第一章邏輯代數(shù)基礎

《數(shù)字電子技術基礎》（第四版）

教學課件

南京航空航天大學自動化學院

傅大豐電子信箱：fdf_nuaa@聯(lián)系電話一章邏輯代數(shù)基礎1.1數(shù)字電路的基本概念1.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算1.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式1.4邏輯代數(shù)的基本定理1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.6邏輯函數(shù)的公式化簡法1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.8具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡1.1數(shù)字電路的基本概念1.1.1數(shù)字量和模擬量1.1.2數(shù)制和碼制1.1.1數(shù)字量和模擬量一、模擬量與數(shù)字量模擬量——時間連續(xù)數(shù)值也連續(xù)的物理量。例如溫度、速度等。數(shù)字量——在時間上和數(shù)值上均是離散的。如生產(chǎn)線上記錄零件個數(shù)，啤酒生產(chǎn)線啤酒的個數(shù)等。

二、模擬信號與數(shù)字信號模擬信號——表示模擬量的信號（時間連續(xù)數(shù)值也連續(xù)的信號）。如熱電偶在工作時輸出的電壓信號，溫度等。數(shù)字信號——表示數(shù)字量的信號（在時間上和數(shù)值上均是離散的）。如電子表的秒信號，生產(chǎn)線上記錄零件個數(shù)的記數(shù)信號等。

電子電路中的信號模擬信號數(shù)字信號時間連續(xù)的信號時間和幅度都是離散的例：正弦波信號、鋸齒波信號等。例：產(chǎn)品數(shù)量的統(tǒng)計、數(shù)字表盤的讀數(shù)、數(shù)字電路信號等。模擬信號tV(t)tV(t)數(shù)字信號高電平低電平上跳沿下跳沿5V(V)0t(ms)1020304050數(shù)字信號在電路中常表現(xiàn)為突變的電壓或電流。

模擬電路——指工作在模擬信號下的電子電路。數(shù)字電路——指工作在數(shù)字信號下的電子電路。

三、模擬電路與數(shù)字電路模擬電路主要研究內(nèi)容：輸入、輸出信號間的大小、相位、失真等方面的關系。主要采用電路分析方法，動態(tài)性能則用微變等效電路分析。在模擬電路中，晶體管一般工作在線性放大區(qū)；在數(shù)字電路中，三極管工作在開關狀態(tài)，即工作在飽和區(qū)和截止區(qū)。數(shù)字電路主要研究內(nèi)容：電路輸出、輸入間的邏輯關系。主要的工具是邏輯代數(shù)，電路的功能用真值表、邏輯表達式及波形圖表示。模擬電路與數(shù)字電路比較1）電路的特點2）研究的內(nèi)容模擬電路研究的問題基本電路元件:基本模擬電路:晶體三極管場效應管集成運算放大器

信號放大及運算(信號放大、功率放大）信號處理（采樣保持、電壓比較、有源濾波）信號發(fā)生（正弦波發(fā)生器、三角波發(fā)生器、…）3）研究的問題數(shù)字電路研究的問題基本電路元件基本數(shù)字電路

邏輯門電路

觸發(fā)器

組合邏輯電路時序電路（寄存器、計數(shù)器、脈沖發(fā)生器、脈沖整形電路）

A/D轉(zhuǎn)換器、D/A轉(zhuǎn)換器

有兩種邏輯體制：

正邏輯體制規(guī)定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0。

負邏輯體制規(guī)定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。

下圖為采用正邏輯體制所表示的邏輯信號：四、正邏輯與負邏輯

數(shù)字信號是一種二值信號，用兩個電平（高電平和低電平）分別來表示兩個邏輯值（邏輯1和邏輯0）。

邏輯0

邏輯0

邏輯0

邏輯1

邏輯1

負邏輯，如何？

五、數(shù)字信號的主要參數(shù)

一個理想的周期性數(shù)字信號，可用以下幾個參數(shù)來描繪：

Vm——信號幅度。

T——信號的重復周期。

tW——脈沖寬度。

q——占空比。其定義為：

5V(V)0t(ms)twTVm

圖中所示為三個周期相同（T=20ms），但幅度、脈沖寬度及占空比各不相同的數(shù)字信號。

1.1.2數(shù)制一、幾種常用的計數(shù)體制

1.十進制(Decimal)

2.二進制(Binary)

