣BC段就可以作為一個(gè)懸臂梁來研究，

再剛化BC段，由于BC段被剛化，可將作用于BC段的均布載荷簡化到B支座，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶

力F直接作用于支座，對(duì)梁的變形沒有影響，力偶M引起簡支梁AB的變形，同樣，段上的均布載荷也將引起AB段變形，一、梁的剛度條件

對(duì)于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強(qiáng)度條件的同時(shí)，為保證其正常工作還需對(duì)彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿足剛度條件(stiffnesscondition)：式中，l為跨長，為許可的撓度與跨長之比(簡稱許可撓跨比)，[q]為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱之為梁的剛度條件。7.5梁的剛度校核二提高梁的剛度的措施(1)增大梁的彎曲剛度EI

由于不同牌號(hào)的鋼材它們的彈性模量E大致相同(E≈210GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來說采用高強(qiáng)度鋼并無明顯好處。為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。

跨長為l的簡支梁受集度為q的滿布均布荷載時(shí)，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為(2)

調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)的體系

如果將兩個(gè)鉸支座各內(nèi)移一個(gè)距離a而成為如圖a所示的外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為而且跨中撓度減小為(a)而此時(shí)外伸端D和E的撓度也僅為

所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來提高梁的剛度在這里是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁，例如在懸臂梁的自由端增加一個(gè)鉸支座，又例如在簡支梁的跨中增加一個(gè)鉸支座。7-6

簡單靜不定梁一、基本概念超靜定梁：梁的約束力數(shù)大于有效平衡方程數(shù)。多余約束：多余維持平衡所必須的約束。超靜定次數(shù)：等于多余約束或多余約束力的數(shù)目。二、求解方法1.解除多余約束，選取靜定基，建立相當(dāng)系統(tǒng)。2.比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件。3.由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程。4.利用靜力平衡條件求其它約束力。靜定基：將超靜定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)時(shí)的相當(dāng)系統(tǒng)。解求梁的約束力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數(shù)，選取靜定基

在梁的A和B處各有3個(gè)和1個(gè)約束力，獨(dú)立平衡方程數(shù)等于3，所以是一次超靜定問題。選取靜定基如圖(b)