概率論第二章基礎(chǔ)知識

第二章隨機變量及其分布第一節(jié)一維隨機變量及分布第二節(jié)離散型隨機變量第三節(jié)連續(xù)型隨機變量第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布

隨機變量的引入是人類對隨機事件統(tǒng)計規(guī)律認識的一大飛躍,隨機變量及其分布理論的建立,使概率論真正成為一門數(shù)學(xué)學(xué)科.因此這一章是現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)。

隨機變量概念的產(chǎn)生

在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表

示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.1.有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù))

例如

擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)◆每天從北京站下火車的人數(shù)◆昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)◆

七月份上海的最高溫度◆2.在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化.

正如裁判員在

運動場上不叫

運動員的名字

而叫號碼一樣，兩者建立了一種對應(yīng)關(guān)系.

稱:這種定義在樣本空間Ω上的實值函數(shù)為隨量機變這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值函數(shù).它與在高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)一樣嗎？

它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，因而在

試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能

預(yù)先肯定它將取哪個值.★

由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.★隨機變量隨機事件的數(shù)量化，且由數(shù)量化可達到從量的角度來研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性.分布函數(shù)在隨機變量基礎(chǔ)上進一步解決隨機變量取值落在一區(qū)間上的概率問題(重點,難點)事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律（一）隨機變量（二）隨機變量分布函數(shù)第一節(jié)一維隨機變量及其分布（一）隨機變量

1、隨機變量實例例在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色.Ω={紅色、白色}

非數(shù)量將Ω數(shù)量化可采用下列方法紅色白色即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的Ω={紅色,白色}數(shù)量化了.例

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).Ω={1,2,3,4,5,6}樣本點本身就是數(shù)量恒等變換且有則有X(1)=1,X(2)=2,X(3)=3,X(4)=4,X(5)=5,X(6)=6從上例可看出

（1）樣本空間可定義一實變量，每一樣本點對應(yīng)此變量的一個取值。

（2）由于樣本點隨機出現(xiàn)，則這樣的變量亦是隨機取值，樣本點出現(xiàn)的概率即為變量取一定值的概率。2、隨機變量定義定義1.1

設(shè)E為隨機試驗,其樣本空間為Ω,對Ω中每一個樣本點ω,有且只有一個實數(shù)X(ω)與之對應(yīng),則稱此定義在Ω上的實值函數(shù)X=X(ω)為隨機變量。注：隨機變量是上的映射,此映射具有如下特點

定義域樣本空間

隨機性

隨機變量X

的可能取值不止一個,試驗前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個值

概率特性

X

以一定的概率取某個值或某些值

隨機變量與普通函數(shù)的異同點：(1)值域均為實數(shù)區(qū)域R=(，)；(2)隨機變量的定義域為樣本空間,不一定為實數(shù)區(qū)域,而普通函數(shù)的定義域為實數(shù)區(qū)域。(3)普通函數(shù)的取值是一定的,而隨機變量的取值是有一定的概率的。

例設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊,直到擊中目標(biāo)為止,則是一個隨機變量.且X(ω)的所有可能取值為:X(ω)=所需射擊的次數(shù)1,2,3,…例某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達該車站的時刻是隨機的,則是一個隨機變量.且X(ω)的所有可能取值為:X(ω)=此人的等車時間[0,5]

在同一個樣本空間可以同時定義多個隨機變量,例如={兒童的發(fā)育情況}X()—身高,Y()—體重,Z()—頭圍.各隨機變量之間可能有一定的關(guān)系,也可能沒有關(guān)系——即相互獨立實際上,隨機事件為部分樣本點的集合,而在樣本空間上定義一隨機變量之后,每一樣本點對應(yīng)隨機變量的一個取值.而部分樣本點的集合即為隨機變量部分取值的集合,即隨機變量的部分取值的集合為隨機事件。

例1中，表示該試驗中“取到白球”事件。表示該試驗中“取到紅球”事件。例2中，事件{點數(shù)不小于3}可表示為特別地：（1）若X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則{X=1.5}是不可能事件.（2）若X