3.十六進制(Hexadecimal)與八進制（Octal）逢N進一，N＝10，2，16，8，

N稱為基數(shù)十進制：以十為基數(shù)的記數(shù)體制。表示數(shù)的十個數(shù)碼：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0遵循逢十進一的規(guī)律。157=一個十進制數(shù)數(shù)N可以表示成：若在數(shù)字電路中采用十進制，必須要有十個電路狀態(tài)與十個記數(shù)碼相對應。這樣將在技術上帶來許多困難，而且很不經(jīng)濟):。二進制：以二為基數(shù)的記數(shù)體制。表示數(shù)的兩個數(shù)碼：0、1遵循逢二進一的規(guī)律。（1001）B==(9)D二進制的優(yōu)點：用電路的兩個狀態(tài)---開/關來表示二進制數(shù)，數(shù)碼的存儲和傳輸簡單、可靠。二進制的缺點：位數(shù)較多，使用不便；不合人們的習慣，輸入時將十進制轉(zhuǎn)換成二進制，運算結(jié)果輸出時再轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。十六進制和八進制十六進制記數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)(4E6)H=4162+14161+6160=(1254)D(F)H(1111)B說明：十六進制的一位對應二進制的四位。

十六進制與二進制之間的轉(zhuǎn)換。Hexadecimal：十六進制的Decimal：十進制的Binary：二進制的(0101

1001)B=[027+126+025+124+123+022+021+120]D=[(023+122+021+120)161+(123+022+021+120)160]D=(59)H每四位2進制數(shù)對應一位16進制數(shù)(10011100101101001000)B=從末位開始四位一組(1001

1100

1011

0100

1000)B()H84BC9=(9CB48)H八進制與二進制之間的轉(zhuǎn)換。(10011100101101001000)O=從末位開始三位一組(10011

100101101001

000)B

()O01554=(2345510)O32八進制記數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7(7)O(111)B說明：八進制的一位對應二進制的三位。例1.1.1

將二進制數(shù)10011.101轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。解：將每一位二進制數(shù)乘以位權(quán)，然后相加，可得

(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3

＝（19.625)D二、不同數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換

1)二進制轉(zhuǎn)換成十進制兩邊除2，余第0位K0商兩邊除2，余第1位K1十進制與二進制之間的轉(zhuǎn)換方法：可以用二除十進制數(shù)，余數(shù)是二進制數(shù)的第0位K0，然后依次用二除所得的商，余數(shù)依次是第1位K1

、第2位K2

、……。……

2)十進制轉(zhuǎn)換成二進制例1.1.2

將十進制數(shù)23轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)。

解：用“除2取余”法轉(zhuǎn)換:

則（23)D=（10111)B225余1K0122余0K162余0K232余1K312余1K40例1.1.3：十進制數(shù)25轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)的轉(zhuǎn)換過程：(25)D=(11001)B三、二進制碼數(shù)字系統(tǒng)的信息數(shù)值文字符號二進制代碼編碼為了表示字符代碼——不同數(shù)碼不僅可以表示數(shù)量的不同大小，而且還能用來表示不同的事物。如身份證，汽車牌照等。碼制——編碼時遵循的一定的規(guī)則。南京身份證為3201XXXXX。為了分別表示N個字符，所需的二進制數(shù)的最小位數(shù)：

編碼可以有多種，數(shù)字電路中所用的主要是二–十進制碼（BCD-Binary-Coded-Decimal碼）。BCD碼——用二進制代碼來表示十進制的0～9十個數(shù)。

要用二進制代碼來表示十進制的0～9十個數(shù)，至少要用4位二進制數(shù)。

4位二進制數(shù)有16種組合，可從這16種組合中選擇10種組合分別來表示十進制的0～9十個數(shù)。

選哪10種組合，有多種方案，這就形成了不同的BCD碼。

每一位十進制數(shù)都用四位二進制數(shù)示。

四位二進制數(shù)中的每一位都有固定的權(quán)值。（1）8421BCD碼每一位的權(quán)值從高位到低位分別為：

BCD碼具有十進制數(shù)的特點、二進制數(shù)的形式。是人-機對話的中間表示。23

,22

,21,20

即：8,4,2,1BCD碼分為有權(quán)BCD碼和無權(quán)BCD碼1）有權(quán)BCD碼：特點：1、每個十進制數(shù)用四位二進制數(shù)表示。3、8421碼和十進制數(shù)之間直接按位轉(zhuǎn)換。2、四位二進制數(shù)有16種狀態(tài)組合，8421碼只用了前十種，1010～1111六種沒有使用，是禁用碼。位權(quán)值00000100012001030011401005010160110701118100091001十進制數(shù)8421

