第2章 材料力學(xué)(扭轉(zhuǎn)與剪切)

Welcome!Welcome!Welcome!第3章扭轉(zhuǎn)與剪切、擠壓§3-1剪切與擠壓鍵連結(jié)和鉚釘連接件應(yīng)力計(jì)算本單元主要討論：一、剪切1、剪切變形的特點(diǎn)兩外力與連接件軸線垂直，距離很近連接件橫截面發(fā)生錯(cuò)位我們將錯(cuò)位橫截面稱為剪切面2.剪切的工程實(shí)例螺栓連接鉚釘連接銷軸連接平鍵連接焊接連接3、受剪切構(gòu)件的主要類型一、鉚釘類鉚釘連接螺栓連接PP螺栓受力情況受剪切面為兩組力分界面內(nèi)力外力要平衡二、鍵類單鍵連接花鍵連接單鍵連接的受力分析dMF4、剪切強(qiáng)度的工程計(jì)算PP以螺栓為例剪切面F將螺栓從剪切面截開，由力的平衡，有：F為剪切內(nèi)力，即剪應(yīng)力在剪切面上的合力，我們稱之為剪力P剪應(yīng)力在剪切面上的分布情況是非常復(fù)雜的工程上往往采用實(shí)用計(jì)算的方法

可見，該實(shí)用計(jì)算方法認(rèn)為剪切剪應(yīng)力在剪切面上是均勻分布的。許用剪應(yīng)力上式稱為剪切強(qiáng)度條件其中，F(xiàn)為剪切力——剪切面上內(nèi)力的合力A為剪切面面積受剪切螺栓剪切面面積的計(jì)算：d受剪切單鍵剪切面面積計(jì)算：取單鍵下半部分進(jìn)行分析外力剪切面合力剪切力假設(shè)單鍵長(zhǎng)寬高分別為lbhlbh則受剪切單鍵剪切面面積：設(shè)合外力為P剪切力為Q則剪應(yīng)力為：螺栓和單鍵剪應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算：螺栓單鍵單剪切與雙剪切P單剪切雙剪切前面討論的都是單剪切現(xiàn)象P出現(xiàn)兩個(gè)剪切面中間段P/2P/2PP/2P/2左右兩段P/2P/2剪切力為P剪切面面積2倍剪切力為P/2剪切面面積單倍結(jié)論：無論用中間段還是左右段分析，結(jié)果是一樣的。P例1圖示拉桿，用四個(gè)直徑相同的鉚釘連接，校核鉚釘和拉桿的剪切強(qiáng)度。假設(shè)拉桿與鉚釘?shù)牟牧舷嗤阎狿=80KN，b=80mm，t=10mm，d=16mm，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。PP拉桿危險(xiǎn)截面btd構(gòu)件受力和變形分析：假設(shè)下板具有足夠的強(qiáng)度不予考慮上桿（藍(lán)桿）受拉最大拉力為P位置在右邊第一個(gè)鉚釘處。拉桿強(qiáng)度計(jì)算：鉚釘受剪切工程上認(rèn)為各個(gè)鉚釘平均受力剪切力為P/4鉚釘強(qiáng)度計(jì)算:PP拉桿危險(xiǎn)截面btd二、擠壓1、關(guān)于擠壓現(xiàn)象一般來講，承受剪切的構(gòu)件在發(fā)生剪切變形的同時(shí)都伴隨有擠壓擠壓破壞的特點(diǎn)是：在構(gòu)件相互接觸的表面，因承受了較大的壓力，是接觸處的局部區(qū)域發(fā)生顯著的塑性變形或擠碎作用于接觸面的壓力稱為擠壓力在擠壓力作用下接觸面的變形稱為擠壓變形擠壓面為上半個(gè)圓周面擠壓面為下半個(gè)圓周面鉚釘或螺栓連接擠壓力的作用面稱為擠壓面鍵連接上半部分?jǐn)D壓面下半部分?jǐn)D壓面2、擠壓強(qiáng)度的工程計(jì)算由擠壓力引起的應(yīng)力稱為擠壓應(yīng)力與剪切應(yīng)力的分布一樣，擠壓應(yīng)力的分布也非常復(fù)雜，工程上往往采取實(shí)用計(jì)算的辦法，一般假設(shè)擠壓應(yīng)力平均分布在擠壓面上擠壓力擠壓面面積許用擠壓應(yīng)力關(guān)于擠壓面面積的確定鍵連接lhb鉚釘或螺栓連接擠壓力分布hd剪切與擠壓的主要區(qū)別剪切面與外力平行擠壓面與外力垂直剪切應(yīng)力為剪應(yīng)力擠壓應(yīng)力為正應(yīng)力剪切面計(jì)算鉚釘與螺栓鍵擠壓面計(jì)算例22.5m3挖掘機(jī)減速器齒輪軸為平鍵連接b=28mm,h=16mm,P=12.1kN,l2=70mm,R=14mm,鍵[]=87MPa，輪轂[j]=100Mpa，校核鍵連接強(qiáng)度.解：（1）校核剪切強(qiáng)度