為隨機變量，則

{X=k}、{a

<

Xb}、……

均為隨機事件.即{a

<

Xb}={：a

<

X()b

}(3)一些表達式：

{X=k}={Xk}{X<k}；

{X>b}={Xb}；

{a

<

Xb}={Xb}{Xa}。

3.隨機變量的分類離散型(1)離散型隨機變量所取的可能值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機變量.觀察擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).隨機變量X

的可能值是:隨機變量連續(xù)型實例11,2,3,4,5,6.非離散型其它實例2

若隨機變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時的射擊次數(shù)”,則X

的可能值是:實例3

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機變量X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,則X

的所有可能取值為:實例2

隨機變量X為“測量某零件尺寸時的測量誤差”.則X的取值范圍為(a,b).實例1

隨機變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型

隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機變量.則X的取值范圍為4、小結(jié)

2.隨機變量的分類:離散型、連續(xù)型.

1.隨機變量是定義在樣本空間上的一種特殊的函數(shù)．1、分布函數(shù)的概念2、分布函數(shù)的性質(zhì)(二）隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)1、分布函數(shù)的概念例如（1）概念的引入2.分布函數(shù)的定義說明(1)分布函數(shù)主要研究隨機變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況.2、分布函數(shù)的求法例1

拋擲均勻硬幣,令求隨機變量X的分布函數(shù).解例2

設(shè)袋中有標(biāo)號為–1,1,1,2,2,2的6個球，從中任取一球，求所取得球的標(biāo)號數(shù)的分布函數(shù)。x–1012例某射手向半徑為R的圓形靶射擊一次，假定不會脫靶。彈著點落在以靶心為圓心，r為半徑的圓形區(qū)域的概率與該區(qū)域的面積成正比,設(shè)隨機變量X表示彈著點與靶心的距離,求X的分布函數(shù),并求概率解:對任意的由題意,F(x)是一個單調(diào)不減的函數(shù)F(x)x3、分布函數(shù)的性質(zhì)即任一分布函數(shù)處處右連續(xù)重要公式例如下四個函數(shù)中，哪些可作為隨機變量X的分布函數(shù)？一、離散型隨機變量的分布律二、常見離散型隨機變量的概率分布三、小結(jié)第二節(jié)離散型隨機變量及其分布律說明一、離散型隨機變量的分布律定義注：離散型隨機變量分布律有三種表示方式pkXx1x2x3xn……(3)圖形表示法3、離散型隨機變量的分布律的求法(1)利用古典概率、條件概率、獨立性等計算方法及其運算法則求出事件{X=xk}的概率pk=P{X=xk},k=1,2,…求法步驟為:第一步：先確定X的全部可能取值xk,k=1,2,…;第二步：具體求出事件{X=xk}的概率，即pk。因此分布律為解則例求分布函數(shù)由隨機變量X的概率分布可以得到其分布函數(shù)，以X有n個可能取值為例：(2)離散型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)的圖形為一階梯形曲線；注(1)離散型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)在X=xk處有跳躍，其跳躍值為pk=P{X=xk}，k=1,2,…；一般地，對離散型隨機變量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…

其分布函數(shù)為

(2)利用分布函數(shù)F(x)求概率分布第一步：F(x)的各間斷點xk的取值為X的可能取值；第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)–F(xk–0)求出事件{X=xk}的概率。例設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為試求X的概率分布。解:(1)F(x)的間斷點為–1,1,3,即為X的可能取值(2)p1=P(X=–1)=F(–1)–F(–1–0)=0.4–0=0.4p2=P(X=1)=F(1)–F(1–0)=0.8–0.4=0.4p3=P(X=3)=F(3)–F(3–0)=1–0.8=0.2(3)利用分布律的基本性質(zhì)求分布律例一批產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品是二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機地抽取一個作質(zhì)量檢驗，用隨機變量描述檢驗的可能結(jié)果，試求出它的概率分布。解:設(shè)抽取產(chǎn)品的檢驗等級數(shù)為X,則X=1,2,3,依題意知練習(xí)設(shè)X為一離散型隨機變量，其分布律如下：二、常見離散型隨機變量的概率分布

設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為則稱X服從(0—1)分布或兩點分布.1.兩點分布實例1“拋硬幣”試驗,觀察正、反兩面情況.隨機變量X服從(0—1)分布.其分布律為實例2200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機抽取一件,那末,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機變量X服從(0—1)分布.