例1.1.4:(37.86)10=(?)8421BCD=(0011,0111.1000,0110)8421BCD一位十進制數(shù)，用四位二進制數(shù)表示。例2:(011000101000.10010101)8421BCD=(?)10四位二進制數(shù),可以表示一位十進制數(shù)。=(0110，0010，1000.1001，0101)8421BCD=(628.95)10十進制數(shù)位權(quán)值300114010051000610017101081011911000000010001200105421特點：1、每一位的權(quán)值從高位到低位分別為：5，4,2,1

2、前五位與8421碼相同。3、直接按權(quán)展開求十進制。（1011)5421BCD=1X5+0X4+1X2+1X1=(8)104、5421BCD碼和十進制之間可直接按位轉(zhuǎn)換。（645.89)10=(?)5421BCD

=(100101001000.10111100)5421BCD（2）、5421碼特點：1、每一位的權(quán)值從高位到低位分別為：2，4，2，1

。2、前五位與8421碼相同。3、直接按權(quán)展開求十進制。4、2421BCD碼和十進制之間可直接按位轉(zhuǎn)換。5、2421BCD碼具有對9的自補特性。000011110001111000101101按位求反（3）、2421碼特點：1、無權(quán)BCD碼，沒有確定的位權(quán)值。2、不能按位權(quán)展開求十進制。3、有自身特點，根據(jù)使用條件，按需選用。2)無權(quán)BCD碼：特點：1、比8421BCD碼多出0011所以稱為余3碼。余3碼=8421碼+00112、余3碼，沒有確定的位權(quán)值只能理解記憶和十進制之間的關系。3、余3碼也是一種對9的自補代碼。0011110001001011（1）、余三碼1、編碼無規(guī)律。2、兩個相鄰碼組之間，只有一個碼元不同,是一種高高可靠性編碼。

一般在高分辨率設備中采用這種編碼形式，以避免計數(shù)過程出現(xiàn)誤碼。（2）、余三碼循環(huán)碼位權(quán)0123456789十進制數(shù)842100000001001000110100010101100111100010018421碼242100000001001000110100101111001101111011112421碼0011010001010110011110001001101010111100000000010010001101001000100110101011110054215421碼無權(quán)余3碼

常用BCD碼000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二進制數(shù)自然碼8421碼2421碼5421碼余三碼強調(diào)1點：

8421碼與8421BCD碼是不同的。8421碼是上表中的自然碼。1.1.3算術運算和邏輯運算

在數(shù)字電路中，1位二進制數(shù)碼可以用0和1來表示。這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關系稱為二值邏輯。

二值邏輯所表示的是一對互為相反的狀態(tài)，所表示的變量與函數(shù)值僅有兩個特征值0和1，具有排中性。

當兩個二進制數(shù)碼表示兩個數(shù)量大小時，它們之間可以進行數(shù)值運算，這種運算稱為算術運算。

二進制和十進制算術運算的規(guī)則基本相同，唯一區(qū)別在于二進制數(shù)是逢二進一而不是逢十進一。例：兩個二進制數(shù)1001和0101的算術運算有：加法運算10011110＋0101減法運算1001－01010100乘法運算1001X010110010000100100000101101100101011.01011000101010110101010010從以上運算過程可以看出：乘法運算：可以用加法和左移移位兩種操作實現(xiàn)。除法運算：可以用減法和右移移位兩種操作實現(xiàn)。

二進制數(shù)的加、減、乘、除運算都可以用加法運算電路來實現(xiàn)。除法運算如何將減法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算？

在數(shù)字電路和數(shù)字電子計算機中，二進制數(shù)的正、負號也用0和1表示。

在定點運算的情況下；最高位作為符號位，正數(shù)為0，負數(shù)為1。其余各位0和1表示數(shù)值。這種方式表示的數(shù)碼稱為原碼。例：(01011001)2=(+89)10(11011001)2=(-89)10在數(shù)字電路中兩數(shù)相減的運算是用補碼相加來完成。二進制數(shù)編碼定義為：

最高位作為符號位，正數(shù)為0，負數(shù)為1；

正數(shù)的補碼和它的原碼相同；

負數(shù)的補碼是將原碼求反加1；然后將兩個補碼相加并舍去進位01001＋11011100100所以：（1001）2－（0101）2＝01001＋11011＝00100將減法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算，簡化了運算電路結(jié)構(gòu)。

