平面波的反射與透射

平面波的反射與透射第一頁，共七十頁，2022年，8月28日第七章平面波的反射與透射在無限彈性介質(zhì)中有無旋波（縱波）和等容波（橫波）這兩種彈性波的傳播。但是實際介質(zhì)內(nèi)部，一般都會存在分界面。如地表表面、巖層的分界面。通常把實際地層稱為層狀介質(zhì)。本章研究彈性波在傳播的過程中遇到分界面的情況。

縱波和橫波地震波到達之處,介質(zhì)就產(chǎn)生形變。由力學(xué)定律知道，任何小的形變都可以分解為兩部分：一部分表示脹縮，即變體積而不變形狀；另一部分表示畸變，即變形狀而不變體積。形變傳播時，兩部分的傳播速度不同。在震源附近，兩部分還未分開，所以波經(jīng)過處的形變是復(fù)雜的。在較遠的地方，波陣面就分成兩個。脹縮波傳播較快，波陣面上的質(zhì)點位移和傳播方向一致，所以叫做縱波，一般用字母P(Primary)表示。較慢的叫畸變波,質(zhì)點位移和傳播方向垂直，所以叫做橫波,一般用字母S(shear)表示。在均勻的介質(zhì)中，波陣面在震源附近是曲面，但在相當(dāng)距離后就趨近于平面。為簡單起見，現(xiàn)只討論平面波。第二頁，共七十頁，2022年，8月28日地震P波(縱波)和S波(橫波)運行時彈性巖石運動的形態(tài)第三頁，共七十頁，2022年，8月28日第四頁，共七十頁，2022年，8月28日縱波：間隔形成壓縮帶（密集帶）和膨脹帶（稀疏帶），傳播方向與振動方向一致，波速――Vp橫波：傳播方向與振動方向相垂直，波速――Vs水平面內(nèi)分量：稱SV波垂直面內(nèi)分量：稱SH波第五頁，共七十頁，2022年，8月28日§7-1平面波在自由界面上的反射自由界面：指地表應(yīng)力為零的界面，半無限彈性體的界面就是自由界面。由于地球表面大氣壓相對于地球內(nèi)部壓力來說是十分小的，在討論中可把大氣壓忽略不計，于是地球表面可以看作自由界面。第六頁，共七十頁，2022年，8月28日三點說明因為地球介質(zhì)在短暫力（如爆炸）的作用下，在離開震源稍遠的大部分地區(qū)可看成彈性體，并且地球半徑比地震波波長大得多，所以可將地球看作半無限大彈性介質(zhì)，同時，可近似將地震波視為平面波。任何復(fù)雜的波都可看成一系列不同振幅，不同頻率及波長諧波的疊加，因此僅討論一個平面諧波入射到自由界面的情形即可。如果平面波的傳播方向與z軸垂直（即在xoy面或平行于xoy的平面內(nèi)），彈性動力學(xué)問題中的場變量都依賴于x和y兩維，此時彈性動力學(xué)問題為二維問題，這時討論分層介質(zhì)波傳播問題就是討論這樣二維彈性動力學(xué)問題。第七頁，共七十頁，2022年，8月28日§7-1平面波在自由界面上的反射一、平面縱波在自由界面上的反射設(shè)半無限彈性介質(zhì)的自由表面為yoz面，z軸與圖面垂直。假定yoz面的左邊為真空，由于沒有傳播振動的介質(zhì)，故不會產(chǎn)生透射問題，全部入射波都在界面上被反射。P1入射縱波P1S1反射橫波P11反射縱波第八頁，共七十頁，2022年，8月28日設(shè)一平面縱波與x軸夾角為α1的方向入射到自由界面；設(shè)入射縱波中質(zhì)點的位移函數(shù)（即波動方程的解）為：改寫為第九頁，共七十頁，2022年，8月28日設(shè)入射波為拉伸波，即質(zhì)點的運動方向與波的前進方向相反，于是可以知道在入射波中質(zhì)點的位移分量為：假設(shè)與自由界面作用后，只有縱波反射，且反射縱波的位移函數(shù)為：f2前面的負(fù)號原因：反射波相對于x軸而言，是正向傳播。δ1為常數(shù)，表示由反射所引起的相位改變。仍假設(shè)反射波為拉伸波，在此波動中質(zhì)點的位移分量為：第十頁，共七十頁，2022年，8月28日問題：確定反射波的各參數(shù)方法：由邊界條件可以確定邊界條件：在自由界面上位移不受任何限制，即應(yīng)力等于零；即在x=0的平面上，對于y與t的任意值有由廣義胡克定理和幾何方程可以得到：在此波動中，質(zhì)點的位移函數(shù)與z無關(guān)，且位移在z方向的分量w=0第十一頁，共七十頁，2022年，8月28日因為在自由界面上既有入射波帶來的位移，又有反射波帶來的位移。