第九講無(wú)套利定價(jià)原理總結(jié)

第九講無(wú)套利定價(jià)原理總結(jié)商業(yè)貿(mào)易中的套利行為

15,000元/噸貿(mào)易公司賣(mài)方甲買(mǎi)方乙17,000元/噸銅銅在商品貿(mào)易中套利時(shí)需考慮的成本：（1）信息成本：

（2）空間成本

（3）時(shí)間成本金融市場(chǎng)中的套利行為專(zhuān)業(yè)化交易市場(chǎng)的存在信息成本只剩下交易費(fèi)用產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)化金融產(chǎn)品的無(wú)形化－－沒(méi)有空間成本金融市場(chǎng)存在的賣(mài)空機(jī)制大大增加了套利機(jī)會(huì)金融產(chǎn)品在時(shí)間和空間上的多樣性也使得套利更為便捷

套利的定義套利指一個(gè)能產(chǎn)生無(wú)風(fēng)險(xiǎn)盈利的交易策略。這種套利是指純粹的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利。但在實(shí)際市場(chǎng)中，套利一般指的是一個(gè)預(yù)期能產(chǎn)生無(wú)風(fēng)險(xiǎn)盈利的策略，可能會(huì)承擔(dān)一定的低風(fēng)險(xiǎn)?！盁o(wú)套利定價(jià)”原理“無(wú)套利定價(jià)”原理金融產(chǎn)品在市場(chǎng)的合理價(jià)格是這個(gè)價(jià)格使得市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。那什么是套利機(jī)會(huì)呢？套利機(jī)會(huì)的等價(jià)條件（1）存在兩個(gè)不同的資產(chǎn)組合，它們的未來(lái)?yè)p益（payoff）相同，但它們的成本卻不同；損益：現(xiàn)金流不確定狀態(tài)下：每一種狀態(tài)對(duì)應(yīng)的現(xiàn)金流（2）存在兩個(gè)相同成本的資產(chǎn)組合，但是第一個(gè)組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個(gè)組合，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個(gè)組合的損益要大于第二個(gè)組合的支付。（3）一個(gè)組合其構(gòu)建的成本為零，但在所有可能狀態(tài)下，這個(gè)組合的損益都不小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下這個(gè)組合的損益要大于零。無(wú)套利定價(jià)原理（1）同損益同價(jià)格如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價(jià)格。（2）靜態(tài)組合復(fù)制定價(jià)：如果一個(gè)資產(chǎn)組合的損益等同于一個(gè)證券，那么這個(gè)資產(chǎn)組合的價(jià)格等于證券的價(jià)格。這個(gè)資產(chǎn)組合稱(chēng)為證券的“復(fù)制組合”（replicatingportfolio）。（3）動(dòng)態(tài)組合復(fù)制定價(jià)：如果一個(gè)自融資（self-financing）交易策略最后具有和一個(gè)證券相同的損益，那么這個(gè)證券的價(jià)格等于自融資交易策略的成本。這稱(chēng)為動(dòng)態(tài)套期保值策略（dynamichedgingstrategy）。確定狀態(tài)下無(wú)套利定價(jià)原理的應(yīng)用案例1：假設(shè)兩個(gè)零息票債券A和B，兩者都是在1年后的同一天支付100元的面值。如果A的當(dāng)前價(jià)格為98元。另外，假設(shè)不考慮交易成本。問(wèn)題：

（1）B的價(jià)格應(yīng)該為多少呢？（2）如果B的市場(chǎng)價(jià)格只有97.5元，問(wèn)如何套利呢？應(yīng)用同損益同價(jià)格原理：B的價(jià)格也為98元如果B的市場(chǎng)價(jià)格只有97.5元，賣(mài)空A，買(mǎi)進(jìn)B案例2：

假設(shè)當(dāng)前市場(chǎng)的零息票債券的價(jià)格為：①1年后到期的零息票債券的價(jià)格為98元；②2年后到期的零息票債券的價(jià)格為96元；③3年后到期的零息票債券的價(jià)格為93元；另外，假設(shè)不考慮交易成本。問(wèn)題：（1）息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券的價(jià)格為多少呢？（2）如果息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券價(jià)格為120元，如何套利呢？未來(lái)?yè)p益圖：1年末2年末3年末1010110靜態(tài)組合復(fù)制策略（1）購(gòu)買(mǎi)0.1張的1年后到期的零息票債券，其損益剛好為100×0.1＝10元；（2）購(gòu)買(mǎi)0.1張的2年后到期的零息票債券，其損益剛好為100×0.1＝10元；（3）購(gòu)買(mǎi)1.1張的3年后到期的零息票債券，其損益剛好為100×1.1＝110元；根據(jù)無(wú)套利定價(jià)原理的推論0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝121.7問(wèn)題(2)的答案：市場(chǎng)價(jià)格為120元，低估B，則買(mǎi)進(jìn)B，賣(mài)出靜態(tài)組合（1）買(mǎi)進(jìn)1張息票率為10％，1年支付1次利息的三年后到期的債券；（2）賣(mài)空0.1張的1年后到期的零息票債券；（3）賣(mài)空0.1張的2年后到期的零息票債券；（4）賣(mài)空1.1張的3年后到期的零息票債券；案例3：假設(shè)從現(xiàn)在開(kāi)始1年后到期的零息票債券的價(jià)格為98元，從1年后開(kāi)始，在2年后到期的零息票債券的價(jià)格也為98元（1年后的價(jià)格）。另外，假設(shè)不考慮交易成本。