當兩個二進制數(shù)碼表示不同的邏輯狀態(tài)時，它們之間可以按照指定的某種因果關系進行邏輯運算。邏輯運算和算術運算有著本質(zhì)上的區(qū)別。因此將重點介紹邏輯運算的各種規(guī)律。例：計算（1001）2－（0101）2

采用補碼運算時，首先求出（＋1001）2和（－0101）2的補碼。＋1001補＝01001－0101補＝11011

1.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算一．基本定義與運算

代數(shù)是以字母代替數(shù),稱因變量為自變量的函數(shù),函數(shù)有定義域和值域。——這些都是大家耳熟能詳?shù)母拍睢?/p>

如或

當自變量的取值（定義域）只有0和1（非0即1），函數(shù)的取值也只有0和1（非0即1）兩個數(shù)——這種代數(shù)就是邏輯代數(shù)，這種變量就是邏輯變量，這種函數(shù)就是邏輯函數(shù)。

邏輯代數(shù)，亦稱布爾代數(shù)，是英國數(shù)學家喬治布爾（GeorgeBoole）于1849年創(chuàng)立的。在當時，這種代數(shù)純粹是一種數(shù)學游戲，自然沒有物理意義，也沒有現(xiàn)實意義。在其誕生100多年后才發(fā)現(xiàn)其應用和價值。其規(guī)定：所有可能出現(xiàn)的數(shù)只有0和1兩個。基本運算只有“與”、“或”、“非”三種。二、基本邏輯運算設：開關閉合=“1”

開關不閉合=“0”

燈亮，L=1

燈不亮，L=0

與邏輯——只有當決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會發(fā)生。1．與運算與邏輯表達式：AB燈L不閉合不閉合閉合閉合不閉合閉合不閉合閉合不亮不亮不亮亮0101BLA0011輸入0001輸出

與邏輯真值表真值表特點:

任0則0,全1則1與邏輯運算規(guī)則：0?0=00?1=01?0=01?1=1L=AANDB=A&B=A·B=AB與運算邏輯乘邏輯與國外符號國內(nèi)符號2．或運算或邏輯表達式：

L＝A+B

或邏輯——當決定一件事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，這件事情就發(fā)生。AB燈L不閉合不閉合閉合閉合不閉合閉合不閉合閉合不亮亮亮亮0101BLA0011輸入0111輸出

或邏輯真值表或邏輯運算規(guī)則：或運算邏輯加邏輯或真值表特點：

任1則1,全0則0。Y=AORB=A+B0+0=00+1=11+0=11+1=1國外符號國內(nèi)符號3．非運算

非邏輯——某事情發(fā)生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發(fā)生；條件不具備時事情才發(fā)生。A燈L閉合不閉合不亮亮LA0110非邏輯真值表非邏輯表達式：

非邏輯運算規(guī)則：非運算邏輯非邏輯反真值表特點:1則0,0則1。國外符號國內(nèi)符號

二、其他復合邏輯運算“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關系，任何其它的邏輯關系都可以以它們?yōu)榛A表示。1.與非：條件A、B都具備，則Y不發(fā)生。0101BYA0011輸入1110輸出

“與非”真值表與非

——由與運算和非運算組合而成。2．或非

——由或運算和非運算組合而成。0101BLA0011輸入1000輸出

“或非”真值表或非：條件A、B任一具備，則L不發(fā)生。3．與或非

——由與運算、或運算和非運算組合而成。4．異或

異或是一種二變量邏輯運算，當兩個變量取值相同時，邏輯函數(shù)值為0；當兩個變量取值不同時，邏輯函數(shù)值為1。0101BLA0011輸入0110輸出

“異或”真值表異或的邏輯表達式為：異或：條件A、B有一個具備，另一個不具備則L發(fā)生。任何其它的邏輯關系都可以用與、或、非表示，異或怎么表示？Y=A⊙BABY0010100011

同或是一種二變量邏輯運算，當兩個變量取值相同時，邏輯函數(shù)值為1；當兩個變量取值不同時，邏輯函數(shù)值為0。5．同或同或：條件A、B相同，則F發(fā)生。同或與異或是甚么關系？基本邏輯關系小結(jié)