所以在假定只有反射縱波的時候，有代入邊界條件可以得到：第十二頁，共七十頁，2022年，8月28日對于y的任意值，為了使第一式得到滿足，必須有上面兩式是等價的，說明經(jīng)過自由界面的反射，位移的位相改變了π，但是將其代入第二式卻不能使第二式得到滿足。于是我們可以知道僅有一反射的縱波，是不能同時滿足邊界上無正應(yīng)力和無剪應(yīng)力的邊界條件的?，F(xiàn)在我們證明還有一反射的橫波，入射縱波、反射縱波、反射橫波代入可以同時滿足邊界上的邊界條件。第十三頁，共七十頁，2022年，8月28日設(shè)反射橫波的傳播方向與x軸的夾角為β2，相應(yīng)于此波質(zhì)點的位移函數(shù)為：考慮到橫波中質(zhì)點的位移與傳播方向垂直，且假定z方向無運動，因此振動必然發(fā)生在oxy平面內(nèi)，這樣，在次波動中質(zhì)點的位移分量為：第十四頁，共七十頁，2022年，8月28日入射縱波、反射縱波、反射橫波同時存在，在自由界面上質(zhì)點的位移分量為：代入邊界條件可以得到：第十五頁，共七十頁，2022年，8月28日整理可以得到：第十六頁，共七十頁，2022年，8月28日由此可以得到:一、二、入射波、反射波振幅間的關(guān)系第十七頁，共七十頁，2022年，8月28日結(jié)論：平面縱波在自由界面上反射的特點（1）、縱波入射到自由界面上時，將產(chǎn)生兩種反射波，即反射縱波和反射橫波。（2）、入射波與反射波的傳播方向存在關(guān)系。當(dāng)入射波為縱波的時候，反射縱波的射線與自由界面法線的夾角等于入射角，反射橫波的射線與自由界面法線的夾角與入射角的夾角，類似與光的折射的關(guān)系。（3）如果取反射波的位相改變量為零，入射波和反射波的振幅也存在相應(yīng)的關(guān)系。當(dāng)入射波的振幅、入射角以及材料的彈性常數(shù)已知時，可以求出反射縱波、反射橫波的反射角及振幅。第十八頁，共七十頁，2022年，8月28日反射時波的能量分配關(guān)系波的能量與振幅的平方成正比，引入振幅比應(yīng)用線性代數(shù)的克萊姆法則第十九頁，共七十頁，2022年，8月28日第二十頁，共七十頁，2022年，8月28日不同材料反射系數(shù)隨入射角的變化第二十一頁，共七十頁，2022年，8月28日研究入射縱波的應(yīng)力與反射波的應(yīng)力之間的關(guān)系：入射縱波在傳播方向引起的應(yīng)力為：第二十二頁，共七十頁，2022年，8月28日反射縱波的位移方程為：反射橫波的位移方程為：第二十三頁，共七十頁，2022年，8月28日結(jié)論：入射縱波引起的應(yīng)力和兩個反射波引起的應(yīng)力都是時間和位置的函數(shù)。在自由界面上存在：入射縱波的應(yīng)力與反射波應(yīng)力的關(guān)系。第二十四頁，共七十頁，2022年，8月28日二、平面橫波在自由界面上的反射橫波：質(zhì)點的運動方向與波的傳播方向垂直，但是不限定于那個面內(nèi)。故考慮任一橫波所引起的位移可以是振動方向互相垂直的二波疊加而成。無論質(zhì)點在什么方向振動，它與波的傳播方向垂直，可以分解為一個平行于z軸和垂直于z軸（即在xoy面）的運動。質(zhì)點平行于z軸振動的橫波，我們稱為SH波；質(zhì)點垂直于z軸振動的橫波，我們稱為SV波。第二十五頁，共七十頁，2022年，8月28日在研究中，通常把橫波看作是由兩個方向的振動所組成，一個是質(zhì)點振動在水平平面內(nèi)的橫波分量，稱為SV波，一個是質(zhì)點振動在垂直平面內(nèi)的橫波分量，稱為SH波，SV波SH波第二十六頁，共七十頁，2022年，8月28日（1）質(zhì)點平行于z軸振動的橫波（SH波），到達自由界面時應(yīng)該滿足的邊界條件。邊界條件為：在x=0的平面上由于振動平行于z軸，故在此波動中質(zhì)點沒有x和y方向的位移，即u=v=0，由于w只是x、y、t的函數(shù)，與z沒有關(guān)系。由這個唯一的邊界條件可以分析得到以下結(jié)論：質(zhì)點平行于z軸振動的橫波（SH波），入射到自由界面時，只產(chǎn)生一個質(zhì)點是平行于z軸振動的反射橫波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅與入射波的振幅數(shù)值相等，但是位相改變了；沒有縱波反射。