第四講 不定積分、定積分極其應用

第四講不定積分、定積分及其應用§1定積分的概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積在(a,b)內(nèi)插入n–1個分點梯形曲邊梯形第四講不定積分、定積分及其應用則由x=a,x=b,y=0與y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積A可以近似表示為曲邊梯形的面積為第四講不定積分、定積分及其應用2.變速直線運動的路程分析：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．第四講不定積分、定積分及其應用例1求由拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積解：將區(qū)間[0,1]分成n等份：第四講不定積分、定積分及其應用上面我們是以區(qū)間左端點的函數(shù)值作為小曲邊梯形的高，如果以區(qū)間右端點的函數(shù)值作為高也能得到一樣的結(jié)果：第四講不定積分、定積分及其應用二、定積分的定義上面兩個例子都有下面的四個過程：分割近似代替求和取極限化整為零以直代曲積零為整刨光磨平第四講不定積分、定積分及其應用定義記為第四講不定積分、定積分及其應用積分上限積分下限被積函數(shù)積分變量被積表達式注：第四講不定積分、定積分及其應用存在定理定理1定理2三、定積分的幾何意義第四講不定積分、定積分及其應用例1解：例2解：第四講不定積分、定積分及其應用四、定積分的性質(zhì)對定積分的補充規(guī)定:性質(zhì)1證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和或差的情況）第四講不定積分、定積分及其應用性質(zhì)2證性質(zhì)3第四講不定積分、定積分及其應用補充：不論的相對位置如何,上式總成立.例若則注：1.定積分對于積分區(qū)間具有可加性2.該性質(zhì)多用于分段函數(shù)求定積分，由于在不同的區(qū)間上函數(shù)解析式不一樣，所以要把定積分分成若干個區(qū)間去求第四講不定積分、定積分及其應用性質(zhì)4證第四講不定積分、定積分及其應用性質(zhì)4的推論：（1）證第四講不定積分、定積分及其應用（2）證第四講不定積分、定積分及其應用性質(zhì)5證注：該性質(zhì)又稱為定積分的估值定理，可以用于估計積分值的大致范圍，也可用于證明一些積分不等式第四講不定積分、定積分及其應用例3證明：第四講不定積分、定積分及其應用性質(zhì)6（定積分中值定理）證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知使即第四講不定積分、定積分及其應用積分中值公式的幾何解釋：第四講不定積分、定積分及其應用補充：介值定理MBCAmab零點定理可以看成是介值定理的推論！第四講不定積分、定積分及其應用§2變上限積分的概念與定理一、變上限定積分的定義考察定積分記積分上限函數(shù)第四講不定積分、定積分及其應用二、變上限定積分的導數(shù)（性質(zhì)）證明：在這里我們用導數(shù)的定義證明第四講不定積分、定積分及其應用由積分中值定理得上述定理又稱為原函數(shù)存在定理，即變上限積分是函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，這也說明了連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)！一個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個，任何兩個之間相差一個常數(shù)上式是型的，我們可以先用一次羅比塔法則第四講不定積分、定積分及其應用定理推廣例1解：第四講不定積分、定積分及其應用§3牛頓-萊布尼茨公式定理（微積分基本公式）證令令第四講不定積分、定積分及其應用微積分基本公式表明：因此，求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.由此也引出了另一個非常重要的概念----不定積分例2解：第四講不定積分、定積分及其應用§4不定積分及其計算方法注：定積分是一個具體的實數(shù)，而不定積分是一組函數(shù)（即函數(shù)的全體原函數(shù)，也稱為原函數(shù)族）在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為在區(qū)間內(nèi)的不定積分，記為.II任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量一、不定積分的概念第四講不定積分、定積分及其應用二、不定積分的性質(zhì)3.微分運算與求不定積分的運算是互逆運算，但要注意最終結(jié)果的不同形式?、傧惹髮г偾蟛欢ǚe分②先求不定積分再求導③先求微分再求不定積分④先求不定積分再求微分第四講不定積分、定積分及其應用三、不定積分基本公式表積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.是常數(shù));第四講不定積分、定積分及其應用不定積分公式記得越多對我們解題的幫助就越大，可以省去很多繁瑣的過程，以后我們還會陸續(xù)補充一些公式。待續(xù)第四講不定積分、定積分及其應用例1求解：例2求解：例3解：求第四講不定積分、定積分及其應用例4求解第四講不定積分、定積分及其應用例5求解例6求解第四講不定積分、定積分及其應用四、換元積分法1.第一類換元積分法（湊微分法）定理注：①湊微分法的關(guān)鍵是把化成湊②公式可以就是我們的不定積分基本公示表，也可以是平時常見的一些不定積分結(jié)果，都可以當成公式來用，總之，記的公式越多，那么“湊”的機會就越多?、郛斒炀毜卣莆樟诉@種換元法后，可以不寫出中間變量記號（即不引入新的變量記號）。這樣可以省去還原這一步。第四講不定積分、定積分及其應用例7求解：例8求解：第四講不定積分、定積分及其應用熟練湊微分法之后，可以直接先“湊”出想要的微分，然后再補上一些“系數(shù)”保持是恒等變形，省去一些繁瑣的過程。例7例8例9求解：原式＝求例10解：原式=第四講不定積分、定積分及其應用求例11解：原式=求例12解：原式=注:(14),(15)嚴格的來說不能算是什么公式，但是在我們解不定積分的題目里發(fā)現(xiàn)經(jīng)常會遇到這類題目，所以不如將它們當成公式來記憶，不僅節(jié)省了時間，也保證了正確率，又如：第四講不定積分、定積分及其應用2.第二類換元積分法（變量代換法）注：上述定理看似很難懂，其實想要說明的問題很簡單，就是通過變量代換的方法，把被積函數(shù)中的自變量用其它的變量（比如）來代換，使得原被積函數(shù)的表達式發(fā)生適當?shù)淖兓?，從而變得易于求解不定積分。具體用何種形式的來代換自變量，一般來說先把中的某一部分或者整體用來代換，然后再解出即可，需要注意的是，經(jīng)過變量代換解出不定積分后，不要忘了回代！第四講不定積分、定積分及其應用①根式代換法（根號下為一次式）當被積函數(shù)中含有形如的式子時，一般是令