邏輯符號表示式與&ABYABY≥1或非1YAY=ABY=A+B與非&ABY或非ABY≥1異或=1ABYY=AB§1.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應的研究工具是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)的變量只能取兩個值（二值變量），即0和1，中間值沒有意義。0和1表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。例如：電位的低高（0表示低電位，1表示高電位）、開關的開合等。1.3.1邏輯代數(shù)的基本運算規(guī)則加運算規(guī)則:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘運算規(guī)則:0?0=00?1=01?0=01?1=1非運算規(guī)則:一、邏輯代數(shù)的基本公式

3.1邏輯代數(shù)吸收律反演律分配律結(jié)合律交換律重疊律互補律公式10—1律對合律名稱公式2基本公式1.3.2基本公式普通代數(shù)不適用!A+B?C=(A+B)(A+C)分配律如何證明？1）真值表－萬能的2）已有的公式、定律求證:

（分配律第2條）A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊

=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;結(jié)合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;結(jié)合律=A?1+BC;1+B+C=1=A+BC;A?1=1=左邊反演律可以用列真值表的方法證明：德?摩根(De

?Morgan)定理：1.原變量的吸收：A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A?1=A利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：被吸收吸收規(guī)則是指吸收多余（冗余）項，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。長中含短，留下短。1.3.3

若干常用公式－六大定理定理1：A+A·B=A說明在兩個乘積項相加時，若其中一項以另一項為因子，則該項是多余的，可以刪除。

反過來用，才是最重要的！反變量的吸收：證明：例如：被吸收長中含反，去掉反。2.定理2：3.定理3證明：例如：1吸收正負相對，余全完。（混合變量的吸收）5.定理5A·(A+B)=A

證明：A·(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A·(1+B)=A·1=A定理5說明變量A和包含A的和相乘時，其結(jié)果為A，即可以將和消去。擴展一下：A（A＋f（x））＝A4.定理4：A·B+A·B=A

證明：A·B+A·B=A(B+B)=A·1=A6.定理6:A·A·B=A·B；A·A·B=A

證明：A·A·B=A·(A+B)=A·A+A·B=A·B

該式說明：當A和一個乘積項的非相乘，且A為乘積項的一個因子時，則乘積項的A因子可以消去。6.定理6－2；A·A·B=A

證明：

A·A·B=A·(A+B)=A·A+A·B=A·(1+B)=A

該式說明：當A和一個乘積項的非相乘，且A為乘積項的一個因子時，則結(jié)果就為A。1.4邏輯代數(shù)的基本定理1.4.1代入定理

對邏輯等式中的任意變量A,若將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù),則等式仍然成立.

邏輯代數(shù)有三條重要規(guī)則，即代入定理、反演定理和對偶定理。這些定理在邏輯運算中十分有用。

原理為：變量A僅有0和1兩種可能狀態(tài)，同時任何一個邏輯式的取值也不外乎0和1，所以代入定理成立！利用它可以實現(xiàn)基本公式和常用公式的多變量的形式。

例如:分配律A(B+C)=AB+AC,若等式中的C都用(C+D)代替,則該等式仍然成立,即

A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)

注意:等式中所有出現(xiàn)同一變量的處均以一同函數(shù)代替.1．4．2反演定理

對已知邏輯函數(shù)F求“反”函數(shù)，只要將F中所有的“·”變“+”，“+”變“·”，0變1，1變0，原變量變成反變量，反變量變成原變量，即可，這就是反演規(guī)則。

上述的原變量指變量本身，反變量指變量的“反”，如A是原變量，而是A反變量。

反演定理內(nèi)容：將函數(shù)式

F

中所有的?++?變量與常數(shù)均取反

（求反運算）互補運算1.運算順序：先括號再乘法后加法。2.不是一個變量上的反號不動。注意:用處：實現(xiàn)互補運算（求反運算）。新表達式：F'顯然：(變換時，原函數(shù)運算的先后順序不變)反演定理可表示成：如果Z=F（A，B，…,·,+,0,1）則

=F（，，…,+,·,1,0）反演定理的基礎是狄·摩根定理，它表述如下：

=式（1）

式（2）

我們先來證明式（2）：

若A，B，C……全為0，則左邊=

=1,

右邊=·

·

…=1

如果其中一個變量為1，則：等式兩邊都為0，因而等式成立。如果更多的變量為1，則：等式兩邊仍為0，等式成立。

證明前式，利用代入規(guī)則，將后式中的A，B，C…分別換成,,即可得：=…=ABC…從而有：==+++…

摩根定理說明：多變量乘積的“反”等于各變量“反”的和，而多變量和的“反”等于各變量“反”的積。也就是“·”變“+”，“+”變”“·”后各變量求“反”。

由于任何邏輯函數(shù)都是有很多的與,加，以及求“反”的組合，求其反函數(shù)可以逐步用摩根定理，每步都符合上述原則，則最終結(jié)果也是符合這個規(guī)則的。例1．4．1．求Z=AB+B（C+）的反函數(shù)。