第二十七頁，共七十頁，2022年，8月28日SH波入射到自由界面第二十八頁，共七十頁，2022年，8月28日SH波第二十九頁，共七十頁，2022年，8月28日由這個唯一的邊界條件可以分析得到以下結(jié)論：質(zhì)點平行于z軸振動的橫波（SH波），入射到自由界面時，只產(chǎn)生一個質(zhì)點是平行于z軸振動的反射橫波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅與入射波的振幅數(shù)值相等，但是位相改變了；沒有縱波反射。SH波第三十頁，共七十頁，2022年，8月28日（2）對于質(zhì)點垂直于z軸（即在xoy面）振動的橫波（sv波），質(zhì)點在z方向上沒有運動。分析問題的方式和入射縱波在自由界面上反射的問題相似邊界條件：在自由界面上位移不受任何限制，即應(yīng)力等于零；即在x=0的平面上，對于y與t的任意值有由邊界條件得到結(jié)論：質(zhì)點垂直于z軸（即在xoy面）振動的橫波（sv1波）入射到自由界面上時，將產(chǎn)生兩種反射波，即反射橫波sv11和反射縱波sv1P1。第三十一頁，共七十頁，2022年，8月28日SV波入射到自由界面第三十二頁，共七十頁，2022年，8月28日入射波與反射波的傳播方向存在關(guān)系。當(dāng)入射波為橫波的時候，反射橫波的射線與自由界面法線的夾角等于入射角，反射縱波的射線與自由界面法線的夾角與入射角有如下的關(guān)系。如果取反映反射時位相改變的量等于零，則反射橫波的振幅和反射縱波的振幅與入射橫波的振幅之間的關(guān)系為第三十三頁，共七十頁，2022年，8月28日用位移場來討論取自由界面為xoy平面，y為波前與自由界面的交線，z軸指向介質(zhì)內(nèi)部。波前面垂直于xoz面，因此和都與y無關(guān)。第三十四頁，共七十頁，2022年，8月28日P波入射第三十五頁，共七十頁，2022年，8月28日SV波入射第三十六頁，共七十頁，2022年，8月28日直角坐標(biāo)上進行投影質(zhì)點平行于xoz面的位移由平面縱波P和平面SV波引起；質(zhì)點垂直于xoz面的位移由平面SH、波引起。第三十七頁，共七十頁，2022年，8月28日P波和平面SV波上面公式的通解形式為：第三十八頁，共七十頁，2022年，8月28日P波和平面SV波第三十九頁，共七十頁，2022年，8月28日P波和平面SV波第四十頁，共七十頁，2022年，8月28日邊界條件第四十一頁，共七十頁，2022年，8月28日求解第四十二頁，共七十頁，2022年，8月28日當(dāng)只有SV波入射時第四十三頁，共七十頁，2022年，8月28日當(dāng)SH波入射時第四十四頁，共七十頁，2022年，8月28日§7-2平面波在兩種介質(zhì)分界面上的反射和透射實際地球內(nèi)部是成層結(jié)構(gòu)的，我們稱為層狀介質(zhì)。地震波在層與層之間的分界面上將會產(chǎn)生反射和透射?？梢宰C明，當(dāng)任何一種彈性波到達緊密接觸的兩種介質(zhì)的分界面時，一般來講，都會產(chǎn)生四種波，其中兩種波透射到第二種介質(zhì)中去；另外兩種波反射回原來的介質(zhì)。緊密接觸的兩種介質(zhì)：對于地球內(nèi)部的情況來說，壓縮很大，對于相當(dāng)微弱的彈性振動，可以認(rèn)為分界面兩邊的介質(zhì)質(zhì)點是緊密接觸的，界面上的介質(zhì)是連續(xù)的。在兩種介質(zhì)的分界面上的位移和應(yīng)力都是連續(xù)的。于是可以得到分界面上的邊界條件。第四十五頁，共七十頁，2022年，8月28日邊界條件：在分界面上有力的邊界條件：分界面兩邊的應(yīng)力相等；在分界面上有位移的邊界條件：分界面兩邊的位移相等。即：下述四個量應(yīng)該相等1、正應(yīng)力2、剪應(yīng)力3、質(zhì)點的法向位移4、質(zhì)點的切向位移上述每個量都由五個位移分量組合而成。其中三個分量來自原來介質(zhì)的入射波和兩個反射波，另外兩個來自第二種介質(zhì)的兩個透射波。一、入射波為縱波。yoz面為兩種介質(zhì)a介質(zhì)和b介質(zhì)的分界面，x軸為界面的法線，一平面縱波平行于xoy面與x軸夾角為α1的方向入射到自由界面。