當含有若干個形如時，則令根

指數(shù)最大的那個式子等于例13解：回代第四講不定積分、定積分及其應用例14解：第四講不定積分、定積分及其應用例15解：第四講不定積分、定積分及其應用解：例16第四講不定積分、定積分及其應用②三角代換法（根號下為二次式）當被積函數(shù)中含有形如、、可以分別做以下代換：注：右邊的三角形可以幫助我們在回代的時候很方便的求出其他的三角函數(shù)值；并不是所有的含有上述形式的不定積分都必須用三角代換的，有的不定積分用普通的方法就可以求出，要加以注意。第四講不定積分、定積分及其應用例17解：第四講不定積分、定積分及其應用例18解：第四講不定積分、定積分及其應用前面說了并不是所有的形如上面的根式都必須用三角代換，像上面的例18也可以用湊微分的方法來求解，具體如下：第四講不定積分、定積分及其應用五、不定積分的分部積分法設函數(shù)和具有連續(xù)導數(shù)，兩邊同時求不定積分，得也可以寫成分部積分公式注：分部積分法同樣是改變被積函數(shù)的形式，已到達方便求解的目的，這里是把被積函數(shù)改變?yōu)?；但是如果選擇不當，反而會使得問題變得更加復雜！第四講不定積分、定積分及其應用一般地，選擇的原則是：2，不定積分比原不定積分容易求出。當被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時，我們可以按照“反、對、冪、指、三”（即反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的順序，選擇排列次序在前的函數(shù)作為u，而將排在后的另一個函數(shù)選作v′。例19解把lnx看作u，dx看作dv，用公式得第四講不定積分、定積分及其應用解

求例20注：我們會經(jīng)常遇到連續(xù)兩次或兩次以上使用分部積分法的題目。例21求解令則于是注：從本題看出，在求解不定積分的時候，每一種方法都不是單獨使用的，更多的時候是聯(lián)用。第四講不定積分、定積分及其應用六、不定積分公式補充第四講不定積分、定積分及其應用*下面六個反三角函數(shù)的不定積分不要求記憶，但要知道如果求解（分部積分法）第四講不定積分、定積分及其應用*下面九個公式要求記憶，在解題的時候會大大減少計算量