解：==·=（++C）（A++D）

以上是分步用摩根定理，用反演定理可直接得到結(jié)果。

例1．4．2求Z=A+A+FB（C+）的反函數(shù)解：=（+E）（++D）注意：=+E++D則是錯誤的（即應先“*”后“+”）

例1.4.3若Y=求=（不屬于單個變量上的反號應保留不變）

例1.4.4

：與或式注意括號注意括號例1.4.5：與或式反號不動反號不動1．4．3．對偶定理

將邏輯函數(shù)F中所有的“·”變“+”，“+”變“·”，1變0，0變1，而變量保持不變，這樣得到的新的函數(shù)稱為原函數(shù)的對偶式，記作。

若兩個邏輯函數(shù)相等，則它們的對偶式也相等。這樣，有時為了證明兩個邏輯函數(shù)相等，可以通過證明它們的對偶式相等來完成，因為有些情況下，證明它們的對偶式相等更容易。與反演定理不同的地方

對偶規(guī)則是各基本法則、定律具有對偶性的必然結(jié)果（例公式（1）-（8）成立，則公式（11）-（18）已無須另作證明，因子可逐個檢查。

例：第一分配律是：A（B+C）=AB+AC

其對偶式是：A+BC=（A+B）（A+C）這就是第二分配律

1.5邏輯函數(shù)及其表示方法解：第一步：設置自變量和因變量。第二步：狀態(tài)賦值。

對于自變量A、B、C設：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。

對于因變量L設：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。1.5.1

、邏輯函數(shù)的建立例1.5.1

三個人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定，試建立該邏輯函數(shù)。第三步：根據(jù)題義及上述規(guī)定列出函數(shù)的真值表。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表決電路真值表

一般地說，若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量L的值也唯一地確定了，就稱L是A、B、C的邏輯函數(shù)，寫作：

L=f（A，B，C…）

邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相比較，有兩個突出的特點：（1）邏輯變量和邏輯函數(shù)只能取兩個值0和1。（2）函數(shù)和變量之間的關系是由“與”、“或”、“非”三種基本運算決定的。四種表示方法邏輯代數(shù)式

(邏輯表示式,邏輯函數(shù)式)11&&≥1ABY

邏輯電路圖:卡諾圖n個輸入變量種組合。真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應的輸出變量值用列表的方式一一對應列出的表格。

1.5.2、邏輯函數(shù)的表示方法將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對應地列出。n個變量可以有2n個輸入狀態(tài)。1）真值表列真值表的方法：一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應，列出所有可能的狀態(tài)。例如：2）邏輯函數(shù)式

邏輯代數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關系寫成與、或、非等邏輯運算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。例：3）邏輯圖把相應的邏輯關系用邏輯符號和連線表示出來，就構(gòu)成了邏輯圖。&AB&CD1FF=AB+CD例1.5.2

列出下列函數(shù)的真值表：

1．真值表——將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。

2．函數(shù)表達式——由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運算符所構(gòu)成的表達式。

由真值表可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)表達式。例如，由“三人表決”函數(shù)的真值表可寫出邏輯表達式：解：該函數(shù)有兩個變量，有4種取值的可能組合，將他們按順序排列起來即得真值表。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表決電路真值表

反之，由函數(shù)表達式也可以轉(zhuǎn)換成真值表。真值表00011011AB1001

L三種表示方法相互轉(zhuǎn)換

3．邏輯圖——由邏輯符號及它們之間的連線而構(gòu)成的圖形。例1.5.4

寫出如圖所示邏輯圖的函數(shù)表達式。由函數(shù)表達式可以畫出邏輯圖。解：可用兩個非門、兩個與門和一個或門組成。例1.5.3

畫出函數(shù)

的邏輯圖：

由邏輯圖也可以寫出表達式。解：LogicalFunctionCAD三種表示方法相互轉(zhuǎn)換

1、DigitalDesignsoftware2、DIY？1.6邏輯函數(shù)的公式化簡法1．邏輯函數(shù)式的常見形式

一個邏輯函數(shù)的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。例如：與——或表達式或——與表達式與非——與非表達式或非——或非表達式與——或——非表達式其中，與—或表達式是邏輯函數(shù)的最基本表達形式。2．邏輯函數(shù)的最簡“與—或表達式”的標準