第四十六頁，共七十頁，2022年，8月28日層狀介質(zhì)第四十七頁，共七十頁，2022年，8月28日P1入射縱波P1S1反射橫波P12透射縱波P1S2透射橫波設(shè)入射縱波中質(zhì)點的位移函數(shù)為：相應(yīng)的位移分量為：第四十八頁，共七十頁，2022年，8月28日設(shè)反射縱波中質(zhì)點的位移函數(shù)為：相應(yīng)的位移分量為：相應(yīng)的位移分量為：設(shè)反射橫波中質(zhì)點的位移函數(shù)為：第四十九頁，共七十頁，2022年，8月28日設(shè)透射縱波中質(zhì)點的位移函數(shù)為：相應(yīng)的位移分量為：相應(yīng)的位移分量為：設(shè)透射橫波中質(zhì)點的位移函數(shù)為：第五十頁，共七十頁，2022年，8月28日在a介質(zhì)中質(zhì)點的總位移分量為：在b介質(zhì)中質(zhì)點的總位移分量為：設(shè)入射縱波的各個參數(shù)為已知，于是可以由邊界條件確定反射波和投射波的各參數(shù)。1、在分界面上位移連續(xù)，有第五十一頁，共七十頁，2022年，8月28日代入可得：第五十二頁，共七十頁，2022年，8月28日2、在分界面上應(yīng)力連續(xù)，有第五十三頁，共七十頁，2022年，8月28日結(jié)論：1、入射縱波到達兩種介質(zhì)的分界面上時，反射兩種波，即反射縱波和反射橫波；透射兩種波，即透射縱波和透射橫波。2、入射波、反射波及透射波的傳播方向之間存在關(guān)系：3、入射波、反射波及透射波的振幅之間存在關(guān)系：第五十四頁，共七十頁，2022年，8月28日寫成矩陣形式：這就是著名的佐普瑞茲Zoepritz方程。第五十五頁，共七十頁，2022年，8月28日

根據(jù)能量守恒原則有：第五十六頁，共七十頁，2022年，8月28日第五十七頁，共七十頁，2022年，8月28日垂直入射（或法向入射）時波的反射和透射由此可推導(dǎo)出用于揭示入射、反射、透射波能量分配關(guān)系的佐普瑞茲(Zoepritz)方程。在該方程中，令入射角求解得：第五十八頁，共七十頁，2022年，8月28日要把質(zhì)點的振動分解為平行于z軸和在oxy平面內(nèi)的兩個分量。1、對于質(zhì)點平行于z軸的振動；即SH波它沒有垂直于分界面的運動，因此不產(chǎn)生反射和透射的縱波，即存在如下關(guān)系：二、入射波為橫波第五十九頁，共七十頁，2022年，8月28日2、對于質(zhì)點垂直于z軸（即在oxy平面內(nèi)）的振動；即SV波SV1：入射橫波SV11：反射橫波SV1P1：反射縱波SV1P2：透射縱波SV12：透射橫波第六十頁，共七十頁，2022年，8月28日入射波、反射波即透射波相應(yīng)的各參數(shù)關(guān)系如下：第六十一頁，共七十頁，2022年，8月28日垂直入射（或法向入射）時波的反射和透射求解得：第六十二頁，共七十頁，2022年，8月28日全反射問題：當(dāng)反射波和透射波的速度大于入射波的速度時，就存在入射的臨界角，在這種角度之下，反射角和透射角成為90。如果入射角比它還大，關(guān)系式就不對。從而出現(xiàn)了類似在光學(xué)中所謂的全反射的情況。全反射:第六十三頁，共七十頁，2022年，8月28日當(dāng)?shù)揭欢ǔ潭?，但還未到時，已增大到，這時透射波在第二種介質(zhì)中沿界面“滑行”，出現(xiàn)“全反射”現(xiàn)象。開始出現(xiàn)“全反射”時的入射角叫臨界角

第六十四頁，共七十頁，2022年，8月28日對于入射角大于臨界角的問題，必須借助復(fù)變函數(shù)來解決。可以證明。代替一部分反射或透射的平面波，將產(chǎn)生一種波動，它是隨著離開分界面距離的增加而按指數(shù)規(guī)律減弱的波，這個波并不從邊界帶走能量，入射波的能量是分給了剩下來的反射波和透射波，但是，這種衰減波的存在，使所產(chǎn)生的其他波的位相有所改變。縱波入射到兩種介質(zhì)的分界面上的透射縱波；SV波入射于兩種介質(zhì)的分界面上時的透射縱波和透射SV波；或者SH波入射于兩種介質(zhì)的分界面上時的透射SH波等一般