問(wèn)題：

（1）從現(xiàn)在開(kāi)始2年后到期的零息票債券的價(jià)格為多少呢？（2）如果現(xiàn)在開(kāi)始2年后到期的零息票債券價(jià)格為99元，如何套利呢？(1)從現(xiàn)在開(kāi)始1年后到期的債券Z0×1第1年末支付:100價(jià)格:98(2)1年后開(kāi)始2年后到期的債券Z1×2第2年末支付:100價(jià)格:98(3)從現(xiàn)在開(kāi)始2年后到期的債券Z0×2第2年末支付:100價(jià)格:？動(dòng)態(tài)組合復(fù)制策略：（1）先在當(dāng)前購(gòu)買(mǎi)0.98份的債券Z0×1；（2）在第1年末0.98份債券Z0×1到期，獲得0.98×100＝98元；（3）在第1年末再用獲得的98元去購(gòu)買(mǎi)1份債券Z1×2；交易策略現(xiàn)金流當(dāng)前第1年末第2年末(1)購(gòu)買(mǎi)0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末購(gòu)買(mǎi)1份Z1×2

-98100合計(jì)：-96.040100這個(gè)自融資交易策略的損益：就是在第2年末獲得本金100元，這等同于一個(gè)現(xiàn)在開(kāi)始2年后到期的零息票債券的損益。這個(gè)自融資交易策略的成本為：98×0.98＝96.04

自融資交易策略是指除了初始投資（initialinvestment）之外，在投資過(guò)程中，不追加任何投資，也不從投資中轉(zhuǎn)移資本，只通過(guò)資產(chǎn)組合本身所含資產(chǎn)的等額買(mǎi)賣(mài)進(jìn)行資產(chǎn)組合的結(jié)構(gòu)調(diào)整。如果市價(jià)為99元，如何套利構(gòu)造的套利策略如下：（1）賣(mài)空1份Z0×2債券，獲得99元，所承擔(dān)的義務(wù)是在2年后支付100元；（2）在獲得的99元中取出96.04元，購(gòu)買(mǎi)0.98份Z0×1；（3）購(gòu)買(mǎi)的1年期零息票債券到期，在第一年末獲得98元；（4）再在第1年末用獲得的98元購(gòu)買(mǎi)1份第2年末到期的1年期零息票債券；（5）在第2年末，零息票債券到期獲得100元，用于支付步驟（1）賣(mài)空的100元；交易策略現(xiàn)金流當(dāng)前第1年末第2年末(1)賣(mài)空1份Z0×299

-100(2)購(gòu)買(mǎi)0.98份Z0×1-0.98×98=-96.040.98×100=98

(3)在第1年末購(gòu)買(mǎi)1份Z1×2

-98100合計(jì)：99-96.04=2.9600不確定狀態(tài)下的無(wú)套利定價(jià)原理的應(yīng)用不確定狀態(tài)：資產(chǎn)的未來(lái)?yè)p益不確定假設(shè)市場(chǎng)在未來(lái)某一時(shí)刻存在有限種狀態(tài)在每一種狀態(tài)下資產(chǎn)的未來(lái)?yè)p益已知但未來(lái)時(shí)刻到底發(fā)生哪一種狀態(tài)不知道案例4：

假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A，當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為100元,1年后的市場(chǎng)可能出現(xiàn)兩種狀態(tài)：狀態(tài)1和狀態(tài)2。狀態(tài)1時(shí)，A的未來(lái)?yè)p益為105元，狀態(tài)2時(shí)，95元。有一證券B，它在1年后的未來(lái)?yè)p益也是：狀態(tài)1時(shí)105元，狀態(tài)2時(shí)95元。另外，假設(shè)不考慮交易成本。

問(wèn)題：（1）B的合理價(jià)格為多少呢？（2）如果B的價(jià)格為99元，如何套利？答案：（1）B的合理價(jià)格也為100元；（2）如果B為99元，價(jià)值被低估，則買(mǎi)進(jìn)B，賣(mài)空A。案例5：