3．用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)（1）并項法：運用公式將兩項合并為一項，消去一個變量。例：（1）與項最少，即表達式中“+”號最少。（2）每個與項中的變量數(shù)最少，即表達式中“·

”號最少。（4）配項法：

（2）吸收法：（3）消去法：運用吸收律A+AB=A，消去多余的與項。例：例：運用吸收律消去多余因子。先通過乘以或加上，增加必要的乘積項，再用以上方法化簡。例：

在化簡邏輯函數(shù)時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯函數(shù)化為最簡。例1.6.1

化簡邏輯函數(shù)：

解：（利用）（利用A+AB=A）（利用

）例1.6.2

化簡邏輯函數(shù)：

解：（利用反演律）

（利用）

（利用A+AB=A）（配項法）

（利用A+AB=A）（利用）由上例可知，有些邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。

解法1：例1.6.3

化簡邏輯函數(shù)：

（增加多余項）（消去一個多余項）（再消去一個多余項）

解法2：（增加多余項）

（消去一個多余項）（再消去一個多余項）代數(shù)化簡法的優(yōu)點：不受變量數(shù)目的限制。

缺點：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；需要一定的技巧和經(jīng)驗；不易判定化簡結(jié)果是否最簡。Question:怎么判斷最簡？上式中為兩個異或的或，提示一下：L＝f（A，B，C）補充：試用代數(shù)法將邏輯函數(shù)式化簡為最簡或與式。

1.7邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

一、

最小項的定義與性質(zhì)

最小項——n個變量的邏輯函數(shù)中，包含全部變量的乘積項稱為最小項。n變量邏輯函數(shù)的全部最小項共有2n個。

ABC000001010011100101110111變量取值最小項m0m1m2m3m4m5m6m7編號

三變量函數(shù)的最小項最小項mi：mi是乘積項包含n個因子n個變量均以原變量和反變量的形式在mi中出現(xiàn)一次對于n變量函數(shù)有2n個最小項

邏輯函數(shù)的標準形式：

最小項之和

最大項之積

最小項的性質(zhì)在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1全體最小項之和為1任何兩個最小項之積為0兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對因子，只留下公共因子。

------相鄰：僅一個變量不同的最小項如之所以稱之為最小項，是因為該項已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。例如：對于三變量的邏輯函數(shù)，如果某一項的變量數(shù)少于3個，則該項可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等于3個，則該項不能繼續(xù)分解。根據(jù)最小項的特點，從真值表可直接用最小項寫出邏輯函數(shù)式。例如：由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫出其邏輯函數(shù)式：驗證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿足真值表中所列出的對應的輸出狀態(tài)。邏輯相鄰：若兩個最小項只有一個變量以原、反區(qū)別，其他變量均相同，則稱這兩個最小項邏輯相鄰。邏輯相鄰邏輯相鄰的項可以合并，消去一個因子二、邏輯函數(shù)的最小項表達式

解：

=m7+m6+m3+m1

解：

=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）

任何一個邏輯函數(shù)表達式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項之和，稱為最小項表達式。

例1：將函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式。

例2：

將函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項表達式。三、卡諾圖

2.卡諾圖

一個小方格代表一個最小項，然后將這些最小項按照相鄰性排列起來。即用小方格幾何位置上的相鄰性來表示最小項邏輯上的相鄰性。

1．相鄰最小項

如果兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，則稱這兩個最小項為邏輯相鄰，簡稱相鄰項。

如果兩個相鄰最小項出現(xiàn)在同一個邏輯函數(shù)中，可以合并為一項，同時消去互為反變量的那個量。如最小項ABC和就是相鄰最小項。如：

實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來以2n個小方塊分別代表n變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。最小項：輸入變量的每一種組合。ABY001011101110AB01010111輸出變量Y的值輸入變量例1：二輸入變量卡諾圖卡諾圖的每一個方塊（最小項）代表一種輸入組合，并且把對應的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。卡諾圖的畫法邏輯相鄰：相鄰單元輸入變量的取值只能有一位不同。0100011110

ABC00000111輸入變量輸出變量Y的值ABCY00000010010001101000101111011111例2：三輸入變量卡諾圖注意：00與10邏輯相鄰。ABCD0001111000011110四變量卡諾圖編號為0010單元對應于最小項：ABCD=0100時函數(shù)取值函數(shù)取0、1均可，稱為無所謂狀態(tài)。只有一項不同例3：四輸入變量卡諾圖有時為了方便，用二進制對應的十進制表示單元格的編號。單元格的值用函數(shù)式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7單元取1，其它取0ABC編號

