第一章隨機事件與概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics)

主講:余晉昌副教授TEL:62341教學參考書1.概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用,盛驟謝式千編，高等教育出版社.2.概率論與數(shù)理統(tǒng)計,謝永欽主編,北京郵電大學出版社.2作業(yè)（10分）單周星期二交；要抄題；批改一半，請寫上學號；不交，一次扣2分。3考勤（10分）抽查；曠課者每次扣2分。期中測驗（10分）隨堂測驗。成績評定：總評成績=卷面*70%+平時*30%4數(shù)學不是邏輯，而是理解。-------陳省身understand5概率論與數(shù)理統(tǒng)計的主要內容隨機事件及其概率隨機變量及其分布隨機變量的數(shù)字特征與大數(shù)定律正態(tài)分布與中心極限定理6概率論與數(shù)理統(tǒng)計的主要內容樣本及抽樣分布參數(shù)估計假設檢驗7概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象所具有的規(guī)律性的一門數(shù)學學科.隨機現(xiàn)象確定性現(xiàn)象8第一章隨機事件及其概率事件及其運算事件的概率條件概率事件的獨立性9事件及其運算隨機試驗與隨機事件隨機事件的運算與關系10隨機試驗與隨機事件

隨機試驗是具有以下特征的試驗：1、可以在相同條件下重復進行;2、每次試驗的結果不止一個，且所有的結果事先可以預知;3、每次試驗前不能確定哪個結果會出現(xiàn).例

注1：隨機試驗中的試驗是廣義的；注2：有些試驗不是隨機試驗。11

隨機試驗的所有可能結果的集合稱為樣本空間.試驗的每—個可能結果稱為樣本點.記為S＝｛e｝.12例1(1)E：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).

寫出下列隨機試驗的樣本空間(2)E：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.S=｛1，2，3，4，5，6}.S={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，

THT，TTH，TTT}.

13(3)E:在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命.

S=｛t︱t≥0}.(4)記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度

S={(x，y)︱T0≤x≤y≤T1}，這里x示最低溫度，y表示最高溫度，并設這一地區(qū)的溫度不會小于To，也不會大于T1.14隨機事件

試驗E的樣本空間S的子集稱為試驗的隨機事件，簡稱事件.在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生.由一個樣本點組成的單點集隨機事件由兩個或兩個以上樣本點組成的集合基本事件復合事件15兩個特殊事件

樣本空間S包含所有的樣本點，它是S自身的子集，在每次試驗中它總是發(fā)生的，稱為必然事件.空集不包含任何樣本點，它也作為樣本空間的子集，它在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可能事件.16例2

某袋中裝有4只白球和2只黑球，考慮依次從中摸出兩球所可能出現(xiàn)的事件.若對球進行編號，4只白球分別編為1，2，3，4號，2只黑球編為5，6號.如果用數(shù)對(i，j)表示第一次摸得i號球，第二次摸得j號球，則可能出現(xiàn)的結果是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)17把這30個結果作為樣本點，則構成樣本空間.研究事件：A：第一次摸出黑球；

B：第二次摸出黑球；

C：第一次及第二次都摸出黑球．后面這些事件與前面那些基本事件的不同處在于這些事件是可以分解的，例如為了A出現(xiàn)必須而且只須下列樣本點之一出現(xiàn)：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5).18事件的運算19ABABABBA－BA20事件間的關系AB2122AAB23運算性質對于n個事件，甚至對于可列個事件，德·摩根律也成立.24例3（1）A發(fā)生而B與C都不發(fā)生（2）A與B都發(fā)生而C不發(fā)生（3）事件A、B、C都發(fā)生可以表示為可以表示為可以表示為25（4）事件A、B、C中恰好發(fā)生一個（5）事件A、B、C中恰好發(fā)生兩個（6）事件A、B、C中至少發(fā)生一個可以表示為可以表示為可以表示為或26例4說明下列各式的概率意義27拋一顆骰子,出現(xiàn)奇點數(shù);拋兩顆骰子,A=“出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù),且恰好其中有一個是1點”;B=“出現(xiàn)點數(shù)之和為偶數(shù),但其中沒有出現(xiàn)1點”;(3)將一枚硬幣拋兩次,A=“第一次出現(xiàn)正面”;B=“至少有一次出現(xiàn)正面”;C=“兩次出現(xiàn)同一面”.28對于一個隨機事件A(除必然事件和不可能事件外)來說，它在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生.人們希望知道事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性大小.事件的概率用什么樣的數(shù)P(A)來表示事件A發(fā)生的可能性大??？這個數(shù)P(A)就稱為隨機事件A的概率.29事件的概率事件的頻率概率的公理化定義與性質古典概型30事件的頻率