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.說明2.等可能分布如果隨機變量X的分布律為實例拋擲骰子并記出現(xiàn)的點數(shù)為隨機變量X,則有將試驗E重復(fù)進行n次,若各次試驗的結(jié)果互不影響,即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果,則稱這n次試驗是相互獨立的,或稱為n次重復(fù)獨立試驗.(1)重復(fù)獨立試驗3.二項分布(2)n重伯努利試驗

實例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗.實例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點”,就是

n重伯努利試驗.(3)二項概率公式且兩兩互不相容.稱這樣的分布為二項分布.記為二項分布兩點分布可見,一般二項分布的解題步驟為:(1)確定此試驗類型是否為貝努利概型，每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，每次試驗只有兩個結(jié)果:A或ā;（2）檢查事件發(fā)生的概率：并確定這一串重復(fù)的獨立試驗次數(shù)n；（3）令X為n重貝努利概型中某事件A發(fā)生的次數(shù)，寫出二項概率公式:（4）根據(jù)所求確定相關(guān)的概率：1)P{n次貝努利試驗中A恰出現(xiàn)k次}=2)P（A至少發(fā)生i次）=P{X≥i}

3)P（A至多發(fā)生i次）=P{X≤i}

4)P（A至少發(fā)生i次且不超過j次）

=P{i≤X≤j}

例1

在相同條件下相互獨立地進行5次射擊,每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從B(5,0.6)的二項分布.例2解圖示概率分布注1注2注3例

設(shè)某種疾病在鴨子中傳染的概率為0.25。（2）設(shè)對17只鴨子注射甲種血清后，其中仍有一只受到感染；對23只鴨子注射乙種血清后，其中仍有兩只受到感染。試問這兩種血清是否有效？（1）求在正常情況下（未注射防疫血清時）50只鴨子和39只鴨子中，受到感染的最大可能只數(shù)；解因此例3有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?

設(shè)1000輛車通過,出事故的次數(shù)為X,則解例4故所求概率為二項分布

泊松分布4.泊松分布

電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

泊松分布中的參數(shù)是表征平均特性的量，如X表示單位時間內(nèi)某電話交換臺接到的呼叫次數(shù)，則表示在這單位時間內(nèi)接到呼叫次數(shù)的平均數(shù)。注1注2(見下頁)

kn=10n=20n=40n=100p=0.1p=0.05p=0.025p=0.01=np=100.3490.3580.3690.3660.36810.3850.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015大于40.0040.0030.0050.0030.004泊松(Possion)定理設(shè)是一常數(shù)，則對任一固定的非負整數(shù)k有：且np,l=注:一般的用去近似二項分布的當(dāng)：時近似效果頗佳時近似效果更好

設(shè)1000輛車通過,出事故的次數(shù)為X,則可利用泊松定理計算所求概率為解回到前面的例有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?例設(shè)每分鐘通過某路口的汽車流量X服從泊松分布,且已知在一分鐘內(nèi)無車通過與恰有一輛車通過的概率相同,求一分鐘內(nèi)至少兩輛車通過的概率。得=1可以看出泊松概率公式常在兩種情況下使用：（1）X服從參數(shù)為泊松分布，直接泊松概率公式：（2）X服從參數(shù)為n,p的二項分布，間接使用泊松概率公式：

