《平面向量基本定理》復(fù)習(xí)教案與課后作業(yè)

6.3學(xué)習(xí)目標(biāo)

平面向基本定理及標(biāo)表示平面向基本定理》習(xí)教案核心素養(yǎng)1.了解平面向量基本定理其意義．(重點(diǎn))2．了解向量基底的含義．在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底確定后會(huì)用這組基底來(lái)表示其他向量．(難點(diǎn))【自主習(xí)】平面向量基本定理

通過(guò)作圖引導(dǎo)學(xué)生得出平面向量基本定理，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．通過(guò)基底的學(xué)習(xí)，提升觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).條件結(jié)論基底

e，e是同一平面的兩個(gè)不共線向量12對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，λ，使a12＝λ＋λe1122{e，e}叫做表示這平面內(nèi)所有向量的一組基底12思考：0能與另外一個(gè)向量構(gòu)成基底嗎？[提示]

不能．基向量是不共線的，而任意向量是共線的．1．設(shè)e，e同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基12底的是()A．{e，e12C．{e5e1,2

B．{e＋＋3e}12,12D．{e，＋}112[答案]

B2若ab共線且＋mb＝0(則＝________＝________.[答案]

00→3．如圖所示，向量O可用向量e，e表示為_(kāi)_______12

4e＋312

→[由題圖可知，＝4e＋3.]12→→→4．若AD△ABC的中線，已知A＝aAC＝b，若{a，}為基底，則A＝________.[答案]

12

(a＋b【合作究】【例1】

對(duì)基底的理解設(shè)O是平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：→→→→

→→→→①AD與；②與；③CA與C；④OD與.其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是()A．①②C．①④

B．①③D．③④B

→→→→→→→→→[①AD與A不共線；DA＝－，D與B共線；③與D不共線；OD→→→＝－OB則O與O共線由平面向量基底的概念知只有不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一組基底，故①③滿足題意．]對(duì)基底的理解兩個(gè)向量能否作為一組基底關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線若共線則不

1111111111能作基底，反之，則可作基底．若向量a，b不共線，則c＝2a－b＝3a－2b，試判斷{，d}能否作為基底．[解]

設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使＝λd，則2a－b＝(3－2b，即(2－3λ)a＋(2λ－1)＝0，由于向量a，b不共線，所以2－3λ＝2λ－1＝0，這樣的λ是不存在的，從而c，d不共線，{，d}作為基底．用基底表示向量→【例2】(1)D，，F(xiàn)分別為△ABC邊，CA，上的中點(diǎn)，且＝a，→CA＝，給出下列結(jié)論：→→①AD＝－a－；②＝a＋b；22→→③CF＝－a＋b④＝a.222其中正確的結(jié)論的序號(hào)為．(2)如圖所示，ABCD中，點(diǎn)，F(xiàn)別為DC邊上的中點(diǎn)DEBF于→

→→→點(diǎn)G，若A＝a，AD＝，試用ab表示向量D，.[思路探究]

用基底表示平面向量充分利用向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則．

11111→→111112211111→→1111122(1)①②③

→→→→[如圖，AD＝AC＋＝－＋＝－－a，①正確；22→→→BE＝＋＝a＋b，②正確；2→→→→→→AB＝＋＝－b－，＝＋AB＝b＋(－b－)2211＝b－a，③正確；2211④EF＝CB＝－a，④不正確．]22→

→→→(2)[解]

DE＝＋AB＋→→→＝－AD＋＋BC2→→→＝－AD＋＋AD＝a－b.22→→

→

→BF＝＋＋DF→→→＝－AB＋＋AB＝b－a.22→1．若本例(2)中條件不變，試用a，表AG.[解]

→→由平面幾何的知識(shí)可知B＝BF，3→→→→→故A＝AB＋＝AB＋BF3

21＝a＋a3221＝a＋b－a3322＝a＋b.33→→→→→→2．若本例(2)中的基向量“，”換為“CE，”，即若C＝a，＝b，→→試用ab表示向D，.→

→→

→→

→→[解]