假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A，當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為100元。1年后的市場(chǎng)出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1和狀態(tài)2。狀態(tài)1時(shí)，A的未來(lái)?yè)p益為105元，狀態(tài)2時(shí)，95元。有一證券B，它在1年后的未來(lái)?yè)p益也是：狀態(tài)1時(shí)120元，狀態(tài)2時(shí)110元。另外，假設(shè)不考慮交易成本，資金借貸也不需要成本。

問(wèn)題：（1）B的合理價(jià)格為多少呢？（2）如果B的價(jià)格為110元，如何套利？證券未來(lái)?yè)p益圖10010595風(fēng)險(xiǎn)證券APB120110風(fēng)險(xiǎn)證券B111資金借貸靜態(tài)組合策略：要求x份的證券A和y份的資金借貸構(gòu)成B解得：x=1,y=15

所以：B的價(jià)格為：1*100+15*1=115第(2)個(gè)問(wèn)題：當(dāng)B為110元時(shí)，如何構(gòu)造套利組合呢？套利組合：買(mǎi)進(jìn)B，賣(mài)空A，借入資金15元。

期初時(shí)刻的現(xiàn)金流期末時(shí)刻的現(xiàn)金流第一種狀態(tài)第二種狀態(tài)(1)買(mǎi)進(jìn)B-110120110(2)賣(mài)空A100-105-95(3)借入資金15元15-15-15合計(jì)500案例6：假設(shè)有一風(fēng)險(xiǎn)證券A，當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)格為100元。1年后的市場(chǎng)出現(xiàn)三種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1、2和3。狀態(tài)1、2和3時(shí)，A的未來(lái)?yè)p益分別為110.25，99.75，90.25元。有一證券B，它在1年后的未來(lái)?yè)p益也是：狀態(tài)1、2和3時(shí)，分別為125，112.5和109元。另外，假設(shè)不考慮交易成本，資金借貸的年利率為5.06％，半年利率為2.5％。問(wèn)題：（1）B的合理價(jià)格為多少呢？（2）如果B的價(jià)格為110元，如何套利？證券未來(lái)?yè)p益圖100110.2599.75風(fēng)險(xiǎn)證券A風(fēng)險(xiǎn)證券B資金借貸90.25PB125112.510911.05061.05061.0506構(gòu)造靜態(tài)組合：x份A和y份資金借貸構(gòu)成B方程無(wú)解！動(dòng)態(tài)組合復(fù)制動(dòng)態(tài)：我們把1年的持有期拆成兩個(gè)半年，這樣在半年后就可調(diào)整組合假設(shè)證券A在半年后的損益為兩種狀態(tài)，分別為105元和95元證券B的半年后的損益不知道110.2599.75風(fēng)險(xiǎn)證券A風(fēng)險(xiǎn)證券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025構(gòu)造如下的組合：（1）1份的證券A；（2）持有現(xiàn)金13.56。

在半年后進(jìn)行組合調(diào)整(1)證券A的損益為105時(shí)：

再買(mǎi)進(jìn)0.19份的證券A，需要現(xiàn)金19.95元（0.19×105＝19.95）持有的現(xiàn)金13.56，加上利息變?yōu)椋?3.56×1.025＝13.90。半年后的組合變?yōu)椋?.19份證券A現(xiàn)金－6.05（13.90–19.95）在1年后此組合損益狀態(tài)為：

(2)證券A的損益為95時(shí)：賣(mài)出0.632份的證券A，得到0.632×95＝60.04元持有的現(xiàn)金13.56，加上利息變?yōu)椋?3.56×1.025＝13.90半年后的組合變?yōu)椋?.368份證券A現(xiàn)金73.94（13.90＋60.04＝73.94）在1年后此組合損益狀態(tài)為：110.2599.7590.2510010595原始組合：(1)持有1份A(2)持有現(xiàn)金13.56操作：賣(mài)出0.632份A組合為：(1)持有0.368份A(2)持有現(xiàn)金73.94操作：買(mǎi)進(jìn)0.19份A組合為：(1)持有1.19份A(2)持有現(xiàn)金-6.05組合的支付為：125112.5109半年后的組合調(diào)整是如何得到呢？動(dòng)態(tài)策略調(diào)整方法：多期的靜態(tài)復(fù)制策略從后往前應(yīng)用靜態(tài)復(fù)制策略110.2599.75風(fēng)險(xiǎn)證券A風(fēng)險(xiǎn)證券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）證券在中期價(jià)格為105時(shí)：解得：x=1.19，y＝－5.90此時(shí)B的價(jià)格為：B1＝1.19×105－5.90×1.025＝118.90

110.2599.75風(fēng)險(xiǎn)證券A風(fēng)險(xiǎn)證券B90.2510010595PB118.90B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）證券在中期價(jià)格為95時(shí)：

解得：

x=0.368，y＝72.14此時(shí)B的價(jià)格為：B2

＝0.368×95＋72.14×1.025＝108.90

110.2599.75風(fēng)險(xiǎn)證券A風(fēng)險(xiǎn)證券B90.2510010595PB118.90108