00000011010201131004101511061117ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號:3．卡諾圖的結(jié)構(gòu)（2）三變量卡諾圖

（1）二變量卡諾圖

A

Bm0m1m3m2

AB

00

01

11

10m0m1m3m2m4m5m7m6

A

B

Cm0m1m3m2m4m5m7m6

BC

00

01

11

10

A

01（3）四變量卡諾圖

卡諾圖具有很強的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項在邏輯上一定是相鄰的。（2）對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。

m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10

C

DAB

CD

00

01

11

10

AB

00

01

11

10(4)五變量的卡諾圖

已經(jīng)不能直觀地用平面上的幾何相鄰表示邏輯相鄰，以中軸左右對稱的最小項也是相鄰的因此，超過4個變量后，卡諾圖失去直觀性的優(yōu)點，一般不用這種方法表示，以及化簡函數(shù)。

四、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

1．從真值表到卡諾圖例1.7.3

已知某邏輯函數(shù)的真值表，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。解：

該函數(shù)為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后根據(jù)真值表將8個最小項L的取值0或者1填入卡諾圖中對應的8個小方格中即可。000001010011100101110111ABC00010111L

真值表ABC0000111110

A

B

C111100002．從邏輯表達式到卡諾圖（2）如不是最小項表達式，應先將其先化成最小項表達式，再填入卡諾圖。也可由“與——或”表達式直接填入。（1）如果表達式為最小項表達式，則可直接填入卡諾圖。解：寫成簡化形式：解：直接填入：例1.7.4

用卡諾圖表示邏輯函數(shù):然后填入卡諾圖：例1.7.5

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：

C

D

A

B

GF

BC

00

01

11

10

A

01111100001111110000000000

五、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

1．卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原理:（1）2個相鄰的最小項可以合并，消去1個取值不同的變量。（2）4個相鄰的最小項可以合并，消去2個取值不同的變量。

C

A

B

D1111111

C

A

B

D11111111（3）8個相鄰的最小項可以合并，消去3個取值不同的變量?？傊?，2n個相鄰的最小項可以合并，消去n個取值不同的變量。

C

A

B

D111111111111ABCD0001111000011110錯誤示例：2．用卡諾圖合并最小項的原則（畫圈的原則）

（1）盡量畫大圈，但每個圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個相鄰項。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個數(shù)盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項。（4）在新畫的包圍圈中至少要含有1個末被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。

3．用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟：（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項，即根據(jù)前述原則畫圈。（3）寫出化簡后的表達式。每一個圈寫一個最簡與項，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項進行邏輯加，即得最簡與—或表達式。例1.7.6

化簡邏輯函數(shù)：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（1）由表達式畫出卡諾圖。（2）畫包圍圈，

合并最小項，

得簡化的

與—或表達式:

C

A

B

D1111111111100000解：（1）由表達式畫出卡諾圖。注意：圖中的綠色圈

是多余的，應去掉。例1.7.7

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：（2）畫包圍圈合并最小項，得簡化的與—或表達式:

C

A

B

D1111111100000000例1.7.8

已知某邏輯函數(shù)先畫真值表，用卡諾圖化簡該函數(shù)。（2）畫包圍圈合并最小項。有兩種畫圈的方法：解：（1）由真值表畫出卡諾圖。

由此可見，一個邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結(jié)果有時不是唯一的。

（a）：寫出表達式：

（b）：寫出表達式：000001010011100101110111ABC01111110L

真值表10110111

A

B

C

L10110111

A

B

C

L4．卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的另一種方法——圈0法例1.7.9

已知邏輯函數(shù)的卡諾圖如圖示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與—或式。（2）用圈0法，得：

解：（1）用圈1法，得：對L取非得：

C

A

B

D1101111011111111

C

A

B

D1101111011111111約束項任意項邏輯函數(shù)中的無關項：約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關項。在邏輯函數(shù)中，對輸入變量取值的限制，在這些取值下為1的最小項稱為約束項在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或為0不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項稱為任意項1.8具有無關項的函數(shù)及其化簡

1．無關項——在有些邏輯函數(shù)中，輸入變量的某些取值組合不會出現(xiàn)，或者一旦出現(xiàn)，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應的最小項稱為無關項、任意項或約束項。

例1.8.1：在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停