在相同的條件下，進行n次試驗,在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值nA

／n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記為?n(A).由于事件發(fā)生的頻率表示A發(fā)生的頻繁程度.頻率越大，事件A發(fā)生就越頻繁，這意味著事件A在一次試驗中發(fā)生的可能性也就越大.31基本性質：⑴0≤?n(A)≤1;⑵?n(S)＝1;⑶若A1，A2，

…，Ak是兩兩互不相容的事件，則?n(

A1∪A2∪…∪Ak

)=?n

(

A1)+?n

(A2)+…+?n

(Ak).32例考慮“拋硬幣”這個試驗.將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次，各做10遍.得到的數(shù)據(jù)如下表所示(其中nH表示H發(fā)生的頻數(shù)，?n(H)表示H發(fā)生的頻率).33試驗序號n=5n=50n=500nH?n(H)nH?n(H)nH?n(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.49434頻率穩(wěn)定性大量實驗證實，當重復試驗的次數(shù)逐漸增大時，頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，即逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù).這個常數(shù)可作為事件A的概率P(A).因此，當n足夠大時，P(A)

?n(A

).35概率的公理化定義設E是隨機試驗，S是它的樣本空間.對于E的每一事件A賦予一個實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(﹡)滿足下列條件：⑴非負性：對于任何事件A，有P(A)≥0；⑵規(guī)范性：對于必然事件S，有P(S)=1；⑶可列可加性：設A1，A2，…,是兩兩互不相容的事件，即對于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,…,則有36概率論公理化結構是蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫(A.H．KoMoroPoB)在1933年提出的.這個結構綜合了前人成果，明確定義了基本概念，使概率論成為嚴謹?shù)臄?shù)學分支，對近幾十年來概率論的迅速發(fā)展起了積極作用.可見，在公理化定義中，只規(guī)定了概率應滿足的性質，而沒有具體規(guī)定出它的計算公式或計算方法.37概率的性質383940414243概率的加法公式44推廣：45例46解47作業(yè)P162,3,7482.設A,B,C表示3個事件,試用A,B,C的運算關系表示事件:(1)A發(fā)生,B,C不發(fā)生;(2)A與B發(fā)生,C不發(fā)生;(3)A,B,C都發(fā)生;(4)A,B,C至少有一個發(fā)生;(5)A,B,C都不發(fā)生;49(6)A,B,C不都發(fā)生;(7)A,B,C至多有兩個發(fā)生;(8)A,B,C至少有兩個發(fā)生;50等可能概率模型古典概型等可能概率模型是有限樣本空間的一種特例.這種隨機現(xiàn)象具有下列兩個特征：(1)在觀察或試驗中它的全部可能結果只有有限個，譬如為n個，記為e1,e2,…,en；(2)事件{ei}(i=1,2,…n)的發(fā)生或出現(xiàn)是等可能的，即它們發(fā)生的概率都一樣.51這類隨機現(xiàn)象在概率論發(fā)展初期即被注意，許多最初的概率論結果也是對它作出的，一般把這類隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型稱為古典概型.古典概型在概率論中占有相當重要的地位，它具有簡單、直觀的特點，且應用廣泛.