DE＝＋CE＝2＋CE＝＋＝－2b＋.→→→

→→

→→BF＝＋＝2EC＋CF＝－2＋＝－2a＋b.用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)和兩個(gè)“模型”(1)依據(jù)：①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；②向量減法的幾何意義；③數(shù)乘向量的幾何意義．(2)模型：平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用[探究問(wèn)題]若存在實(shí)數(shù)λ不共線的向量e向量a＝e＋λe，1212121122aμ＋e，λ，λμμ怎樣的大小關(guān)系？11221212[提示]

由題意λλ＝＋e，即(λ－μ)e＝(μ－λ)e11221122111222由于e，e不共線，故λ＝μ，λ＝μ.121122

2212tt23343293→2212tt23343293→→→【例3】如圖所示，在中OA＝，OB＝b，MAB上靠近B一→個(gè)三等分點(diǎn)N是OA靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)OMBN相交于點(diǎn)O.[思路探究]

→→→→→→→→可利用OP＝tOM及＝ON＋＝ON＋兩種形式來(lái)表示都轉(zhuǎn)化為以a，b為基底的表達(dá)式．根據(jù)任一向量基底表示的唯一性求得s，，→進(jìn)而得OP.[解]

→→→→→OM＝＋A＋AB3→→→＝OA＋(OB－)＝＋b.333→→因?yàn)镺與O共線，→→故可設(shè)O＝＝＋b33→→→→→→→→→→又N與N共線，可N＝，OP＝ON＋＝OA＋(OB－)＝(1－)44＋sb，所以

3t，t，3

解得

t＝，10，533所以O(shè)＝a＋b.1051．將本例中“點(diǎn)M是AB上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)”改為“點(diǎn)是上靠近A一個(gè)三等分點(diǎn)”“點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四分點(diǎn)”改為“點(diǎn)N為OA的中點(diǎn)”，求BP∶值．

1112121λ323434111111112121λ32343411111[解]

→→→BN＝－OB＝－，2→→→→→→→→→→OM＝＋＝OA＋AB＝＋(OB－)OA＋＝＋b.333333因?yàn)镺，，M和，，N別共線，→→所以存在實(shí)數(shù)λ，μ使B＝λBN＝a－，2→→OP＝μO(píng)M＝

2μμa＋b，33→→→→→所以O(shè)＝OP＋＝OP－＝

2μλ－＋λ2μλ→－2＝0，又O＝b，所以μ＋λ＝1，3

解得

λ＝，5，5→→所以B＝BN，即BP∶PN＝4∶1.5→→2．將本例中點(diǎn)，的位置改為“＝NOA的中點(diǎn)”，其他條件不2→變，試用a，b示O.[解]

→→→→→AM＝－OA＝OB－＝－a，33→→→→→BN＝－＝OA－＝－b.22

λλμμ234→λλμμ234→→→因?yàn)锳，，M三點(diǎn)共線，所存在實(shí)數(shù)λ使A＝λAM＝b－，3→→→所以O(shè)＝OA＋＝(1－λ)＋b3→→因?yàn)锽，，N三點(diǎn)共線，所存在實(shí)數(shù)μ使＝μBN＝a－，2→→→所以O(shè)P＝＋BP＝＋(1－μb2即

μ，λ＝1－μ，3

解得

λ＝，5，521所以O(shè)＝a＋b.551．任意一向量基底表示的唯一性的理解：條件一條件二結(jié)論

平面內(nèi)任一向量a和同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e，e12a＝λe＋μe且a＝λ＋μe11122122＝λ，12＝μ122．任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用：平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e，e的線性組合λe＋λ.在具體λ，λ有兩種方法：12112212(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理．(2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ，λ的唯一性列方程組求解．121．對(duì)基底的理解(1)基底的特征

基底具備兩個(gè)主要特征①基底是兩個(gè)不共線向量②基底的選擇是不唯一的面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底．2．準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問(wèn)題時(shí)我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕讓?wèn)題中涉及的向量向基底化歸使問(wèn)題得以解決．【課堂標(biāo)訓(xùn)練】1．判斷正誤(1)平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底．)(2)基底中的向量可以是零向量．)(3)平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．()(4)ee是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線向量，若存在實(shí)λμ得λe＋μe1212＝0則λ＝μ＝0.()[答案]

(1)√(2)×(3)√(4)√2．已知平行四邊形，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是()→→A．{AB，}→→C．{BC，}→→

→→B．{，BC}→→D．{，DA}D

[由于，DA不共線，所以是一組基底．→→3．設(shè)D為△所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則()