例

（壽命保險問題）設(shè)在保險公司里有2500個同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險。在一年里每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在每年一月一日付12元保險費，而死亡時家屬可到保險公司領(lǐng)取賠付費2000元。試問：（1）“一年內(nèi)保險公司虧本”（記為A）的概率是多少？（2）“一年內(nèi)保險公司獲利不少于10000，20000元”（分別記為B1,B2）的概率是多少？解：（1）每年保險公司收入為2500*12=30000元，設(shè)X為2500人在一年中死亡的人數(shù)，則保險公司應(yīng)賠付2000X元，若A發(fā)生，則有2000X>30000

得X>15（人）即若一年中死亡人數(shù)超過15人，則公司虧本（此處不計3萬元所得利息）。因為5.幾何分布

若隨機變量X的可能取值為1,2,3…，其分布律為則稱X服從幾何分布.記為X~Ge(p).實例

設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為p,對該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查,直到第一次抽到一只次品為止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)X

是一個隨機變量,求X的分布律.X為獨立重復(fù)的伯努里試驗中，

“首次成功”時的試驗次數(shù).所以X服從幾何分布.解6.負二項分布（帕斯卡分布）

X為獨立重復(fù)的伯努里試驗中，“第r次成功”時的試驗次數(shù).記為X~Nb(r,p),p+q=1.

若隨機變量X的可能取值r,r+1,r+2,…，且其分布律為則稱X服從負二項分布或帕斯卡分布，例

某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，每次射中的概率為0.8，用X表示其射中3次時的總射擊次數(shù),試求（1）X的概率分布與分布函數(shù)；（2）P{4≤X≤6}。解：顯然，事件A={射中目標(biāo)}，則p=0.8，X服從參數(shù)為0.8的帕斯卡分布，（1）其概率分布為其分布函數(shù)為(2)=0.47104如果隨機變量X的概率分布為:8超幾何分布則稱服從參數(shù)為n，N，M的超幾何分布。記作X~h(n,N,M)應(yīng)用模型:

超幾何分布實際上是第一章介紹的不放回抽樣模型的數(shù)學(xué)描述:設(shè)一袋中共有N個產(chǎn)品，其中有M個次品，現(xiàn)從中任取n個產(chǎn)品,令X為這n個產(chǎn)品中次品的個數(shù)，則X為隨機變量,服從參數(shù)為n，N，M的超幾何分布。對于超幾何分布而言，當(dāng)M，N較大時，不易計算，實際上，可以借助二項分布作近似計算.例

：在一批20件的產(chǎn)品中，有3件次品，現(xiàn)從中任取5件，以X表示所取5件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，試求的概率分布與分布函數(shù)。解：設(shè)X為所取5件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，由題意知，服從X參數(shù)為5，3，20的超幾何分布，其概率分布為離散型隨機變量的分布兩點分布均勻分布二項分布泊松分布幾何分布三、小結(jié)負二項分布超幾何分布在伯努利試驗中，所考察問題不同幾何分布Ge(p)1=r負二項分布Nb(r,p)（事件A出現(xiàn)次數(shù)r固定,試驗總次數(shù)是隨機變量）二項分布B(n,p)（試驗總次數(shù)固定為n,事件A出現(xiàn)次數(shù)是隨機變量）二項分布B(n,p)泊松分布兩點分布分布類型分布律參數(shù)(0-1)分布0<p<1二項分布0<p<1幾何分布0<p<1熟知的離散型分布如下表分布類型分布律參數(shù)超幾何分布r=min{n,m}負二項分布r1,0<p<1泊松分布>0等可能分布第三節(jié)、

連續(xù)型隨機變量1、概率密度的概念與性質(zhì)定義

設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F(x),若存在非負可積函數(shù)f(x)，使得則稱X為連續(xù)型隨機變量,概率密度函數(shù)，簡稱概率密度，記為