等可能性是古典概型的兩大假設之一，有了這個假設，給直接計算概率帶來了很大的方便.但在事實上，所討論問題是否符合等可能假設，一般不是通過實際驗證，而往往是根據(jù)人們長期形成的“對稱性經驗”作出的.52例如，骰子是正六面形，當質量均勻分布時，投擲一次，每面朝上的可能性都相等；裝在袋中的小球，顏色可以不同，只要大小和形狀相同，摸出其中任一個的可能性都相等。因此，等可能假設不是人為的，而是人們根據(jù)對事物的認識---對稱性特征而確認的.53古典概型中事件概率的計算公式法國數(shù)學家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作為概率的一般定義.事實上它只適用于古典概型場合.54求解古典概型問題的關鍵是:弄清基本事件空間的樣本點總數(shù)和所求概率事件包含的樣本點個數(shù).在理清事件數(shù)的時候，必須分清研究的問題是組合問題還是排列問題.55例4一口袋裝有6只球，其中4只白球、2只紅球.從袋中取球兩次，每次隨機地取一只.考慮兩種取球方式：(a)第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球.這種取球方式叫做放回抽樣.(b)第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫做不放回抽樣.試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率;(2)取到的兩只球顏色相同的概率；(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.56解以A、B、C分別表示事件“取到的兩只球都是白球”，“取到的兩只球都是紅球”，“取到的兩只球中至少有一只是白球”.易知“取到兩只顏色相同的球”這一事件即為AB，而C＝.(a)放回抽樣的情況57(b)不放回抽樣的情況58解[放回抽樣]把a+b個產品進行編號，有放回抽n次，把可能的重復排列全體作為樣本點，總數(shù)為例5如果某批產品中有a件次品和b件正品，采用有放回與不放回抽樣方式從中抽n件產品，問正好有k件是次品的概率各是多少?故所求概率為其中有利場合(即次品正好出現(xiàn)k次)的數(shù)目是59[不放回抽樣]從a+b個產品中取出n個產品的可能組合全體作為樣本點，總數(shù)為有利場合數(shù)為故所求概率為這個概率稱為超幾何分布.60例6袋中有a只白球，b只紅球，k個人依次在袋中取一只球.(1)作放回抽樣；(2)作不放回抽樣，求第i(i=1，2，…，k)人取到白球(記為事件B)的概率(k≤a+b).解(1)放回抽樣的情況，顯然有(2)不放回抽樣的情況，各人取一只球，共有(a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)個基本事件，每個基本61事件發(fā)生的可能性相同.當事件B發(fā)生時，B中包含a(a+b-1)(a+b-2)…[a+b-l-(k-1)+1]個基本事件，故值得注意的是:P(B)與i無關，即k個人取球，盡管取球的先后次序不同，各人取到白球的概率是一樣的，大家機會相同(例如在購買福利彩票時，各人得獎的機會是一樣的).另外還值得注意的是放回抽樣的情況與不放回抽樣的情況下P(B)是一樣的.62例7將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一班級的概率是多少?

解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù)為每一種分配法為一基本事件，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同.(1)將3名優(yōu)秀生分配到三個班級,使每個班級都有63一名優(yōu)秀生的分法共3!種.對于這每一種分法，其余12名新生平均分配到三個班級中的分法共有12!／(4!4!4!)種.因此，每一班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有(3!×12!)／(4!4!4!)種.于是所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一班級的分法共有3種.對于這每一種分法，其余12名新生的分法(一個班級2名，另兩個班級各5名)有12!／(2!5!5!)種.64因此3名優(yōu)秀生分配在同一班級的分法共有(312!)／(2!5!5!)種，于是，所求概率為65例8664.幾何概型676869707172例1.10⑵P(A1A2…An)≥P(A1)+P(A2)+…+P(An)-(n-1).證⑴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1，故