1414414111411411414414111411412→→→A.AD＝－AB＋AC33→→→B.AD＝AB－AC33→→→C.AD＝AB＋AC33→→→D.AD＝AB－AC33A

→→→→→→→→→→→→[AD＝＋CD＝＋BC＝＋(－)AC－AB＝－AB＋AC.故選333333A.]面向量基本理》課作業(yè)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1向量e與e不共線3xe＋(10－)ey－7)e＋2xe實(shí)數(shù)x，121212y的值分別()A．0,0C．3,0

B．1,1D．3,4D

－7，[因?yàn)閑e共線，所以y＝2，

解方程組得x＝3，＝4.]2．已知e、e表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四個(gè)向量中，不12能作為一組基底的是()A．{e＋e，e－e}1212C．{e＋2，＋2e}1221

B．{3ee4－6}12,21D．{e，＋}212B

[∵4ee＝－2(3e－2e)∴3－2與4e－6e線∴它們不能作21121221為一組基底，作為基底的兩向量一定不共線．故應(yīng)選→→→

→→3．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且B＝2，設(shè)A＝，AC＝b，則可用

222121211411411111222121211411411111基底ab表示為)1A.(a＋b)212C.a＋b33

21B.a＋b331D.(a＋b3C

→→→→[因?yàn)椋?DC，所以＝.3→→→→→→→→→→所以A＝AB＋＝AB＋BC＝＋(AC－)＝AB＋AC＝a＋b.]333333→→→→→4．在△中AE＝ABEF∥EF交AC，A＝aAC＝，則BF等5于()1A．－a＋b521C.a－b33

1B．a(chǎn)－b512D.a＋b33A

→→→→[∵AE＝AB，∴BE＝－AB.55→→→→又∵EF∥，∴EF＝BC＝(－)，55→→→→→→∴BF＝＋＝－AB＋(AC－)55→→＝AC－＝－＋b.]555設(shè)點(diǎn)D△ABC中BC邊上的中點(diǎn)O為AD上靠近點(diǎn)A三等分點(diǎn)則()→→→A.BO＝－AB＋AC62

11515111111511151511111151→→→B.BO＝AB－AC62→→→C.BO＝AB－AC66→→→D.BO＝－AB＋AC66D

→→→→→[如圖D中點(diǎn)O為靠近A三等分點(diǎn)BO＝＋AO＝－AB＋AD＝－3→→→→→→→→AB＋×(AB＋)＝－AB＋＋＝－＋AC.]326666二、填空題6．設(shè)e，e是平面內(nèi)一組基向量，且＝ee，b＝e＋e則向量e1212121＋e可以表示為以a，b基向量的線性組合，即e＋＝________.2122111a－b[由a＝＋2e，＝－e＋e，由①＋②得e＝＋b，代入33121223312①可求得e＝a－，13321所以e＋ea－b.]12337．若向量a＝4ee與b＝ke＋e共線，其中e，是同一平面內(nèi)兩個(gè)不121212共線的向量，則k值為．2

[∵向量a與b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝，即ke＋e(4e＋2e＝4＋2.121212∵e，e是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，12，∴λ，

∴k＝2.]

→21212121→21212121128．設(shè)，E分別是△ABC的邊，BC上的點(diǎn)，＝，BE＝，若D＝23→→λAB＋AC(λ，實(shí)數(shù))，則λλ值為_(kāi)_______．12121212

[如圖，由題意知，D為AB中點(diǎn)，→→BE＝BC，3→→→所以D＝DB＋→→＝AB＋BC23→→→→→＝AB＋(AC－)＝－AB＋，236312所以λ＝－，λ，1623121所以λ＋λ－＋＝.]12632三、解答題→→9如圖平行四邊形中＝a＝bM別是ADDC中點(diǎn)，→→BF＝BC，以a，b為基底表示向量A與H.3→→[解]1BF＝BC，3

在平行四邊形ABCD＝aAD＝bM分別是ADDC中點(diǎn)，

1111111131→→→→→→→1111111131→→→→→→→→→→→→→→→∴AM＝＋＝AD＋DC＝＋AB＝b＋a，222→→→→→→HF＝－＝AB＋BF－AD＝a＋b－＝a－b232610圖矩形OACB和F分別是邊ACBC的點(diǎn)足AC