X~f(x)f(x)為X的1.2概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)f(x)0,xR,表明密度曲線在x軸上方。10x同時得以下計算公式注意對于任意可能值a,連續(xù)型隨機變量取a的概率等于零.即由此可得連續(xù)型隨機變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)練習(xí)下列函數(shù)是否為某隨機變量X的概率密度?若是試求出X的分布函數(shù)。解：例設(shè)隨機變量X的概率密度為試確定常數(shù)k,并求X的分布函數(shù)及P(X>0.1)。解:

由性質(zhì)2,有例設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為試求X的概率密度f(x)。二、常見連續(xù)型隨機變量的分布若隨機變量X具有概率密度:則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,記作X~U(a,b)。當(dāng)a=0,b=1時，U(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)均勻分布。1、均勻分布概率密度函數(shù)圖形U(a,b)的分布函數(shù)為應(yīng)用模型在區(qū)間上“等可能投點”“隨機投點”的試驗的數(shù)學(xué)模型。若X~U(a,b),則對任一小區(qū)間(c,c+l)(a,b),X落入其中的概率為X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布,則X取值于(a,b)中任一小區(qū)間內(nèi)的概率與小區(qū)間位置無關(guān),只與小區(qū)間長度有關(guān),此亦表明了X均勻取值的含義。例某公共汽車站每隔10分鐘有一輛公共汽車通過，現(xiàn)有一乘客隨機到站候車。設(shè)X表示乘客的候車時間，問該乘客候車時間小于5分鐘的概率。解:

乘客到站相當(dāng)于在(0,10)內(nèi)隨機投點,可見X~U(0,10),即例設(shè)隨機變量X在(2,5)上服從均勻分布，現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，試求至少兩次觀測值大于3的概率。解:

設(shè)A={X的觀測值大于3},已知X~U(2,5),則記Y={對X的三次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù)},顯然有Y~B(3,2/3),則2、指數(shù)分布若隨機變量X具有概率密度:其中>0,則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記作X~E()。其分布函數(shù)F(x)為:應(yīng)用模型一種重要的壽命分布，在可靠性理論及排隊論中有重要應(yīng)用。例如：(1)保險絲、寶石軸承、陶瓷制品的壽命分布；(2)電子元件及設(shè)備的壽命分布；(3)一些動物的壽命分布；(4)電話中的通話時間，隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間分布。例3.7例設(shè)某類日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為1/2000的指數(shù)分布(單位:小時).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時以上的概率.(2)一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.

解:X的分布函數(shù)為(1)P(X>1000)=1–P(X1000)=1–F(1000)(2)P(X>2000|X>1000)指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性”.3.正態(tài)分布(或高斯分布)正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)分布的分布函數(shù)

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

正態(tài)分布下的概率計算原函數(shù)不是初等函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形性質(zhì)證明證明稱Z是對隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)化解例

例已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(10,22),試求P(10<X<13),P(X>13),P(|X–10|<2)。解:

已知X~N(10,22),則=10,=2(1)所求概率為解例9例

某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X~N(160,2),若要求P(120<X<200)0.8,試問允許的值最多為多少?解:已知X~N(160,2),由題意得例

某年舉行的高等教育大專文憑認定考試中,已知某科的考生成績X~N(,2),及格率為25%,80分以上者為3%,試求考生成績在70分以上的比例。解:由題意得分布函數(shù)三、小結(jié)2.常見連續(xù)型隨機變量的分布均勻分布正態(tài)分布(或高斯分布)指數(shù)分布一、離散型隨機變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布三、小結(jié)第四節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布問題的提出在很多實際問題中，需要研究隨機變量間存在的函數(shù)關(guān)系，也就是研究他們在概率分布上的關(guān)系.已知圓軸截面直徑d

的分布，求截面面積A=

的分布.例如：已知t=t0

時刻噪聲電壓V的分布求功率

W=V2/R

(R為電阻)的分布等.

研究問題:已知隨機變量X及它的分布，要求這個隨機變量的分布.又例如：隨機變量的函數(shù)的定義設(shè)g(x)是定義在隨機變量X的一切可能取值x的集合上的函數(shù)，如果對于X的每一個可能取值x,有另一