P(AB)≥P(A)+P(B)-1.⑵應用數(shù)學歸納法，n=2已成立.設對n-1不等式也成立，則P(A1A2…An)=P[(A1A2…An-1)An]≥P(A1A2…An-1)+P(An)-1≥P(A1)+…+P(An-1)-(n-2)+P(An)-1=P(A1)+…+P(An)-(n-1).證明:⑴P(AB)≥P(A)+P(B)-1;73練習1.從52張撲克牌中任意取出13張,問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？2.一個袋內有大小相同的7只球，其中4個是白球，3個是紅球，從中一次抽3個，計算至少有兩個是白球的概率.7475作業(yè)P164，676條件概率條件概率的定義與性質乘法定理全概率公式貝葉斯公式77引例對概率的討論總是在一組固定的條件限制下進行的.以前的討論總是假定除此之外再無別的信息可供使用.可是，有時卻會碰到這樣的情況，即已知某一事件B已經發(fā)生，要求另一事件A發(fā)生的概率.例如考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率一樣，則兩個孩子(依大小排列)的性別為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)的可能性是一樣的.若以A記隨機選取的這樣一個家庭中有一男一女這一事件，則顯然P(A)=1/2，但是,如果預先知道這個家庭至少有一個女孩，那么，上述事件的78概率便應是2/3.樣本點總數(shù)n=4，事件A包含的樣本點數(shù)mA=2,因此,P(A)=1/2；事件B包含的樣本點數(shù)mB=3，而兩種情況下算出的概率不同.這是因為在第二種情況下，我們多知道了一個條件：事件B(這一家庭至少有一女孩)發(fā)生，因此我們算得的概率事實上是“在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率”，這個概率記為P(A︱B).79mAB=2，因此80條件概率的定義與性質設A,B是兩個事件，且P(B)>0，稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.81⑴非負性：對于任何事件A，有P(A∣B)≥0；⑵規(guī)范性：對于必然事件S，有P(S∣B)=1；⑶可列可加性：設A1

，A2

，…兩兩互不相容的事件，即對于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,…,則有8283例9一盒子裝有4只產品，其中有3只一等品，1只二等品.從中取產品兩次，每次任取一只,作不放回抽樣.設事件A為第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”.試求條件概率P(B∣A).84例某種動物出生后活到20歲的概率為0.7,活到25歲的概率為0.56,求現(xiàn)年20歲的動物活到25歲的概率。85乘法定理乘法公式:設P(A)>0，則有

P(AB)=P(A)P(B∣A).若P(B)>0，則有

P(AB)=P(B)P(A∣B).可以把乘法定理推廣到任意n個事件之交的場合：設A1,A2,…,An為n個事件，n≥2,且P(A1A2…An-1）>0，則有

P(A1A2…An)=P(An∣A1A2…An-1)P(An-1∣A1A2…An-2)…P(A2∣A1)P(A1).86例10設袋中裝有r只紅球，t只白球.每次自袋中任取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解以Ai(i=l,2,3,4)表示事件“第i次取到紅球”，則分別表示事件第三、四次取到白球，所求概率為8788例11設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1／2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7／10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9／10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.899091全概率公式樣本空間劃分的定義：設S為試驗E的樣本空間，B1,B2，…,Bn為E的一組事件.若⑴BiBj=,i≠j,i,j=1,2,…,n;⑵B1∪B2∪…∪Bn=S,則稱B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個劃分.全概率公式：設試驗E的樣本空間為S,A為E的事件，B1,B2，…,Bn為S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則92證明因為事件B1,B2，…,Bn為樣本空間的一個劃分，即Bi兩兩互不相容，P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，而且