鍵的受力情況如圖2-10c所示，此時(shí)剪切面上的剪力（圖2-10d）為Q=P=12.1kN=12100N對(duì)于圓頭平鍵，其圓頭部分略去不計(jì)（圖2-10e），故剪切面面積為所以，平鍵的工作剪應(yīng)力為滿足剪切強(qiáng)度條件。

（2）

校核擠壓強(qiáng)度

與軸和鍵比較，通常輪轂抵抗擠壓的能力較弱。輪轂擠壓面上的擠壓力為

P=12100N擠壓面的面積與鍵的擠壓面相同，設(shè)鍵與輪轂的接觸高度為h/2，則擠壓面面積（圖2-10f）為故輪轂的工作擠壓應(yīng)力為也滿足擠壓強(qiáng)度條件。所以，這一鍵連接的剪切強(qiáng)度和擠壓強(qiáng)度都是足夠的。例3高爐熱風(fēng)圍管套環(huán)和吊桿通過銷軸連接，每個(gè)吊桿上承重P=188kN,銷軸直徑d=90mm,吊桿端部厚1=110mm,套環(huán)厚2=75mm,材料皆為A3鋼，[]=90MPa，[j]=200MPa，試校核銷軸連接強(qiáng)度。解：（1）校核剪切強(qiáng)度用截面法求剪力,受力分析如圖,用平衡方程求得剪力剪切面面積為銷軸的工作剪應(yīng)力為故剪切強(qiáng)度是足夠的。擠壓面的計(jì)算面積為所以工作擠壓應(yīng)力為故擠壓強(qiáng)度是足夠的。（2）校核擠壓強(qiáng)度銷軸的擠壓面是圓柱面，用通過圓柱直徑的平面面積作為擠壓面的計(jì)算面積。這時(shí)，擠壓面上的擠壓力為小結(jié)

1.剪切實(shí)用計(jì)算所作的主要假設(shè)是：（1）假設(shè)剪切面上的剪切應(yīng)力均勻分布，由此得出剪切強(qiáng)度條件為

（2）假設(shè)擠壓面上的擠壓應(yīng)力均勻分布，由此得出擠壓強(qiáng)度條件為

2.剪切構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算，與軸向拉壓時(shí)相同，也是按外力分析、內(nèi)力分析、強(qiáng)度計(jì)算等幾個(gè)步驟進(jìn)行的。在作外力和內(nèi)力分析時(shí)，還須注意以下幾點(diǎn)：（1）首先必須取出剪切構(gòu)件，明確研究對(duì)象，繪出其上的全部外力，確定外力大小。在此基礎(chǔ)上才能正確地辨明剪切面和擠壓面。

（2）正確地確定剪切面的位置及其上的剪力。剪切面在兩相鄰?fù)饬ψ饔镁€之間，與外力平行。（3）正確地確定擠壓面的位置及其上的擠壓力。擠壓面即為外力的作用面，與外力垂直；擠壓面為半圓弧面時(shí)，可將構(gòu)件的直徑截面視為擠壓面。

§3-2

扭轉(zhuǎn)的概念1.扭轉(zhuǎn)變形的概念和特點(diǎn)ABA'B'jgMnMn特點(diǎn)：橫截面仍為平面，形狀不變，只是繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)概念：圓截面桿受到一對(duì)大小相等、方向相反的力偶矩作用力偶矩方向沿圓桿的軸線扭轉(zhuǎn)的概念§3-3

外力偶矩和扭矩的計(jì)算直接計(jì)算：根據(jù)軸上零件所受的圓周力和力的作用半徑求得1.外力偶矩的計(jì)算按軸的轉(zhuǎn)速和傳遞的功率求得轉(zhuǎn)速：n(轉(zhuǎn)/分)輸入功率：N(kW)m1分鐘輸入功：1分鐘m作功：?jiǎn)挝?.扭矩的計(jì)算、扭矩圖1、扭矩的概念扭轉(zhuǎn)變形的桿往往稱之為扭轉(zhuǎn)軸，扭轉(zhuǎn)軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面上的內(nèi)力，是一個(gè)在截面平面內(nèi)的力偶，其力偶矩稱為扭矩。2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到mmmMn3、扭矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定確定扭矩方向的右手螺旋法則：以右手4個(gè)手指彎曲的方向沿扭矩轉(zhuǎn)動(dòng)的方向，大拇指伸直與截面垂直，則大拇指的指向即為扭矩的方向。扭矩正負(fù)號(hào)：離開截面為正，指向截面為負(fù)指向截面離開截面例4

