平面問題的基本理論

平面問題的基本理論第一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.1平面應(yīng)力與平面應(yīng)變平面應(yīng)力第二頁，共七十二頁，2022年，8月28日要點：第三頁，共七十二頁，2022年，8月28日平面應(yīng)變問題縱向軸壓力管道縱向軸水壩第四頁，共七十二頁，2022年，8月28日第五頁，共七十二頁，2022年，8月28日第六頁，共七十二頁，2022年，8月28日第七頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.2平衡微分方程1.微元體介紹2.受力介紹3.力矩平衡4.第八頁，共七十二頁，2022年，8月28日剪應(yīng)力互等第九頁，共七十二頁，2022年，8月28日第十頁，共七十二頁，2022年，8月28日第十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日1.三個未知數(shù)、兩個方程，仍是超靜定問題，還需從幾何、物理方面著手2.以微元體考慮的靜力學條件，嚴格精確3.完全適用于平面應(yīng)變問題第十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.3平面中任意一點的應(yīng)力狀態(tài)問題：求經(jīng)過P點、平行于z軸、傾斜于x、y軸的任何斜面上的力條件：任意點p點的應(yīng)力分量已知第十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日1.方向余弦的概念2.力的分解:坐標軸方向、法切方向3.微元PAB：單位厚度AB=ds,則PA=mds,PB=lds,第十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日第十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日若過P點某一個斜面切向應(yīng)力為零，則正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，該面為應(yīng)力主面鏈接18第十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日應(yīng)力主面上，切應(yīng)力為零。即建立主面上主應(yīng)力與應(yīng)力分量的關(guān)系第十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日得到兩個主應(yīng)力第一應(yīng)力不變量第十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日第十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日第二十頁，共七十二頁，2022年，8月28日第二十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.4幾何方程1.介紹微線段PA、PB及其變化PA=dx,PB=dy,2.線應(yīng)變ε的求法3.剪應(yīng)變γ的求法第二十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日位移分量形變分量第二十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.5物理方程1.平面應(yīng)力推導2.平面應(yīng)變推導第二十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力第二十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日3個應(yīng)力分量、3個形變分量、2個位移分量，8個未知量，8個方程，還需要邊界條件才能求出第二十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日§2.6

邊界條件彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿足面力邊界條件，維持彈性體表面的平衡。邊界面力已知——面力邊界Ss

確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。邊界條件─表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。第二十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日邊界面應(yīng)力分量和外力分量作用在不同的面上，且有不同的正負號規(guī)定。必須把邊界s的坐標表達式代入到左邊的應(yīng)力分量中，上式才成立。第二十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日在坐標正面上，應(yīng)力分量與面力分量同號；在坐標負面上，應(yīng)力分量與面力分量異號。第二十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日平面問題中，每邊都有表示x向和y向的兩個邊界條件。在邊界面為正負x面時，應(yīng)力邊界條件中并沒有；在邊界面為正負y面時，應(yīng)力邊界條件中并沒有；即，平行于邊界面的正應(yīng)力，它的邊界值與面力分量并不直接相關(guān)。第三十頁，共七十二頁，2022年，8月28日面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部的平衡。這種平衡只是靜力學可能的平衡。真正處于平衡狀態(tài)的彈性體，還必須滿足變形連續(xù)條件。第三十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日位移邊界條件邊界位移已知——位移邊界Su

位移邊界條件就是彈性體表面的變形協(xié)調(diào)彈性體臨近表面的位移與已知邊界位移相等

第三十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日混合邊界條件彈性體邊界

S＝Ss＋Su部分邊界位移已知——位移邊界Su

部分邊界面力已知——面力邊界Ss不論是面力邊界條件，位移邊界條件，還是混合邊界條件，任意邊界的邊界條件數(shù)必須等于3個。第三十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日

第三十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日顯然，邊界條件要求在x=±a上，σx也成拋物線分布。第三十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日第三十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.7圣維南原理圣維南原理又稱為局部效應(yīng)原理，它可以用于簡化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。重點難點

注意圣維南原理只能應(yīng)用于小邊界上。應(yīng)用圣維南原理于應(yīng)力邊界條件的表達方式。第三十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日概述彈力問題是微分方程的邊值問題。應(yīng)力、位移等未知函數(shù)必須滿足A內(nèi)的方程和S上的邊界條件，主要的困難在于難以滿足邊界條件。圣維南原理可用于簡化小邊界上的應(yīng)力邊界條件。第三十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計。說明：1.圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界（小邊界，次要邊界或局部邊界）；2.靜力等效─指兩者主矢量相同，對同一點主矩也相同；3.近處─指面力變換范圍的一、二倍的局部區(qū)域；4.遠處─指“近處”之外。第三十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日圣維南原理推廣：

如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠處的應(yīng)力可以不計。第四十頁，共七十二頁，2022年，8月28日圣維南原理的應(yīng)用：

1．推廣解答的應(yīng)用；

2．簡化小邊界上的邊界條件。圣維南原理在小邊界上的應(yīng)用：

如圖，考慮x=l小邊界，第四十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日第四十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日第四十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日第四十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日作業(yè)：2-8、2-9、2-15第四十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.8按位移求解平面問題位移法（按位移求解的方法）——是取位移分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力和形變分量，導出只含位移分量的方程和邊界條件；并由此解出位移分量，再求出形變分量和應(yīng)力分量。學習目標掌握按位移求解的概念，方程的導出和求解方法。重點難點掌握基本未知函數(shù)——位移所應(yīng)滿足的全部條件。第四十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日1.平面問題的基本方程及邊界條件第四十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日第四十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日2.解法─消元法

第四十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日上式是用

u,v表示的平衡微分方程

第五十頁，共七十二頁，2022年，8月28日第五十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日第五十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日第五十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日第五十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日第九節(jié)按應(yīng)力求解平面問題

相容方程以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，導出求解應(yīng)力的基本方程和邊界條件掌握按應(yīng)力求解的概念，方程的導出。

按應(yīng)力求解的方程的導出，應(yīng)力分量必須滿足的全部條件。第五十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日第五十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日第五十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日連續(xù)體的形變分量不是相互獨立的教材上的例子第五十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日對x求導對y求導+第五十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力平面應(yīng)變第六十頁，共七十二頁，2022年，8月28日第六十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日第六十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日第六十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日本節(jié)介紹在常體力情況下，按應(yīng)力求解方法的進一步簡化。學習目標

1.在單連體、體力為常量，且全部均為應(yīng)力邊界條件下，平面應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無關(guān)。

2.在常體力情況下，按應(yīng)力求解簡化為求解應(yīng)力函數(shù)的問題。2-10常體力情況下的簡化/應(yīng)力函數(shù)第六十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日重點難點

平面應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無關(guān)的條件。

按應(yīng)力函數(shù)求解平面問題的方法。第六十五頁，共七十二頁