B1∪B2∪…∪Bn=S.于是有AB1∪AB2∪…∪ABn=A.其中ABi也是兩兩互不相容.B1AB5B4B3B2由概率的可列可加性P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn).利用乘法定理即得93例12考卷中一道選擇題有4個答案，僅有一個是正確的，設一個學生知道正確答案或不知道而亂猜是等可能的.如果這個學生答對了，求它確實知道正確答案的概率.解樣本空間可以劃分為事件A:知道正確答案與:不知道.以B表示事件:學生答對，則AB，P(AB)＝P(A)＝1／2.P(B∣A)=1，而P(B∣)＝1／4.由全概率公式P(B)＝P(A)P(B∣A)+P()P(B∣)=5／8，故P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5．94貝葉斯公式設試驗E的樣本空間為S.A為E的事件，B1,B2，…,Bn為S的一個劃分，且P(A)>0,P(Bi)>0,i=1,2,…,n，則上式稱為貝葉斯(Bayes)公式.95貝葉斯定理往往與全概率公式同時使用.全概率公式——用于“由因求果”問題，而貝葉斯定理一般用于“執(zhí)果尋因”問題，在使用時要分清是什么問題，確定應用哪個公式.貝葉斯公式在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中有著多方面的應用.假定B1,B2,…,B是導致試驗結果的“原因”，P(Bi)稱為先驗概率，它反映了各種“原因”發(fā)生的可能性大小，一般是以往經驗的總結，在這次試驗前已經知道.現(xiàn)在若試驗產生了事件A,這個信息將有助于探討事件發(fā)生的“原因”.96條件概率P(Bi∣A)稱為后驗概率，它反映了試驗之后對各種“原因”發(fā)生的可能性大小的新知識.例如在醫(yī)療診斷中，為了診斷病人到底是患了毛病B1,B2,…,Bn中的哪一種，對病人進行觀察與檢查，確定了某個指標A(譬如是體溫、脈搏血液中轉氨酶含量等等)，醫(yī)生想用這類指標來幫助診斷.這時就可以用貝葉斯公式來計算有關概率.首先必須確定先驗概率P(Bi)，這實際上是確定人97患各種毛病的可能性大小，以往的資料可以給出一些初步數(shù)據(jù)；其次是要確定P(A∣Bi)，這里當然主要依靠醫(yī)學知識.有了它們，利用貝葉斯公式就可算出P(Bi∣A)，顯然，對應于較大P(Bi∣A)的“病因”Bi，應多加考慮.在實際工作中，檢查的指標A一般有多個，綜合所有的后驗概率，當然會對診斷有很大幫助.在實現(xiàn)計算機自動診斷或輔助診斷中，這方法是有實用價值的.98先驗概率是指根據(jù)以往經驗和分析得到的概率，如全概率公式中的P(Bi)，它往往作為“由因求果”問題中的“因”出現(xiàn).后驗概率是指在得到“結果”的信息后重新修正的概率，如貝葉斯公式

P(Bi∣A)＝P(A∣Bi)P(Bi)/P(A)中的P(Bi∣A)，是“執(zhí)果尋因”問題中的“因”.先驗概率與后驗概率有不可分割的聯(lián)系，后驗概率的計算要以先驗概率為基礎.99例13某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的.根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10．020．1520．010．8030．030．05設這三家工廠的產品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標志.(1)在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在倉庫中隨機地取一只元件,若已知取到的是次品，為分析此次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生產的概率分別是多少?試求這些概率.100解設A表示“取到的是一只次品”，Bi(i＝l,2,3)表示“所取到的產品是由第i家工廠提供的”.易知，Bl，B2，B3是樣本空間S的一個劃分，且有P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)＝0.05，P(A∣B1)=0.02，P(A∣B2)=0.01，P(A∣B3)=0.03.⑴由全概率公式P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+P(A∣B3)P(B3)=0.0125.101以上結果表明，這只次品來自第2家工廠的可能性最大.⑵由貝葉斯公式102例14根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗具有如下的效果：若以A表示事件“試驗反應為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P(A∣C)＝0.95，P(∣)＝0.95.現(xiàn)在對自然人群進行普查，設被試驗的人患有癌癥的概率0.005，即P(C)＝0.005，試求P(C∣A).解已知P(A∣C)＝0.95，P(A∣)＝1一P(∣)＝0.05，P(C)＝0.005，P()＝0．995，由貝葉斯公式103104例15對以往數(shù)據(jù)分析結果表明，當機器調整得良好時，產品的合格率為98％，而當機器發(fā)生某種故障時，其合格率為55％.每天早上機器開時，機器調整良好的概率為95％.試求已知某日早上第一件產品是合格品時，機器調整得良好的概率是多少?解設A為事件“產品合格”，B為事件“機器調整良好”.已知P(A∣B)＝0.98，P(A∣)＝0.55，P(B)＝0.95，P()＝0.05，由貝葉斯公式得105當生產出第一件產品是合格品時，此時機器調整良好的概率為0.97.這里，概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的，是先驗概率.而在得到信息(即生產出的第一件產品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)是后驗概率.有了后驗概率就能對機器的情況有進一步的了解.106練習107作業(yè)P178，9，13108事件的獨立性引例一箱子里裝有a只黑球和b只紅球，采用有放回摸球，求：(1)在已知第一次摸得黑球的條件下，第二次摸出黑球的概率；(2)第二次摸出黑球的概率.解以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸得黑球，則