傳動(dòng)軸如圖所示，轉(zhuǎn)速n=500轉(zhuǎn)/分鐘，主動(dòng)輪B輸入功率NB=10KW，A、C為從動(dòng)輪，輸出功率分別為NA=4KW，NC=6KW，試計(jì)算該軸的扭矩。ABCABC先計(jì)算外力偶矩計(jì)算扭矩：AB段mAMn1設(shè)為正的Mn1BC段Mn2設(shè)為正的mcMn24、扭矩圖將扭轉(zhuǎn)軸的扭矩沿截面的分布用圖形表示BCADTBTCTDTA例2已知A輪輸入功率為65kW，B、C、D輪輸出功率分別為15、30、20kW，軸的轉(zhuǎn)速為300r/min，畫出該軸扭矩圖。477.5N·m955N·m計(jì)算外力偶矩作扭矩圖Tnmax=955N·mBCADTBTCTDTA637N·mTn§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算一、圓軸受扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力及扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算1、圓軸受扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力分布規(guī)律在圓周中取出一個(gè)楔形體放大后見圖（b）#根據(jù)幾何關(guān)系，有上式中是圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸母線的角變形量，稱為剪應(yīng)變(即相對(duì)角度位移)，單位為弧度。上式說明剪應(yīng)變與點(diǎn)到圓軸中心的距離r成正比，在圓軸表面剪應(yīng)變最大，越向中心處越小，在軸心處為零。圓軸受純扭轉(zhuǎn)時(shí)只有剪應(yīng)變而無正應(yīng)變，故各橫截面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力。剪切虎克定律

當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間成正比關(guān)系，這個(gè)關(guān)系稱為剪切虎克定律。剪切彈性模量#根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，即剪切虎克定律再根據(jù)靜力學(xué)關(guān)系是一個(gè)只決定于橫截面的形狀和大小的幾何量，稱為橫截面對(duì)形心的極慣性矩。令扭轉(zhuǎn)角Mn橫截面上某點(diǎn)的剪應(yīng)力的方向與扭矩方向相同，并垂直于該點(diǎn)與圓心的連線剪應(yīng)力的大小與其和圓心的距離成正比ττ注意：如果橫截面是空心圓，剪應(yīng)力分布規(guī)律一樣適用，但是，空心部分沒有應(yīng)力存在。2、扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的計(jì)算圓截面上任意一點(diǎn)剪應(yīng)力Tρ極慣性矩圓截面上最大剪應(yīng)力剪應(yīng)力具有最大值定義：稱之為抗扭截面模量3、抗扭截面模量實(shí)心圓截面4、扭轉(zhuǎn)軸內(nèi)最大剪應(yīng)力對(duì)于等截面軸，扭轉(zhuǎn)軸內(nèi)最大剪應(yīng)力發(fā)生在扭矩最大的截面的圓周上5、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件空心圓截面6、強(qiáng)度條件的應(yīng)用（1）校核強(qiáng)度（2）設(shè)計(jì)截面（3）確定載荷例5已知A輪輸入功率為65kW，B、C、D輪輸出功率分別為15、30、20kW，軸的轉(zhuǎn)速為300r/min，試設(shè)計(jì)該軸直徑d。BCADTBTCTDTA477.5N·m955N·m637N·mTn由強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸直徑：選：d=50mmTnmax=955N·m例6某牌號(hào)汽車主傳動(dòng)軸，傳遞最大扭矩T=1930N·m,傳動(dòng)軸用外徑D=89mm、壁厚=2.5mm的鋼管做成。材料為20號(hào)鋼，[]=70MPa.校核此軸的強(qiáng)度。（1）計(jì)算抗扭截面模量cm3（2）強(qiáng)度校核

滿足強(qiáng)度要求二、圓軸扭轉(zhuǎn)的變形及剛度計(jì)算1、扭轉(zhuǎn)變形——扭轉(zhuǎn)角抗扭剛度為了描述扭轉(zhuǎn)變形的劇烈程度，引入單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角的概念單位或2、扭轉(zhuǎn)剛度條件以每米弧度為單位時(shí)以每米度為單位時(shí)許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角

例75噸單梁吊車，NK=3.7kW,n=32.6r/min.試選擇傳動(dòng)軸CD的直徑，并校核其扭轉(zhuǎn)剛度。軸用45號(hào)鋼，[]=40MPa,G=80×103MPa,=1o/m。（1）計(jì)算扭矩軸CD各截面上的扭矩等于車輪所受的外力偶矩T輪，則N?m馬達(dá)的功率通過傳動(dòng)軸傳遞給兩個(gè)車輪，故每個(gè)車輪所消耗的功率為（2）計(jì)算軸的直徑

選取軸的直徑d=4.5cm。（3）校核軸的剛度

例8一傳動(dòng)軸，已知d=45cm,n=300r/m