它們分別是由三個二次式變化而來的，看似繁瑣，仔細觀察還是有規(guī)律的！第四講不定積分、定積分及其應用第四講不定積分、定積分及其應用第四講不定積分、定積分及其應用第四講不定積分、定積分及其應用第四講不定積分、定積分及其應用這題的解法有些獨特，在求解的過程中循環(huán)出現(xiàn)了被求解的不定積分，用此方法還可以求解形如的題目第四講不定積分、定積分及其應用第四講不定積分、定積分及其應用第四講不定積分、定積分及其應用§5定積分的計算方法、廣義積分、定積分應用一、定積分的計算方法由牛頓-萊布尼茨公式可知，求定積分的問題關(guān)鍵在于求其對應的不定積分，這點我們已經(jīng)做了大量的準備工作了，這里以例題為主，在具體求解定積分的過程中我們還需要注意以下幾點：1.利用換元法時，積分上下限也要作相應的變化，且要嚴格按照原來的次序，即上限對上限，下限對下限；由于已經(jīng)改變了積分上下限，所以最后一步不需要再“回代”了。2.利用分部積分法時計算量大，要細心，尤其是多次分部的情況3.能夠利用特殊方法化簡定積分計算的要盡量使用，如利用奇偶性、周期性、遞推公式等等。第四講不定積分、定積分及其應用例1解：原式=例2設,求

解：注：當所求定積分的被積函數(shù)是一個分段函數(shù)或者含有絕對值時，一般都需要分成不同的區(qū)間來求解定積分。第四講不定積分、定積分及其應用例3解：第四講不定積分、定積分及其應用例4解：原式=例5證明：第四講不定積分、定積分及其應用定積分與積分符號無關(guān)此題結(jié)論給了我們一種簡化定積分運算的方法第四講不定積分、定積分及其應用例6解：原式=例7解：原式=遞推公式第四講不定積分、定積分及其應用二、廣義積分1.無窮區(qū)間的廣義積分第四講不定積分、定積分及其應用第四講不定積分、定積分及其應用第四講不定積分、定積分及其應用例1計算廣義積分解：第四講不定積分、定積分及其應用例2計算廣義積分解第四講不定積分、定積分及其應用證第四講不定積分、定積分及其應用2.無界函數(shù)的廣義積分第四講不定積分、定積分及其應用第四講不定積分、定積分及其應用定義中c為瑕點，以上積分稱為瑕積分.第四講不定積分、定積分及其應用例4

計算廣義積分

解

例5

計算廣義積分

解

第四講不定積分、定積分及其應用例6計算積分解

例7計算積分

解

1是瑕點0是瑕點極限不存在，所以原廣義積分發(fā)散注：廣義積分是定積分的推廣，其本質(zhì)就是求定積分的極限，如果是計算題一定要有嚴格的極限形式的求解過程。第四講不定積分、定積分及其應用三、定積分的應用這部分知識是利用“微元法”的思想求解平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體體積及平面曲線的弧長，所微元法就是我們在介紹定積分的概念時用到的“分割、近似、求和、取極限”的思想。1.平面圖形的面積①直角坐標情形a0xybAbocdexyoaA第四講不定積分、定積分及其應用yxoabx—區(qū)域Axyocdy—區(qū)域A注：如果平面區(qū)域既不是x—型區(qū)域，也不是y—型區(qū)域，則用一組平行于坐標軸的直線，把平面區(qū)域分成盡可能少的若干個x—型區(qū)域與y—型區(qū)域，然后計算每一區(qū)域的面積，則平面區(qū)域總的面積等于各區(qū)域面積之和。第四講不定積分、定積分及其應用②參數(shù)方程情形如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程由于一般情形下的曲邊梯形面積為③極坐標情形oxAoxA第四講不定積分、定積分及其應用2.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．第四講不定積分、定積分及其應用3.平面曲線的弧長①直角坐標情形

設曲線弧由直角坐標方程