109而所以因此110

設A,B是兩個事件，且P(A)>0，則A,B相互獨立的充分必要條件是事件獨立性

設A,B是兩個事件，如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B)，

則稱事件A,B相互獨立，簡稱A,B獨立.定義與性質若事件A與B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立.111P13例1.20投擲兩枚骰子，A---第一枚骰子出現(xiàn)6點，B---第二枚骰子出現(xiàn)6點，則A，B相互獨立。P13例1.21112獨立與互不相容若P(A)>0,P(B)>0,則A,B相互獨立與A,B互不相容不能同時成立！若A,B相互獨立與A,B互不相容能同時成立,則由A,B相互獨立有

P(AB)=P(A)P(B),由A,B互不相容得P(AB)=0.從而P(A)P(B)=0.即P(A)=0或P(B)=0,矛盾.所以，A,B相互獨立與A,B互不相容不能同時成立.113三個事件獨立性的定義設A,B,C是三個事件，如果滿足等式:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C).P(ABC)=P(A)P(B)P(C).則稱事件A,B,C相互獨立.稱事件A、B、C兩兩相互獨立.114例16一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時染上紅，白，黑三種顏色.現(xiàn)在我們以A，B，C分別記投一次四面體的底面出現(xiàn)紅,白，黑顏色的事件.由于在四面體中有兩面有紅色，因此P(A)=1/2.同理P(B)=P(C)=1/2，容易算出

P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4.所以A,B,C兩兩獨立，但是

P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C).115例17若有一個均勻正八面體，其第1，2，3，4面染紅色，第1,2，3,5面染白色，第1，6，7，8面染上黑色，現(xiàn)在以A,B,C分別表示投擲一次正八面體底面出現(xiàn)紅，白，黑的事件.由題意得：P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2，

P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C).但是

P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B).116n個事件的獨立性定義：設A1,A2,…An是n(n≥2)個事件，如果其中任意k(n≥k≥2)個事件的積事件的概率，都等于各事件概率之積，則稱事件A1,A2,…,An相互獨立.定義與性質性質：⑴若事件A1,A2,…,An(n≥2)相互獨立，則其中任意k(2≤k≤n)個事件也是相互獨立的.⑵若n個事件(n≥2)相互獨立，則將A1,A2,…,An中任意多個事件換成它們的對立事件，所得的n個事件仍相互獨立.117在實際應用中，事件的獨立性往往不是由定義，而是由問題的實際意義來判斷.例如，若A,B分別表示甲、乙兩人患感冒，如果甲乙兩人的活動范圍相距甚遠，就認為A,B相互獨立；如果甲乙兩人同是住在一個房間里的，那就不能認為A,B相互獨立了.事件的獨立性對于計算事件的概率有很重大的作用，特別是復雜事件的概率在滿足事件相互獨立這一條件時，計算起來會十分簡便.118例一個元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性.如圖，設有4個獨立工作的元件1,2,3,4按先串聯(lián)再并